Глава 6 гетероскедастичность и корреляция по времени

Глава 6 гетероскедастичность и корреляция по времени

Задача 6.1

Проверьте непосредственно, что для парной регрессии (п. 2.3) с гетероск дастичностыо

yt = а + f3xt + єи t = 1,..., n; E(e,) = 0, V(et) = a£2, E(etes) = 0, Жф\%

дисперсия оценки параметра J3. полученная с помощью метода взвешенн наименьших квадратов, меньше дисперсии МНК-оцеикн.

■

Решение

Приведем три возможных решения этой задачи. Решение 1. Рассмотрим модель парной регрессии с гетероскедастичность

yt =a + (3xt + €t, t = l,...,n; Е(єе) = 0, V{et) = о-*, E(et€8) 0, t.

Из формул (2.4а), (2.6) в «новых» обозначениях, принятых в книге начи

с гл, 3, имеем: «

Напомним, что через x»f и y*t обозначены отклонения от средних:

£'*t = xt х.

У*і = їй --

Отсюда получаем дисперсию МНК-оценки

Далее, используя формулу (5.8), получаем дисперсию оценки обобщенного метода наименьших квадратов:

у(&ы = (£^)/(е^

В силу того что уравнение

Щ yt=a + 0xt+ et ..л'-^лліЧ

может быть преобразовано к вид}':

Уі = (ое + 0х) + 0x+t + sti

1

х2

выражение для дисперсии оценки обобщенного метода наименьших квадратов можно также записать в следующем виде:

2"

<7

VGSgls) Р Е

Для доказательства справедливости требуемого неравенства нам понадобится следующая

Лемма. Справедливо следующее неравенство:

Е a't Еь? Ес? +2 Е a<bt Е a<c< Е ь<с'

Доказательство. Рассмотрим симметричную матрицу

ГЕа? 1>А £а*с*

I J2atctY,btct J^cf

Для любого вектора ос = (а,/3,7)'

					а]
а'Аа = [а 0 -у]			Е^с*
			Ее? .		л.

+ 2а/3 J]) ojbj + 2а7 £ Щ + 2/37 Е ,;<с< = ^(aat+/36t+7C()2 > 0.

Следовательно, матрица А неотрицательно определена. Значит, ее определите/и. неотрицателен, что и доказывает лемму: ■ ^^^^^^к

-E°? (ЕЧ2 (Еа<«)2 rEc? (E»a > o.

Заметим, что если ^2btct = 0, то неравенство принимает вид:

Разделим V(/fobs) на V(/?gls)> обозначим at = x*t/<rtl bt = х*^,

сг — 1/tTf, заметим, что £6fCt = Ylx*t°tl(Tt = = 0, и воспользуемся доказанной леммой:

V(/3qls) _ t = Е V(^gls) (E*Va

Е

-1

Еа?Е*?Ес? Е ь? (Е а«с )2 Е 4 (Е «Ж

2

> 0.

Решение 2. Воспользуемся матричными обозначениями:

ЗоЬ.Ч-ЗсЬ8 = (^)"І^'У-(^'П"1^)"'^"«~1У I

= (х'х)-'х'є (xTr'xj-'xxr^

= ((Х'Х)~1 Xі(хтг'хг'хтг^є. I

Вычислим матрицу ковариаций разности оценок (здесь мы используем обозначение V(e) = fl и равенство (МС.9): V(Ae) = AV(e)A'):

V(3ols -3gls) = v(((X'X)-'X' (Х'П-*ХГ1Х'П-1)е) .

= (X'X^X'JlXfX'X)-1

(х'х)-,х'шг,х(л"тг1х)-'

+ (х'ії-'хг'х'їг 'nrr'xtx'fr'xr1 = (x'xr'x'nxtx'x)-1

(X'fi^X)"1 (x'rr'x)-1 + (хтг'хг1 I = (X'X)-1X'fiX(X'X)-1 (x'n-'x)-1

= V(3ols) V(3gls)I

Поскольку матрица ковариаций неотрицательно определена, то

V(/3OLS-/3gls)^0а следовательно,

L V(/3OLS) V(/3GLS) ^ 0. Д^іцгО

©тсюда и зимует искомое неравенство ^^^вЯ^^

V(^ols) V(^gls) 5= 0.

Примечание. Заметим, что аналогичная идея используется в тесте Хаусмапа (см. гл. 8).

Решение 3. Так как X = [г ж] и

0

0

а

то

-1

х'п-1х)-1 = 4

<7i

n-2 2^ „2

a?

t .

