3.3. предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции
3.3. предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции
Пусть у = / (х) = / (xi, х2) (у = f{x) = /(xbх„)) производственная функция (ПФ). Дробь
/ = 1,2 (1 = 1,...,*)
Xi
называется средней производительностью /-го ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском до-1-му ресурсу (фактору
fix)
производства). Символика: ^t = ^i-Lt
Xi
В случае двухфакторной ПФ, у которой хх = К, x2=L для средY Y
них производительностей — и — основного капитала и труда исК L
пользуются соответственно термины «капиталоотдача» и «средняя производительность труда».
Пусть у = А*) Лх, х2) iy = f(x) = /(а?, ,...,*„)) производственная функция. Ее первая частная производная
2^,/-i,2 a=i,..,n)
дхі называется предельной (маржинальной) производительностью /-го ресурса (фактора производства) (ППФ) или предельным выпуском по
/-му ресурсу (фактору производства). Символика: м/= •
дХі
Обозначим символами Ах,и А/(Дх)) (Ді/(хь х2) =/(хі+Дхь х2) -f(xu х2); А2/хь х2) = /(хь х2+Ах2) -/(хь х2)) соответственно, приращение переменной X/ и соответствующее ей частное приращение ПФДх). При малых Ах, имеем приближенное равенство:
дХі Ах/
Следовательно, ППФ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска у, если объем затрат X/ /-го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса. Здесь предельную величину
^ (т.е. ППФ) целесообразно интерпретировать, используя близдхі
кое к ней отношение малых конечных величин, т.е. А// (х) и Ах,. Отмеченное обстоятельство является ключевым для понимания экот-тт-т^ч 9f(x) ^
номического смысла ППФ . С другими предельными величине/
нами следует поступать аналогичным образом.
> Пример 342. Для ПФКД у = а^Хх2 найдем в явном виде
А, А2, М и М2. Имеем:
А — — ^ — @оXj1 х22 А2 ~ — = — QqXj 1 х22
X] Xj х2 х2
м „df(x)_ м _df(x)_ 9
М =—— = ахАъ М2 =- а2Аъ
ОХ ОХ2
—]= ах< =>МХ<АХ, — = а2< =>М2<А2. А А
Для ПФ y=f (х) (не только для ПФКД) неравенства М{<А{ (/= 1, 2)
(т.е. предельная производительность /-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса) обычно выполняются.
> Пример 3.13. Для ЛПФ у = а$+аХ+а2Х2 (flo>0, Ді>0, а2>0) найдем в явном виде А, А2, Mi и М2. Имеем:
Ах = — = = — + ах + я2—;
Х Хх Хх Хх
А У '/(*) а0 хх в
А2 — — = = ь ах ья2;
дхл
х2 х2 х2 х2
М = —— = ах; М2 = —— = а2
cbt?
< 1 => Мх < Ах < 1 М2<А2.
> Пример 3.14. Для ПФ ПЭЗР у = а0-(аххх~а +а2х2аун/а имеем:
М =
ha0a2
АХ=^;А2=^ хх х2
; м2 =
(аххГ+а2Х2«)(Н/а)+1хГ19
Мх
haxxx 1
М7
■<h.
ha2x2c
Ах ахх1а+а2х2а
^2 аххх a + a2x2a Пусть у = / (jc) — ПФ, х = (jq, jc2) (х = (х!,...,:с„)).Отношение
предельной производительности Мі /-го ресурса к его средней производительности At называется (частной) эластичностью выпуска по z-му ресурсу (по фактору производства) (ЭВФ). Символика:
Еі=мі±^ш (/=i,2).
At f(x) дХі
Сумма Е + Е2 = Ех (Ех + ... + £„ = Ех) называется эластичностью производства.
/(*) Xi
сколько процентов увеличится выпуск у9 если затраты /-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса. Пояснение выражения Е19 содержащего предельную величину
df(x)
-, с помощью выражения, содержащего конечное приближедх;
Д//00
ние v этой .предельной величины, является ключевым в пони/(*)
мании экономической сути частной эластичности выпуска по /-му ресурсу.
