4 основы финансовой математики

4 основы финансовой математики

В условиях инфляции и снижения объемов производства деньги получили новую характеристику временную ценность. Это вызвано обесцениванием денежной наличности с течением времени и связано с обращением капитала.

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы PV с условием, что через время t будет возвращена большая сумма FV. Результативность сделки можно охарактеризовать двояко:

с помощью абсолютного показателя

(FV PV);

с помощью относительного показателя ставки, которая рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать PV или FV.

Ставки рассчитываются:

темпом прироста

Rt = (FV PV) / PV;

темпом снижения

Dt = (FVPV) / FV.

В финансовых вычислениях первый показатель называется "процентная ставка", "процент", "рост", "ставка процента", "норма прибыли", "доходность", а второй показатель называют "учетная ставка", "дисконт". Обе ставки взаимосвязаны:

Rt = Dt / (1 Dt) или Dt = Rt / (1 + Rt) Показатели выражаются в долях единицы или в процентах.

Данные показатели незначительно отличаются друг от друга, поэтому в прогнозах, например, при оценке инвестиционных проектов используют оба показателя, но чаще процентную ставку.

Процесс, в котором задана исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях, называют процессом наращивания.

Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и коэффициент дисконтирования, называется процессом дисконтирования.

В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором о движении от будущего к настоящему.

Логика финансовых операций заключается в следующем.

В качестве коэффициента дисконтирования может использоваться либо процентная ставка (математическое дисконтирование), либо учетная ставка (банковское дисконтирование).

Величина FV показывает как бы будущую стоимость "сегодняшней" величины PV при заданном уровне доходности.

В связи с вариабельностью условий финансирования в отношении частоты и способов начисления, а также вариантов предоставления и погашения , процессы установления процентных ставок многообразны.

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает доход в виде процентов, полученных по определенному алгоритму. Обычно период начисления принимается в один год, т. е. однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды.

Известны две основные схемы дисконтного начисления:

схема простых процентов

схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Размер инвестированного капитала Rn через n лет будет равен

Rn = P + P r + ... + P r = P (1 + nr),

где r требуемая доходность в долях единицы.

Инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется с общей суммы, включающей ранее исчисленные и невостребованные инвестором проценты.

В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база с которой начисляются проценты постоянно растет. Тогда размер инвестируемого капитала будет равен:

к концу первого года F1 = P + Pr;

к концу второго года F2 = F1 + F1 r = F1(1 + r);

к концу n-го года Fn = F1(1 + r)n.

Соотношение Rn и Fn с помощью математической индукции можно установить:

Rn > Fn при 0 < n < 1, Fn > Rn при n > 1.

Формула сложных процентов является одной из базовых в финансовых вычислениях, поэтому используют мультиплицирующий множитель, который табулирован для удобства использования для различных r и n. Формула алгоритма начисления переписывается так

Fn = PFM(r, n) Взаимосвязь Rn и Fn можно изобразить графически

Экономический смысл мультиплицирующего множителя состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна

денежная единица (рубль и др.) через n периодов при заданной процентной ставке r.

Для контроля начисления используют "правило 72-х". Это правило заключается в том, что если процентная ставка r, выраженная в процентах, то К = 72 / r представляет собой число периодов К, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Это правило хорошо срабатывает для небольших значений r (до 20 \%).

Схема простых процентов используется в банковской практике при начислении процентов в краткосрочном периоде со сроком погашения до одного года. В этом случае длины различных временных интервалов в расчетах могут округляться (месяц 30 дней, квартал 90, год 360).

В этом случае используют промежуточную процентную ставку, которая равна доле годовой процентной ставке, пропорциональной доле временного интервала в году

F = P (1 + f r) или F = P (1 + (t / T) r),

где f относительная длина периода до погашения ссуды; r годовая процентная ставка в долях единицы; t -продолжительность финансовой операции, дн.; T количество дней в году.

При определении продолжительности финансовой операции день выдачи и день погашения ссуды считают за один

день.

Расчет может вестись двумя вариантами:

принимается в расчет точное число дней ссуды (расчет ведется по дням), тогда в году считают 365 или 366 дней;

принимается приблизительное число дней ссуды (исходя из продолжительности месяца в 30 дней) и в году берут 360 дней.