Рассмотрим теперь следующую матриц}' Р:

Нетрудно проверить, что эта матрица ндемпотентиая (т.е. она симметрич-іая и является проектором). Тогда по свойству идемпотентной матрицы получаем, что для любого вектора z выполняется неравенство: z'Pz $ z'z.

Возьмем теперь в качестве z вектор с компонентами Z. = о^х**. Пос-рэльку

х'

0 1

*п

z'Pz =

X

( „2

)

0 1]

0 1

д

<г'2 = ^сг2а:2г.

Разделив последнее неравенство иа y^'^wj і получаем требуемое неравенство.

Замечание. Установим свойство идемпотеитиых матриц, которое мы использовали в доказательстве. Легко проверить, что если матрица Р идемпотент-ная, то матрица I — Р также является идемпотеитной. Поскольку идемпо-тентная матрица может иметь собственные числа, равные только 1 или О, то она неотрицательно определена. Отсюда для любого вектора z верно:

z'(I Р)г ^ 0, или z'lz z'Pz ^ 0, или z'z ^ z'Pz,

что и требовалось доказать.

Задача 6.2

Процесс, порождающий данные, описывается уравнением

Уі = 0xt +£*,

Е єг = О, Е (ef) = а2, Е (ад) = 0, Ь:фЖ t * 1,..., п.

Экспериментатор не имеет доступа к исходным данным, а может и. пользовать лишь «групповые» данные. А именно, значения независимой переменной упорядочиваются по величине (х < х2 < • • • < хп), вычисляются средние значения в первой группе из П] наблюдений

^ ГЦ | "і

во второй группе — из по наблюдений

П +П2

*2 = — ^2 = — £ У1

и т.д. Всего есть ./ групп наблюдений, j-я группа имеет объем щ. Пар» метр 0 оценивается с помощью регрессии уj на Xj, j = 1,..., JВычисли среднее значение и дисперсию оценки. Оцените потерю эффективности результате такой группировки данных. I

Решение

Обозначим через ЛГ,= щ + ... 4Щ-і при і = 2,..., J + 1, и N = 0. Воспользовавшись определением Xi и ^, получаем:

f.=W, + l

І =: 1, . .. , J.

При этом

1 / Л+1

Е(ёо = Е ^=о, Е

€t І = —

t=Ni +

и

Cov{et4£j) = 0, г ^ j. Таким образом, матрица ковариаций ошибок выглядит следующим образом:

а2П

= а

l/ni 0

0 1/п2

О О

о о

о

l/nj

Применив обобщенный метод наименьших квадратов, получим оценку

піхіу'

Е

Вычислим ее среднее и дисперсию.

I J ./

І ^ ПіХіЕуі п&іЕіі

. E,5cls = —j = /3 + ^

Ьйким образом, оценка 0gls является несмещенной.

О""

V(/3GLS) =

Пі

і=1

г-1 / «=1

и

мея доступ к исходным данным, мы можем получить оценку

S t=i

pols = —

t=

Эта оценка также является несмещенной (E/3qls = 0) и ее дисперсия равна

.2

V(/feLS) = —

Используя равенство

Е

ай -

Е <*

х*)2 ^ О,

получаем, что

V(a3ls) =

.(Г

■і V(/3ols)Е*?

i=l i=l (=N, + 1

t=

Таким образом, мы убедились, что действительно произошла потеря эффективности, ш Отношение дисперсий оценок можно представить в следующем виде:

п

V(fobs) V(^gls)

1=1

я

E*

E E (*«-*oa

2\%Ш Еп'^-Еж?+Ех?

/ J

.2 t

2 f

і=1_ п

Ш' E«Л 5>?

(=1 i=l tml

E*?-E

n

E *?

£=1

Отсюда следует, что потери эффективности не происходит только в случае, когда в каждой группе все наблюдения совпадают.

Задача 6.3

Рассмотрим уравнение yt = а + + £«, где ошибки ef порождаются регрессионным процессом второго порядка:

Єї = + P2£j-2 + «tI

Предложите обобщение итеративной процедуры Кохрсйна-Оркатта оценивания параметров этой модели.

решение ЖшЛ Может быть предложена следующая версия итеративной процедуры Ко-хрейиа Оркатта їдя оценивания парамеї ров к;і тиной жцеЖГ^^^^^к J

1] Применяется М11К к исходной системе ^т^г

■ yt = а + 0xt + et ^^^^

и находится вектор остатков е = (е,..., еп)'.

