11.10. матричное дифференцирование
11.10. матричное дифференцирование
Производной скалярной функции ц>(х) от векторного аргумента
(вектора-столбца) х = (х, Х2,...,хп)' называется вектор (вектор-строка)
<)<p(jc) _ ( ckp(x) дф(х) дф^)^
дх'
дх„
(11.42)
дх, дх-у
М ил2 J
Производной векторной (т х 1) функции f(x) от векторного (ях1) аргумента х = (jq, д^,..., хп)' называется тп-матрица:
df(x) дх'
(11.43)
ҐдМх) dfx(x) дМхУ дхх дх2 дхп
dfm(x) dfm(x) dfm(x)
дх
дх?
п J
{матрица Якоби, или якобиан).
Определение (11.42) является частным случаем (11.43) при m= 1.
Частные случаи:
Если ф(х)=а'х, где а = (ah а2> апУ их = (хь х2,...5 *„)' — векторы-столбцы, то
д(р(х) _ д(а'х) _ , дх' " дх'
Если ср(х) = дг04дг, где А — симметрическая квадратная матрица л-го порядка, то
дд>(х) = д{х'Ах) = 2х,л дх' дх'
Если f(x)=Ax, где А — яш-матрица, то
д/(х) _ д(Ах) = л дх' дх'
Упражнения
342 1 0 5
1 3Л 04,
, в=
А =
, с=
11.9. Вычислить матрицу D=(AB)'-С2, где f2 Ъ
1 3
v0 5,
11.10. Вычислить произведение и найти след матриц АВ и ВА, если:
ґ4)
А =(2 -3 0), В =
1 1 1
2 -З 1 4 -1 -5
11.11. Вычислить определители матриц: 0 12 3
а)
10 12
10 1
2 10
7 -1 5 1
-4
-3
11.12. Найти матрицу, обратную данной: '4-8 -5^
; б)
а)
5 -4 -8 6
 |
; б)
а)
V
4 5 6 7 8 9 10 11 12, 11.14. Решить систему уравнений:
а)
— 2дг, +Злг2 -Злг3 =-5, б)
Здг, -4x2+5;t3 = 10;
2 ЗЛ
ВС =
11.15. Решить матричное уравнение АХВ = С, если (5 4 1Л
0 1 1
1 1 0
А =
1 1 7
5 8
.6 5 9,
11.16. Являются ли линейно зависимыми векторы fl]=(2; а2=(1;4; -1), а3=(0; -9;5)?
1;3),
11.17. Найти собственные значения и собственные векторы ґ 2 -2Л
б)
2 4
а)
-1 -3
1 0 3
J 3 оу
11.18. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
A = (l-a)E„+aSS',
где 5= (1,1,...,1)'—ях1-вектор.
Известно, что матрица А идемпотентная. Убедиться в том, что матрица В—Е —А также идемпотентная и ВА=0.
Обсуждение Эконометрика
Комментарии, рецензии и отзывы