2.2.3. положительное линейное преобразование и отношение к риску
2.2.3. положительное линейное преобразование и отношение к риску
Покажите в общем, что свойства функции полезности U(x), касающиеся отношения к риску лица, принимающего решение, сохраняются лишь при положительном линейном преобразовании.
Пусть U(x) будет любой функцией полезности со следующими свойствами:5
Нерасположенность к риску: Ux > О, Uxx < 0.
Расположенность к риску: Ux > 0, Uxx > 0.
Нейтральность к риску: Ux > 0, Uxx = 0.
Пусть F(U(x)) будет любым положительным монотонным преобразованием
F = F(U(x)) с Fu>0. (2.11)
Формула, данная через U(x), представляет отношение к риску, не варьирующееся по отношению к положительному монотонному преобразованию, если сохраняется абсолютная и относительная нерасположенность к риску. Необходимым и достаточным условием для этого является постоянство коэффициента Эрроу—Пратта
ARA = -^p = -^p. (2.12)
U х гX
Давайте рассмотрим преобразованную функцию полезности F(x) = F(U(£)) и рассчитаем первую и вторую производные. При
Fx =FVUX>Q
и
Fxx = Fuv (Ux)2 + Fv Uxx мы получим для объема риска
Fxx _ Fuv (Uxf _ Fv Uxx _ Fx ~ FVUX FVUX Fuu (Uxf Uxx Fu Ux Ux ■
Это выражение лишь тогда соответствует -UTX/UX, когда первый член в правой части приравнивается к нулю. Благодаря тому что Ux > 0 для всех видов отношения к риску и Fu > 0, в соответствии с условием (2.11) это требует того, что
Fuu = 0 и, следовательно, Fu = а. (2.13)
Свойство (2.13) характеризует положительное монотонное линейное преобразование
5 Ux (Uxx) является первой (второй) производной функции полезности U, Fx (Fxx) первой (второй) производной функции F по х. Fu и Fuu образуются через соответствующие производные F по U.
F(U(x.)) = Ь + aU(x) при любом 6,
так что лишь для этого вида преобразования верно
F U RRA = -.-?■ = -і—+'
2.2.4. Избранные правила преобразования
Предположим, что U(.1) > 0 и .? > 0. Как изменяется коэффициент Эрроу—Пратта, измеряющий отношение к риску, если функция полезности U(x) = 10 + х° 5 преобразуется согласно следующим правилам?
F(U{.f)) = 20+(U(x)f.
F(U(x)) = 10+ (V(.?))°-5.
F(U(x)) = 100 + 2000 U{.г).
Задача решается в два этапа. Сначала мы определяем коэффициент Эрроу— Пратта для исходной функции U(х)
После этого вычислим величину риска преобразованных функций и сравним все результаты с величинами эталона (2.14).
1. Для функции
F(i) = F(U(x)) = 20 + (10 + і:"-5)2
мы получаем при
Fx = Ю.т-°'5 + 1
F,,r = -5J-1'
показатель риска, равный
■" 1
ARA =
10.7--°"> + 1 2.7+ 0.2І-1 5 '
Абсолютная нерасположенность к риску стала меньше, и относительная нерасположенность к риску из-за RRA = xARA тоже уменьшилась.
Расчет коэффициента Эрроу—Пратта дает
0.252 (U(x))~lr'х~1 +0.125 (I/fi))-0'5*-1-5
0.25 (1/(з:))"0-55-0-5
_ 0.25 _1_ 0.25 J_
~ U{x)x°* + 2Ї = 10 i0-5 +x + 27'
ARA и RRA благодаря преобразованию увеличились.
Функция
F(U(x)) = 100+ 2000 (10 +0.5.т0'5) имеет с производными
Fx = 2000 Ux = 2000 ■ 0.5 і-0-5, Fxx = 2000 Uxx = 1000 • (-0.5) ж"15
коэффициент Эрроу—Пратта
Fxx _ -500 х"1 5 _ 1 ~~Fl~ ~ ~ 1000г> ~ W
Абсолютная и относительная нерасположенность к риску не затронуты преобразованием.
Обсуждение Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений
Комментарии, рецензии и отзывы