В качестве приближенного значения вектора р = (рьРг)' берется его МНК-оценка Pols = (РьРг)' » модели

Рассматривается преобразованное уравнение

2/( Р№ -і Р2Уг-2 = «(1 — Pi — />2) + pixt_i Р2Х1-2) +

Здесь ошибки уже удовлетворяют условиям классической регрессионной модели. После подстановки^ него р п р2 вместо р и р2 соответственно находятся МНК-оценки о и 0.

Строится новый вектор остатков С( = yt — S — /Зх*.

Процедура повторяется, начиная с п. 2), до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Задача 6.4

Рассмотрим модель yt 0xt 4с*, где

Єї = pet^x +щ. Eut = 0, Eu? = а2, Ещщ = О, * 5 

ієдлагается оценивать параметр 0 с помощью регрессии первой разности tt = ytijt-i на Дх(.

а) Покажите, что эта оценка является линейной и несмещенной.

б) Вы

числите дисперсию оценки и покажите, что стандартная оценка этой дисперсии смещена.

считать, что t = 0,...,п, причем є0 = "оТогда, очевидно, et

s^uP1 8ия. Обозначая

ЄЇ = єь - = (р l)ft_i + u,,

Qoj

"Учаем:

Ayt = 0Axt +Щ: == /ЗДхі. + (p 1)^-1 + Ut,

.. {.їм сокращения записей введем обозначения

zt = Дуе = yt v>t = Дх* = Xt - t = 1г ;.уП,

в которых модель в первых разностях записывается так:

zt = fiwt t = 1,... ,n. ^^^^^^

Заметим, что E(e£) = 0 при любом t, так как е* есть линейная функция и. а) Рассмотрим МНК-оцеику

Очевидно, эта оценка является линейной по yt и несмещенной:

б) Введем следующие обозначения. Пусть

є, и,

to

— векторы размерности (п 4-1).

(Соответственно є* — вектор размерности п.) Нетрудно проверить, что условия следует, что эти векторы удовлетворяют следующим соотношения

1-рК)е ----и,

со

= (I -К)е,

где через /С обозначена (п + 1)х (п + 1) матрица, у которой едннственн отличные от пуля элементы находятся под главной диагональю:

	0	0	0	... 0
	1	0	0	... 0
К =	0	1	0	... 0
	0	0	* * ■	1 0

Вычислим ft — матриц^' ковариаций вектора є

= (!• K)(I-pK)~lu = Au,

V

со

= V(Au) =<г2АА' =

^оо w'10

Для доказательства смещенности стандартной оценки дисперсии оценки 0 выпишем соответствующие формулы (см. п. 5.2):

V(0) = (w'wy [w'nw(w'w)-1 =

w'flw (w'w)2'

m=a2{w'w)^=—, 1

71-1

tr(Mn)(U7'll7)"1 =

tr(Mfl) (n l)w'w'

где M = I t0(ti;'v)~1'!0/ = J f Хотя понятно, что в общем случае оценка смещена, мы все же приведем пример. Пусть п = 2 и

х = (1 0 0)', тогда w = (-1 0)', М =

0 0 О 1

Отсюда получаем w'w = 1 и тогда

У(/Ї)=<ль E(V(0))=ww.

і Із полученного выше выражения для И для данного случая получаем:

wii =1 + (р-1)2,

^22 = 1 + (/>-1)2 + р2(р-1)2.

Для р ф{] н р ф эти два выражения не совпадают, т.е.

•адача 6.5

Предположим, что для системы yt = a--0xt--St. t = 1,... ,п. выполнены все предположения классической нормальной модели, за одним исключением: дисперсии ошибок удовлетворяют соотношениям

L сг? = fl + Sxt.

Предложите двухшаговую процедуру оценивания параметров а и 0.

ІШеНИе

Рассмотрим следующую процедуру:

1) Оцениваем уравнение yt = а + + є/. с помощью обычного МНК. Получаем остатки регрессии е^.

' 2) Оцениваем уравнение ef = ^ 4Sxt + щ, и берем в качестве оценок

дисперсій"! of величины of ~ft 1 &Xt- щ » ^^ГШ 1

3) Применяем метод взвешенных наименьших квадратов к исходной модели/л = о і &Г( 5(, т.е. строим регрессию Ж# ^^^^

— = а— + р — 4яг, flfi <Tt

по которой оцениваем а и 0 при помощи МНК. і Полученные оценки будут состоятельными. 1

Задача 6.6 J

Рассмотрим модель, связывающую количество вакансий Wt и уровень безработицы щ I

In wt = /Зі -I02 In «t + £*• I

Ошибки є"і независимы и нормально распределены л*(0,а2).