Пример 3.15. Выпишем в явном виде для ПФКД выражения для Еь Е2 и Ех.
Имеем:
Ех = а{ Е2 = а2; Ех = Е + Е2 — а + а2.
Пример 3.16. Для ЛПФ у — аХ+а2х2 (ао = 0) выпишем в явном виде выражения для Е9 Е2я Ех.
Имеем:
хх df(x) аххх х2 df(x) а2х2 .
Е]=——— = ,£2=- ■ f(x) дхх ахххл-а2х2 f(x) дх2 ахххл-а2х2 Ех = Ех + Е2= 1.
> Пример 3.17. Для ПФ ПЭЗР у = а0 -(аххха +a2x2ayhla выпишем в явном виде выражения для Е9 Е2, Ех — h (см. пример 3.14).
Пусть у =f(x) — ПФ, х = (х9 х2) (х = (хХ9...9хп)). Предельной нормой замены /-го ресурса (фактора производства) у-м (аббревиатура: ПНЗФ и символика: Щ) называется выражение
Rij = -—.(hj = U29j*j)9
д *< (3.3)
r -L (/9 j = 9 f пі ф у; Xk const; кФі9к* j)
dxt
при постоянной у.
Обратим внимание на то, что / — номер заменяемого ресурса, j — номер замещающего ресурса. Используется также термин: предельная технологическая норма замены /-го ресурса (фактора
производства) у-м ресурсом (факторомпроизводства). Приведем более краткий (но менее точный) термин: (предельная) норма замены ресурсов.
Пусть выпуск у является постоянным, т.е. все наборы (конфигурации) затрачиваемых ресурсов расположены на одной изокванте, тогда первый полный дифференциал dy ПФ у == Дх) тождественно равен нулю:
(здесь dx, dx2 — дифференциалы переменных Х, xi), откуда, выражая первый дифференциал dxj, получим
df(x)
dxj = ~lf{x)dXi aj = l'2)' (3,4) откуда, поделив на dxh получим
dxj _ дХі
= 1,2). (3.5)
dxt Щх) dxj
На основании (3.3)—(3.5) имеем:
дДх)
Sxj
Отметим, что строгий вывод формулы (3.6) опирается в действительности на теорему о неявной функции.
Непосредственно проверяется, что для двухфакторной ПФ справедливо равенство:
п -ЕХ2
К2~ >
Ег х
т.е. (предельная) норма замены первого ресурса вторым равна отношению эластичностей выпуска по первому и второму ресурсам, умноженному на отношение объема второго ресурса к объему первого ресурса.
к
Если jcj = К, х2 = L, то отношение — = — называется капиталовооруженностью труда. В этом случае (предельная) норма замены основного капитала трудом равна отношению эластичностей выпуска по основному капиталу и труду, поделенному на капиталовооруженность труда.
Пусть ПФ — двухфакторная. При постоянном выпуске у и малых приращениях Ахі и Ах2 имеем приближенное равенство:
R2-—~
-dx Ajcj
(3.7)
На основании (3.7) (предельная) норма замены ресурсов R2 (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличатся затраты второго ресурса (при неизменном выпуске у = а), если затраты первого ресурса уменьшатся на одну (малую) единицу.
Чем круче касательная к изокванте lq в точке (х\> х2), тем
больше выражение и, следовательно, норма замены Rx2 перdx
вого ресурса вторым (рис. 3.11).
R2Z
ду_
{дх:
2 J
> R2
а2 х2
dx2j
ду KdxXJ а2 х2
> Пример 3.19. Для ПФ у = аъ+аХ+а2х2 выпишем в явном виде выражения R2 и R2. Имеем:
Rl2 =
{дх{
ґду^ "
vdx2
а2
ду_ дхг дх
= ^1
Обсуждение Моделирование экономических процессов
Комментарии, рецензии и отзывы