4.3. сарм без безрисковой ставки процента

4.3. сарм без безрисковой ставки процента: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений, Л. Крушвиц, 2001 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Вы держите в руках сборник задач и решений к учебнику известного немецкого ученого Лутца Крушвица «Финансирование и инвестиции». В сборнике детально, на конкретных числовых примерах рассматриваются такие вопросы как принятие решений в условиях риска...

4.3. сарм без безрисковой ставки процента

В САРМ существование безрисковой процентной ставки играет решающую роль. При допущении возможности вложения в свободный от риска актив мы можем вывести линейную связь между доходностью оптимального портфеля и его ковариационным риском. Но как обстоят дела, если не существует безрисковой ставки процента по надежному активу? Должны ли мы в этом случае отказаться от идеи, что можно найти уравнение доходности для рисковых финансовых и реальных инвестиций, или все-таки возможно выведение уравнения, похожего на отношение

Щгр] = rf -f (E[rm}-rf)0P?

Ответ на эти вопросы является ядром данного раздела о портфеле с нулевой бета. В противоположность обычно встречающимся в учебниках подходам мы при этом скрупулезно следуем оригинальной статье Фишера Блэка 1972 г. С помощью следующих одна из другой задач мы выведем уравнение доходности с нулевой бета

Е[гР] = Е[гг] + (Е[гт]-Е[гг])вР.

Для понимания отдельных этапов основополагающую роль вначале играет знание того, что

без возможности вложения в безрисковый актив каждый инвестор инвестирует в два независимых от инвестора базисных портфеля,

однако веса участия этих базисных портфелей в оптимальном портфеле зависят от индивидуальных (Е[г/>]. Уаг[7>>])-предпочтений.

Поэтому задачи выбраны таким образом, чтобы сначала обосновать эти тезисы.

4.3.1. Портфель, минимизирующий дисперсию, против портфеля, максимизирующего полезность

Вектор доходности (выраженный в процентах) имеет форму

Рассмотрим рынок капитала без безрисковой ценной бумаги. На рынке обращаются три рисковые ценные бумаги. Соответствующая им матрица дисперсии и ковариации выглядит следующим образом:

Покажите с использованием данных, что безразлично, оптимизируется ли структура портфеля с помощью

minVarfrp] при дополнительных условиях

з з Е[гР] =5>да и 1 = 5>,(4.69)

или с помощью

3

max£/(E[r>], Var[fp]) при дополнительных условиях 1 = ^^. Пусть запланированная инвестором доходность портфеля будет равна 10 \%.

* * *

(4.69) дает функцию Лагранжа

С = Var [г я] + «і ^Е[гР] 53 wJEfcl j + «2 ^1 1

= Var[fp] + «і ^10 5^jE[fj] j + k2 ^1 - j •

Оптимизировать надо wj, w2, w3, «i и к2. Дифференцирование функции Лагранжа по этим переменным приводит к следующим условиям оптимальности

2wiVar[fi] 42w2Cov[fi,f2] 42cj3Cov[f1,r3] «iE[fi] к2 = 0, 2wiCov[f2, г{ 42w2Var[r2] 42w3Cov[f2, f3] KiE[f2] к2 = 0, 2wiCov[r3,fi] 42o)2Cov[f3,f2] 42w3Var[f3] KiE[r3] к2 = 0,

10 (wiE[fi] 4w2E[f2] + иізЩгз}) = °.

1 — (u>x + uj2 4из) = 0.

Мы сконцентрируем внимание на первых трех. Посредством умножения на матрицу, обратную матрице дисперсии и ковариации, получаем

шЛ I 0.0317 -0.0037-0.0085 /Е[п]

и* = 0.5/ci -0.0037 0.0661 0.0371 Е[г2] 4(4.70)

Мз) V-0.0085 0.0371 0.1304/ Е[г3]/

/ 0.0317-0.0037-0.0085 4-0.5к2 -0.0037 0.0661 0.0371 . -0.0085 0.0371 0.1304/

Доли портфеля еще зависят от обоих множителей Лагранжа к и к2. Поэтому мы подставляем

и* = 0.5/ti (0.0317 ■ 11.2 + (-0.0037) • 8.3 + (-0.0085) ■ 9.6) +

+0.5к2 (0.0317 + (-0.0037) + (-0.0085)), ш*2 = 0.5кі ((-0.0037) • 11.2 + 0.0661 ■ 8.3 + 0.0371 • 9.6) +