а) Используя (искусственные) данные из таблицы 6.1, найдите МНКоценки параметров 0 и 02, а также 95\%-иый доверительный интервал

для 02.

б) Вычислите статистику ДарбинаУотсона. Что ее значение говорит о

исходном предположении об ошибках Єї? Что можно сказать о доверительном интервале, найденном в п. а)? I

в) Оцените модель заново, используя модель автокорреляции первого порядка для ошибок регрессии. Найдите 95\%-иый доверительный интервал для 02Сравните результат с интервалом, полученным в п. а).

Решение

а) Оценка параметров модели с применением экопометричеекого пакета Доследующий результат:

Dependenl Variable: In w ІШШ л
Variable	Coefficient	Std. Error	^-Statistic	Probability
const	2.2997	0.1860	12.366	0.0000
In u	-0.7791	0.1133	-6.8746 1	^Чо.оооо
R2	0.6824
DW	1.1026

Мы получили 0 = 2.30, 02 = —0.78. 95\%-ный доверительный интервал для 02 находим по формуле

02 = 02± ^0.025(24 2) • 8\%, = -0.7791 ± 2.074 ■ 0.1133,

или (-1.014, -0.544).

б) Статистика Дарбииа Уотсоиа значительно меньше 2, что может свидетельствовать о наличии положительной автокорреляции первого порядка

ошибок регрессии. Это нарушает условие отсутствия автокорреляции ошибок, которое лежит в основе стандартной модели регрессии, и соответственно стандартные ошибки, приведенные в п. а), рассчитаны по неверным формулам. Это может привести к тому, что полученный доверительный интервал будет неверным.

в) Оценка параметров модели с включением в нее модели автокорреляции первого порядка для ошибок регрессии с применением эконометрического пакета дает следующий результат:

Получаем 95\%-ный доверительный интервал для 02: (-1.03, -0.633), т. е. Результат, почти не отличающийся в случае данной конкретной выборки от полученного в п. а). Интервал немного уже. Статистика Дарбина-Уотсона близка к 2, что говорит об отсутствии автокорреляции ошибок в модели, и °ама первая оценка меньше второй.

рМача 6.7

таблице 6.2 представлены данные о потребительских расходах С и расторгаемом доходе Yd тридцати семей (долл.).

а) Проведите регрессию С на Yd и проверьте наличие или отсутствие гетероскедастичности. I ^^^^^^Г

б) Если в п. а) выявлена гетероскедастичность, осуществите коррекцию

на гетероскедастичность, ^LM

Решение

а) Оценка параметров модели с применением эконометрического пакета дает следующий результат.

График зависимости квадратов остатков регрессии от независимой переменной Y (рис. 6.1) имеет вид, заставляющий предполагать гетероскедастичность. I

Проведем тест Голдфелда-Куандта. Упорядочим наблюдения по возрастанию У. В регрессиях по первым 12 наблюдениям и последним 12 наблюдениям получаем суммы квадратов остатков 1046000 и 3344000 соответственно. Получаем значение F-статистики F = 3344000/1046000 = 3.20, большее, чем критическое значение статистики Фишера Fo.9s(10,10) = 2.98, что указывает на наличие гетероскедастичности.

Проведем тест Бреуша-Пагана. Проведем первую регрессию и построим оценку

а2 = (1/п)^е? = 4949727/30= 164957.6.

800000 600000

4

400000 200000

о

Рис. 6.1

Далее оценим регрессию е2/д2 на константу и переменную Y. Получим статистику RSS/2 = 4.11. При нулевой гипотезе отсутствия гетероскедастичности эта статистика имеет распределение x2(l)i 5\%-иая точка которого равна 3.84. Таким образом, гипотеза гомоскедастичности опять отвергается.

б) Проведем двухшаговую процедуру коррекции гетероскедастичности, а именно оценим исходное уравнение при помощи взвешенного метода наименьших квадратов, взяв в качестве весов 1/Y. Получим следующий результат:

Несмотря на то, что в данном примере оценки почти совпадают, следует помнить, что в случае гетероскедастичности оценки дисперсий МНК-оценок коэффициентов являются смещенными.

