7. простейший оператор планирования для случая непрерывного описания процесса развития мощностей

7. простейший оператор планирования для случая непрерывного описания процесса развития мощностей

В предыдущем разделе рассмотрены случаи дискретного развития мощностям до заданным проектным решениям. С теоретической и прикладной точек зрения значительный интерес представляет непрерывное описание развития мощностей, к которому мы и переходим.

Пусть изменение мощностей происходит только за счет нового строительства, строительство возможно сколь угодно малыми порциями, продолжительность строительства каждой порции нулевая, проект строительства единственный. Тогда процесс развития мощности характеризуется следующими величинами и соотношениями:

u скорость роста мощности,

V=u > О,

знак V обозначает полную производную по времени V =dV / dt, У * = {у j1у N } вектор фондообразующих затрат, компоненты этого вектора указывают количество фондообразующего продукта j = 1, N,

8o

затрачиваемое на прирост мощности V в единицу времени; b ={bir..,bN} -вектор удельных фондообразующих затрат с компонентами

bj = v

j /и

Он показывает сколько j-ой продукции необходимо затратить на единичных прирост мощности.

Для построения оператора планирования зафиксируем выпуск однопродуктового элемента v(t), t є [to,T].

Для обеспечения заданного потока v(t) требуются следующие потоки сырьевых продуктов и затраты труда, подсчитываемые по формулам: L = lv(t), v a(t )= av(t)

Если заданный выпуск не больше начальной мощности на всем интервале планирования: v(t) < V(to) при to < t < Т, то для обеспечения выпуска требуются только указанные выше затраты. В противном случае необходимо увеличивать мощность производственного элемента так, чтобы в любой момент tє [t0,T] удовлетворялось неравенство:

V(t) = V(t0)+ Judt > v(t),t є [t0,t]

(6)

t0

Если не требовать ограниченности прироста мощности u(t), то можно привести следующий пример программы развития мощностей, изображенной на рис. 4:

и |

, I

Рис. 4.

Ш)

81

V(t) = max{v(t 0), max v(t')}, t є [t 0, t] ,

t0 < t' < t

где через 5(t -10) обозначена дельта-функция Дирака, задающая начальный скачок мощности, когда V(to) < v(to); вычисление u(t) производится в направлении возрастания аргумента.

Если же на и наложено дополнительное условие ограниченности прироста мощностей: u < k = const, то скачки мощности невозможны. Тогда для существования допустимой программы строительства необходимо и достаточно, чтобы v(t) < V(to)+(t-to)k, для любого tє [to,T].

Поток фондообразующих продуктов для реализации программы строительства определяется как функция времени в соответствии с (5)

Чтобы закончить построение простейшего оператора планирования, нужно подсчитать выходной и входной потоки продуктов. Для этого из потока производимого продукта v и из

суммарного потока потребляемых продуктов v a(t)+ v ?(t) исключим поток производимого продукта, расходуемого на собственные нужды.

Суммарная потребность элемента в производимом им самим продукте равна ajVj + bjU . Здесь предполагается, что данный элемент производит этот выделенный i-ый продукт, т.е. v(t) = vi(t). Эта потребность может удовлетворяться как за счет собственного выпуска в объеме vib < Vj, так и за счет выпусков других элементов, производящих этот же i-ый продукт:

Указанная особенность, так же как и выбор шличины прироста мощностей, должна наличествовать в окончательной записи оператора планирования:

П : v*(t)v**(t),L(t) v , (t)-vb (t )=v* (t) v **(t)= avj + bu vb

L(t)= tv, (t) (8)

t

V(t0)+ Judt > vj (t),ii(t)> 0,

to

0 < vb(t)< minla.v, + b:u(t), v: (t)}

Построенный оператор планирования отвечает своему определению и содержит две свободные функции Vi(t) и u(t), их выбор подчинен условиям, записанным в двух нижних строчках (8).

Если заранее известно, что другие элементы не вьпгускают i-ый продукт, то управляющую функцию vib из (8) можно исключить, поскольку она однозначно определяется из условия

vbi(t) = avi+biu, v**=0

В этом случае

П: v*(t)v**(t),L(t)

(1 a, )v, (t)-b,u(t)= v* (t),

v**(t)=avj + bu(t) (9)

v(to)+Judt > v,(t).

L(t )=Tv: (t)

В приложениях следует использовать тот вариант описания (дискретный или непрерывный), который лучше отражает рассматриваемую реальную ситуацию.

83

8. Процедура объединения элементов

На множестве описания элементов экономики может быть определена операция объединения элементов. Процедура состоит в объединении номенклатур входных и выходных продуктов, списков мощностей, списков вида труда и соотношений, составляющих операторы планирования или функционирования объединяемых элементов. Процедуры объединения предполагают задание технологических связей между элементами. В соответствии с этими связями составляются балансы внутренних потоков продуктов. Объединением достаточного числа элементов описания может быть получено описание экономической подсистемы.

Рассмотрим процедуру объединения двух элементов I и 2.

Пусть тагестны входные v**, v2* и вьгходные v*, v2 потоки продуктов для каждого элемента, записанные в виде полноразмерных векторов с нулевыми компонентами на местах, соответствующих неиспользуемой данным элементом номенклатуры продуктов.

Входной v** v и выходной v * потоки продуктов объединенного

элемента отличаются от сумм соответствующих потоков для элементов 1 и 2

из-за взаимных поставок производимой продукцией, обозначенных как v12 и v21 (рис. 5). Указанные поставки являются уже внутренними по отношению к объединенному элементу и потому должны быть вычтены из входных и выгходных потоков объединяемых элементов:

)]

v**(t)=[v **-v 2* (t )]+[v 2*(t)-(t)], v *(t)=[vr(t)-v i2 (t)]+[v 2 (t)-v 2i (t)

(10)

Vl

v-.

V (t)

вд-

L,

84

2

Рис. 5.

(!) v **

( О

v V2i )

,(2)V **

'12

О

(1)

V =

v1 О (2)

v=

О Ї

V V2 )

Объединяя элементы и задавая поток конечного (непроизводственного) потребления V*(t) = P(t), получим следующую запись оператора планирования:

П: P(t)L(t),t є [to,T]

vi (t) ki vi (t) + V2 (t)] [b ції і (t) + b 12U2 (t)] = Pi (t)

V2 (t)[a2iVi (t) + V2 (t)][b2iUi (t)+ b22U2 (t)] = P2 (t) (12) Vi(to)+ JUidt £ Vi(t), V2(to)+ JU2dt £ V2(t),

to to U,(t)£ o, U2(t)£ o, L(t)= l,V, (t)+ l2V2(t)

По планируемому конечному потреблению P(t) оператор планирования (12) устанавливает необходимые трудовые затраты L(() и задает условия сбалансированности выпусков v(t), обеспечения внутри экономических потребностей (включая развитие мощностей)

и конечного потребления. Технологические коэффициенты a, b, l и начальные значения мощностей V(to) это информационная база данного описания.

Процедура объединения, будучи проведенной для N од-нопродуктовых элементов, приводит к следующему обобщению оператора (12):

П: P(t) -L(t),t e[t„,T]

(E A)V(t)BV (t) = P(t),v(to )= V0

0 й v(t)u V(t),V £ 0,L = ||l||v(t)

(13)

Запись (13) представляет собой динамическое описание

классической модели Леонтьева, где А, В и матрицы удельных

сырьевых, фондообразующих и трудовых затрат образованы ранее используемыми векторами a, b и l; Е единичная матрица, v, P, V, L -шкторьі-столбцьі.

86