+0.5к2 ((-0.0037) + 0.0661 + 0.0371), шз =0.5кі( 0.008511.2 + 0.0371 • 8.3 + 0.1304-9.6) +

+0.5к2( 0.0085 + 0.0371 + 0.1304)

в оставшиеся условия оптимальности и получаем 0.5кі = 8.68 и 0.5к2 = — -73.08. Соответствующие векторы структуры выглядят следующим образом:

'ш*Л /0.341' w2 = °-112 у3) V 0.547,

Теперь мы используем оба подхода к оптимизации. При /х, являющимся множителем Лангранжа, функция имеет вид

С = U(Щгр], Var[fp]) + (j, ^1 J2uJ^j ■

Условием первого порядка оказывается

иЕЩгі] + 2lV(wiVar[ri] + w2Cov[fi,f2] + w3Cov[fi,f3]) ц = 0, UEE[r2] + 2Uv(oJiCov[f2,f1] + w2Var[f2] + w3Cov[r2, f3]) p = 0, UEE[h] + 2f/v(w1Cov[r3,ri] + w2Cov[f3,f2] + w3Varfr3]) //. = 0.

ui + ui2 + ^'з = 1

После перестановки и умножения на матрицу, обратную матрице дисперсии и ковариации, оптимальный вектор портфеля описывается через

и / 0.0317-0.0037-0.0085 ,^ім шо I = —ту- -0.0037 0.0661 0.0371 ( Е[г2] ) + (4.71) 2Uv -0.0085 0.0371 0.1304/

0.0317-0.0037-0.0085 + -уу[ -0.0037 0.0661 0.0371 Wv -0.0085 0.0371 0.1304/

Подходы (4.70) и (4.71) определяют наилучший вектор портфеля для одного и того же инвестора с Е[гр]-Уаг[гр]-предпочтением. Из-за того, что, как матрица дисперсии и ковариации, так и вектор доходности содержат независимые от инвестора рыночные данные, оба метода оптимизации приводят лишь тогда к тому же результату, когда

кі_ _ Ue к2 _ i

Т ~~ ~2Uv И Т ~ 2LV'

Если мы для подставим число к — 17.36 и для гдг = к2 = -146.16 и после этого рассчитаем доли, то получим известный уже нам результат ш* = = 0.341, w2 = 0.112, ш3 = 0.547. Тем самым показано, что при использовании минимизации за множителем Лагранжа скрываются индивидуальные предельные нормы замещения. Первый множитель к представляет норму замещения между математическим ожиданием и риском, которую имеет анализируемый инвестор в оптимуме. А к2 нужно интерпретировать как индивидуальную теневую цену одной дополнительно инвестируемой денежной единицы. Лишь эти теневые цены являются специфическими для инвесторов и определяют в зависимости от соответствующей функции полезности разные оптимальные векторы портфеля.

4.3.2. Независимые от предпочтения базовые портфели

В экономике существуют два инвестора 1 и 2. Покажите, что каждый инвестор инвестирует в точности в два портфеля, если не существует возможности безрискового вложения. Исходите и далее из того, что в совокупности существуют три возможности рисковых вложений.

*

Для доказательства мы используем условия оптимальности подхода минимизации из задачи 4.3.1. Сначала посмотрим на создание портфеля инвестора 1. Чтобы не делать громоздкой систему символов, мы откажемся от обозначения отдельных инвесторов, поскольку пока этого не нужно для понимания. Наш инвестор выбирает в соответствии с (4.70) структурный вектор с максимальной полезностью

и> = 0.5К1 (0цЕ[г i] + і2Е[г2] + 0ізЕ[7-3]) + О.5к2(0ц + 012 + 0із), ш*2 = О.5кі(02іЕ[г і] + tf22E[f2] + tf23E[r3]) + 0.5k2(t?2i + d22 + tf23), ul = О.5кі(0зіЕ[п] + i?32E[f2] + tf33E[f3]) + 0.5к.2(і931 +tf32 + i?33),

причем все i)kj — это элементы матрицы, обратной матрице дисперсии и ковариации. Как уже известно из задачи 4.3.1, в оптимуме верно

UE /і

Для того чтобы видеть, что избранные два базисных портфеля независимы от инвестора, мы расширим соответствующие правые части уравнения определения для структурного вектора. После умножения первого члена на