Тест Уайта показывает отсутствие гетероскедастичности в последней Й^дели:

White Heteroscedasticity Test

F-statistic 0.5182 Probability 0.6014

Obs*R-squared 1.1090 Probability 0.5744

Задача 6.8 #41

Таблица 6.3 содержит данные об уровнях запасов /, объемах продаж 5 (млн. долл.) и процентных ставках по кредитам Л в 35 фирмах некоторой отрасли. Экономическая интуиция подсказывает, что / должно быть положительно связано с S и отрицательно с R. ^Щ^^^^^шг

а) Проведите регрессию / на S и R и тест на гетероскедастичность. j

б) Если в п. а) выявлена гетероскедастичность, осуществите коррекцию

на гетероскедастичность, предполагая, что дисперсия ошибки пропорцирнальна 52. J

Решение І

а) Оценка параметров модели с применением экоиометрического пакета дает следующий результат (см. таблицу 6.4).

Проведем тест Уайта на гетероскедастичность. Получим результат, представленный в таблице 6.5.

Результат теста указывает на гетероскедастичность, если принять 10\%-ный уровень значимости теста.

F-statistic Obs*R-squared

2.2408 8.0515

Probability Probability

0.0882 0.0897

Variable

Coefficient Std. Error ^-Statistic Probability

const

R S

13.469 -0.5987 0.0663

1.5990 0.0458 0.0087 8.423 -13.062 7.599

0.0000 0.0000 0.0000

R2

Unweighted R2

0.9447 0.9915

Проведем тест Уайта на гетероскедастичиость (см. таблицу 6.7).

Таблица 6.7

White Heteroscedasticity Test

F-statistic Obs*R-squared

2.4986 8.7464

Probability Probability

0.0636 0.0678

Результат теста по-прежнему указывает на гетероскедастичиость при

10\%-иом уровне значимости теста.

Попробуем более сложную (экспоненциальную) модель гетероскедастичности:

°л = ехР.(7о + 71 Rt + 72^).

Оценим регрессию логарифма квадратов остатков ё исходного уравнения на In Я, и In 6'і (см. таблицу 6.8).

Dependent Variable: In е2				Таблица 6.8
Weighting scries:	l/S
Variable	Coefficient	Std. Error	^-Statistic	Probability
const	-241.94	121.66	-1.989	0.0553
In Я	21.46	10.36	2.072	^0.0464^^
InS	38.43	20.14	1.909	0.0653
R2	0.1263

Коэффициенты значимы на 10\%-ном уровне. Оценим теперь исходное уравнение взвешенным методом наименьших квадратов с весовыми коэффициентами, равными 1/ехр(1пе2)1'2, где 1пе2 — прогнозные значения последней вспомогательной регрессии (см. таблицу 6.9).

Проведем тест Уайта на гетероскедастичность (см. таблиц}' 6.10).

White Heteroscedasticity Test

F-statistic 1.4633 Probability 0.2380

Obs*R-squared 5.7138 Probability 0.2216

Результат теста на этот раз указывает на отсутствие гетероскедастично-сти на 10\%-ном уровне значимости.

Задача 6.9 I

В таблице 6.11 приведены данные об объеме импорта Л/ и ВНП США (млрД-долл.) за период с 1960 по 1979 г. ]

а) Проведите регрессию М на ВНП и на 5\%-пом уровне значимости протестируйте гипотезу об отсутствии автокорреляции ошибок. i

б) Если в п. а) гипотеза отвергается, проведите коррекцию на автокорреляцию.

ешение

а) Построив графики M и ВНП, мы видим особенное поведение М в 1974 г. (Наиболее вероятное объяснение — энергетический кризис.) Это дает нам основание включить в регрессию фиктивную переменную dl974, равную 1 в 1974 г. и 0 в остальные годы. Таким образом, мы оцениваем регрессию:

т, =/Зі+ а.ВНП, + /Зз<й974< + et.

Результаты МНК-оцеииваиия приведены ниже (таблица 6.12).

Полученное значение статистики Дарбиііа-Уотсона DW = 0.32 значительно ниже 5\% нижней границы, примерно равной 0.97. Это говорит о наличии положительной автокорреляции ошибок регрессии.

б) При наличии автокорреляции ошибок оценки дисперсий коэффициентов регрессии, вообще говоря, занижены. Поэтому заново оцепим регрессию с поправкой на автокорреляцию ошибок первого порядка. Получим следующий результат (см. таблицу 6.13).

