2.2.3. положительное линейное преобразование и отношение к риску

2.2.3. положительное линейное преобразование и отношение к риску: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений, Л. Крушвиц, 2001 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Вы держите в руках сборник задач и решений к учебнику известного немецкого ученого Лутца Крушвица «Финансирование и инвестиции». В сборнике детально, на конкретных числовых примерах рассматриваются такие вопросы как принятие решений в условиях риска...

2.2.3. положительное линейное преобразование и отношение к риску

Покажите в общем, что свойства функции полезности U(x), касающиеся отношения к риску лица, принимающего решение, сохраняются лишь при положительном линейном преобразовании.

Пусть U(x) будет любой функцией полезности со следующими свойствами:5

Нерасположенность к риску: Ux > О, Uxx < 0.

Расположенность к риску: Ux > 0, Uxx > 0.

Нейтральность к риску: Ux > 0, Uxx = 0.

Пусть F(U(x)) будет любым положительным монотонным преобразованием

F = F(U(x)) с Fu>0. (2.11)

Формула, данная через U(x), представляет отношение к риску, не варьирующееся по отношению к положительному монотонному преобразованию, если сохраняется абсолютная и относительная нерасположенность к риску. Необходимым и достаточным условием для этого является постоянство коэффициента Эрроу—Пратта

ARA = -^p = -^p. (2.12)

U х гX

Давайте рассмотрим преобразованную функцию полезности F(x) = F(U(£)) и рассчитаем первую и вторую производные. При

Fx =FVUX>Q

и

Fxx = Fuv (Ux)2 + Fv Uxx мы получим для объема риска

Fxx _ Fuv (Uxf _ Fv Uxx _ Fx ~ FVUX FVUX Fuu (Uxf Uxx Fu Ux Ux ■

Это выражение лишь тогда соответствует -UTX/UX, когда первый член в правой части приравнивается к нулю. Благодаря тому что Ux > 0 для всех видов отношения к риску и Fu > 0, в соответствии с условием (2.11) это требует того, что

Fuu = 0 и, следовательно, Fu = а. (2.13)

Свойство (2.13) характеризует положительное монотонное линейное преобразование

5 Ux (Uxx) является первой (второй) производной функции полезности U, Fx (Fxx) первой (второй) производной функции F по х. Fu и Fuu образуются через соответствующие производные F по U.

F(U(x.)) = Ь + aU(x) при любом 6,

так что лишь для этого вида преобразования верно

F U RRA = -.-?■ = -і—+'

2.2.4. Избранные правила преобразования

Предположим, что U(.1) > 0 и .? > 0. Как изменяется коэффициент Эрроу—Пратта, измеряющий отношение к риску, если функция полезности U(x) = 10 + х° 5 преобразуется согласно следующим правилам?

F(U{.f)) = 20+(U(x)f.

F(U(x)) = 10+ (V(.?))°-5.

F(U(x)) = 100 + 2000 U{.г).

Задача решается в два этапа. Сначала мы определяем коэффициент Эрроу— Пратта для исходной функции U(х)

После этого вычислим величину риска преобразованных функций и сравним все результаты с величинами эталона (2.14).

1. Для функции

F(i) = F(U(x)) = 20 + (10 + і:"-5)2

мы получаем при

Fx = Ю.т-°'5 + 1

F,,r = -5J-1'

показатель риска, равный

■" 1

ARA =

10.7--°"> + 1 2.7+ 0.2І-1 5 '

Абсолютная нерасположенность к риску стала меньше, и относительная нерасположенность к риску из-за RRA = xARA тоже уменьшилась.

Расчет коэффициента Эрроу—Пратта дает

0.252 (U(x))~lr'х~1 +0.125 (I/fi))-0'5*-1-5

0.25 (1/(з:))"0-55-0-5

_ 0.25 _1_ 0.25 J_

~ U{x)x°* + 2Ї = 10 i0-5 +x + 27'

ARA и RRA благодаря преобразованию увеличились.

Функция

F(U(x)) = 100+ 2000 (10 +0.5.т0'5) имеет с производными

Fx = 2000 Ux = 2000 ■ 0.5 і-0-5, Fxx = 2000 Uxx = 1000 • (-0.5) ж"15

коэффициент Эрроу—Пратта

Fxx _ -500 х"1 5 _ 1 ~~Fl~ ~ ~ 1000г> ~ W

Абсолютная и относительная нерасположенность к риску не затронуты преобразованием.

Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Обсуждение Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Комментарии, рецензии и отзывы

2.2.3. положительное линейное преобразование и отношение к риску: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений, Л. Крушвиц, 2001 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Вы держите в руках сборник задач и решений к учебнику известного немецкого ученого Лутца Крушвица «Финансирование и инвестиции». В сборнике детально, на конкретных числовых примерах рассматриваются такие вопросы как принятие решений в условиях риска...