ZU Eti ''хЛ'/. = 1

е -=1 EL, "^ь:

и второго на

Ej=i E*=i _ ^

Е., = 1 Efc=l '^.7

получим

Ej=i Е^=і "fcJEFjJ j=i fc=i

Z^j = i l^k=i j=l fc=l

4 v '

«1

3 3 3 3

w2 =0.5«i ^ ^t?frjE[fj]/i2 + 0.5K2y^^t?fcjg2.

j=i fc=i j=i fc=i

3 3 3 3

^ = 0.5ki і К г,;//;., + 0.5k2 ^ l9fcJ-y:i'

j=ifc=i j=ifc=i

Так как портфельные доли w* должны в сумме равняться единице, то после сложения трех вышеприведенных уравнений мы получим

l=w*+w2+^= (4.73)

3 3 3 3

= 0.5м Ц 'V№-](fti + /і2 + Лз) + 0.5к2 ^ ]Г +92+ 5з).

j = l A-=l J = l fc = l

Так как

hl + h2 + h3 = ^ Г1 k3 1 JJ = 1, (4.74)

9і+й+9з = =§Ц^Ц^ = 1, (4-75)

Ej=i EA: = 1 "A-.?

мы можем проинтерпретировать <?., и /і, как доли портфелей, которые мы хотим назвать базисными портфелями ЯиС cjj и h} определяются лишь через рыночные данные дисперсии, ковариации и математического ожидания лежащих в их основе ценных бумаг. Значит, они не зависимы от инвестора. Подстановка (4.74) и (4.75) в (4.73) приводит к

3 3 3 3

1 = 0.5/ї! ^ ^ 'V/Efal ' 1 + °-5к2 ^ ' L

Следовательно, мы должны суммировать соответствующие доли вложений в базисные портфели для каждого u>j и для каждого инвестора таким образом, чтобы получить единицу.

Если мы сейчас вспомним нашего второго инвестора, то сможем при использовании надстрочного индекса 2 записать максимизирующий его полезность вектор структуры как

3 3 3 3

cjf=о.ък2 53 53 tffcj-Efoi/H + о.ъ4 53 53 Vkjgi,

j=i fc=i j=ifc=i

3 3 3 3

u*22 = 0.5к2 53 53 dkjE[rj]h2 + 0.5k2 53 53 $k]g2,

j = l k= j = l fc=l

3 3 3 3

іоі2 = 0.5n 53 53 dkjE[fjh3 + 0.5k2 53 53 0kjg3.

j=i t=i j=i fe=i

Инвестор 2, так же как и инвестор 1, инвестирует в оба базисных портфеля С? и Я. Однако доли участия базисных портфелей в специфических для инвестора оптимальных портфелях различны. Эти доли определяются соответствующими предельными нормами замещения.

4.3.3. Зависимые от предпочтений портфели инвесторов

Предположим, что оба базисных портфеля имеют структуру

(fti, Л2, Л3) = (1/3,1/3,1/3) и (51,52,5.,) = (1/2,-1/4,3/4).

Инвестор 1 планирует вложить 25\% его средств в Н. Инвестору 2 хотелось бы продать второй портфель на 50 \% без покрытия.

Рассчитайте наилучшие векторы структуры для 1 и 2.

Какие условия должны быть обязательно выполнены этими векторами для нерасположенного к риску инвестора?

* * *

1. Наилучший портфель инвестора 1 описывается через

WV Л/3 / 1/2 / 0.4583

С41 = 0.25 • I 1/3 + 0.75 .1-1/4 =1 -0.1041 .

US1/ 1/3/ V W °-6458/

Для инвестора 2 соответствующее уравнение выглядит следующим образом: •

[< /1/3. / 1/2 /0.250

[ujf = 1.5 ■ 1/3 + (-0.5) • -1/4 = 0.625 .

Ц2/ 1/3/ V 3/4/

Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Обсуждение Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений

Комментарии, рецензии и отзывы

4.3. сарм без безрисковой ставки процента: Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений, Л. Крушвиц, 2001 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Вы держите в руках сборник задач и решений к учебнику известного немецкого ученого Лутца Крушвица «Финансирование и инвестиции». В сборнике детально, на конкретных числовых примерах рассматриваются такие вопросы как принятие решений в условиях риска...