Другой весьма распространенной операцией краткосрочного характера, для оценки которой используются рассмотренные формулы, является операция по учету векселей. В этом случае пользуются аналогичной формулой, являющейся следствием формулы простых процентов

PV = FV(1 -fd) или PV = FV [1 (t / T) d], где d темп снижения; f относительная длина периода

Операция имеет смысл, если число в скобках не отрицательно.

Внутригодовые процентные начисления ведут по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки

Fn = P (1 + r m)km,

где r объявленная годовая ставка; m количество начислений в году; k количество лет.

Начисление процентов за дробное количество лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

по схеме сложных процентов

Fn = P (1 + r) k+f,

по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов для дробной части года)

Fn = P (1 + r)k (1 + fr),

Возможны финансовые контракты в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действий контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

схема сложных процентов

f

Fn = P (1 + r / m)"'

1 +

m

смешанная схема

Fn = P (1 + r / m)

r

1 + fm

где k количество лет; m количество начислений в году; r годовая ставка;fдробная часть подпериода.

Непрерывное начисление процентов в этом случае максимально возможное наращивание осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

При непрерывном начислении процентов в течение одного года используется базовая формула

F = P er,

где е = 2,718281 ... основание натурального логарифма.

Fn

Годовая процентная ставка не отражает реальной эффективности сделки и не может использоваться для сопоставления. Для сравнительного анализа эффективности контрактов используют эффективную годовую процентную ставку re, которая обеспечивает переход от P к Fn при заданных значениях этих показателей и однократном начислении процентов (рис. 7).

n

Fn

Р

1 2 3 годы ежегодное

1 2 3 годы полугодовое

1 2 3 годы непрерывное

Рис. 7 Различные варианты начисления процентов

В этом случае задается исходная сумма Р, номинальная годовая ставка r, число начислений сложных процентов m. Этому условию соответствует определенное значение наращенной величины F1. Необходимо найти такую годовую ставку re, которая обеспечила бы точно такое же наращение как и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т. е. m = 1.

F1 = P + P re = P (1 + re).

Эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличивается.

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной бизнес, исходят из того, является ли это вложение более прибыльным (при допустимом уровне риска), чем вложение в государственные ценные бумаги.

Основная идея этих методов заключается в оценке будущих поступлений Fn с позиции текущего момента. При этом анализируется:

а) обесценивание денег (инфляция);

б) темп изменения цен на сырье, материалы, основные средства;

в) желательно периодическое начисление дохода не ниже определенного минимума.

Базовая расчетная формула для такого анализа

P

(1 + r )n

где Fn доход планируемый к получению в n-ном году; Р текущая стоимость (приведенная), т.е. оценка величины Fn с позиции текущего момента; r коэффициент дисконтирования.

Экономический смысл такого представления заключается в следующем: прогнозируемая величина денежных поступлений через n лет Fn будет меньше и равна Р.

Одним из основных элементов финансового анализа является оценка денежного потока с1, с2, ... , сп.

Элементы потока сі могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом.

Временные периоды чаще всего определяются равными. Предполагается, что элементы денежного потока однонаправлены, т. е. нет чередования оттоков и притоков. Условно считают, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т.е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. Денежный поток в начале временного периода называется пренумерандо или авансовым, в конце постнумерандо.

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, в частности, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач:

а) прямой или приводится оценка с позиции будущего;

б) обратной или приводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в основе лежит будущая стоимость.

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока. Одним из ключевых понятий в финансовых и коммерческих расчетах является понятие аннуитета. Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, в котором денежные поступления в каждом периоде одинаковы по величине. Если число равных временных интервалов ограниченно, аннуитет называется срочным. В этом случае:

с1 = с2 = ... = сп .

Также разделяют аннуитет пренумерандо и постнумерандо (рентные платежи, денежные вклады для накопления крупной суммы, плата за аренду имущества).

Прямая задача оценки срочного аннуитета решается по формуле

FVpst = AZ(1 + r) k.

Обратная задача оценки срочного аннуитета решается с помощью формулы

FVpst = АД1/1 + r) k.

На практике возможна ситуация, когда величина платежа меняется со временем в сторону увеличения или уменьшения (заключение договоров аренды в условиях инфляции). В этом случае аннуитет называется бессрочным. Расчет в этом случае ведется с помощью финансовых таблиц.