Теперь статистика DW близка к 2, однако эту величину невозможно интерпретировать, так как в EViews модель оценивается с помощью нелинейного МНК для уравнения, содержащего в правой части лагированное значение зависимой переменной. Статистика Льюнга-Бокса для остатков этой регрессии не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу отсутствия автокорреляции ошибок в оцениваемом уравнении. Коэффициент при ВНП (оценивание которого и было нашей задачей) теперь имеет стандартное отклонение больше, чем его слишком оптимистичная оценка в первой регрессии. I

Коэффициент р, однако, близок к 1. Это говорит о возможном наган чий единичного корня. Связанная с этим проблема подробно обсуждается в гл. 11. Сейчас заметим только, что в данной ситуации было бы более пра-вильно оценивать уравнение в первых разностях:

Дт( =$1 + ДгДВНЩ + #*</1974, + et. j

Задача 6.10 J

Рассмотрим модель yt = 0xt + $и t = 1,2, ...,n, где 0t xt — скаляры, предположим, что

п п

п|™о(1/я)^х? = of, Вт (І/гі) ^ xtxt-s = aaafFi

t= t=s+l

где а 1 и E(et) = 0, E(ete(_e) = pso2 (p < 1) при всех s.

а) Вычислите асимптотическую дисперсию МНК-оценки параметра

т. е. limn_00 nV(/3oLs)б) Вычислите асимптотическую дисперсию оценки параметра /3, полученной с помощью обобщенного метода наименьших квадратов, и покажите, что при а = р асимптотическая эффективность МНК-оценки равна

(і-р2)/(і+р2).

'ешение

а) Имеем

Pols ф 2 Р + ^п 2 ,

«V(/3ols) = п

Числитель последней дроби может быть представлен следующим образом:

^ л 2 ^ 11 п п

11

+ 2ря jp] .г,х1_я + ...+2рп-1х1х„).

t=3+ 1

Из леммы (см. ниже) следует, что при 71 —► со это выражение сходится к

сг*<т£(1 + 2ра + 2р2а2

_ _а,21+ Ра

Отсюда получаем:

lim nV(^OLs) =

1

lim -(У]х^(

п—со л '

t=l

1 "

n—ooVn ^—' / t=l

9 91 + pa g J1 pa

Ш5 ^bfpa a? 1 pa

гемма. Пусть |p| < 1, |a| $ 1 и

n

і=а+1

ііш - У XtXt-я = сЛг2і а" ^ 0.

ті—»оо П

>гда существует предел

1 / л 11

1 = 2 1=3 ( = 5 + 1

доказательство. Обозначим

г _ J n Ш=*+і 0 <5 < n -1,

'0, s>n

2 />а

ї 1 ра

и

л-1

x

В этих обозначениях утверждение леммы записывается следуюіцим обра 

Inn 5П — аг- .

п—оо 1 ра

В силу неравенства Копій Вуияковского имеем:

ІМ si £

t=s+l

х,х<_а

f=S+l (=5+1 (=1

По условию леммы limn_oo/n.s = в частности, существует предел

linin-*oo /п.о — поэтому последовательность /т,,и ограничена: существует число А/ такое, что для любого п выполняется /„ tU < А/. Получаем тогда, что все /п,д ограничены:

|/п.5і=*/п,0<Л/. I

Зафиксируем теперь некоторое є > 0. Из того, что |р| < 1, следует, что существует по такое, что рпп < є. 1 Разобьем

F*f| — i

ч

5=1

Второе слагаемое ограничено по модулю:

оо

м

р 1 и

Запишем правую часть предела из условия леммы как

.2 Ра х 1 ра

5=1

Получаем:

2 Ра

х1-ра

5=1 no —1 5 = П() ОО

5=1

по -1

5 = 11,)

s = 1lu

є.

Поскольку а ^ 1, то

2 и"0 ж °1

crt^1, :Є С - f—тЄ,

Из того, что существуют пределы limn_oo fn,s = crVj, следует, что существует пі =з Пі(е) такое, что при всех п > п и 1 ^ s ^ no — 1 выполняется неравенство |/n,s — g^^I < £■ Поэтому при п > ?ii

о рОс -w

И і W і 1Э1

Последнее выражение стремится к 0 при є —> 0. Лемма доказапа.

б) Рассмотрим случайные величины и* = щ ~ ptt-iМатематическое ожидание и дисперсия щ равны:

1 E(t*t) = E(et) pE(et-i) = 0,

V(ii() = Е(и2) = E(e< p^-i)2 = E(e2) - + (МУ

I = a? 2p/*r| + p2of (1 $^||

Кроме того, Ue и ия некоррелированы при I ф s. Докажем это. Пусть для

определенности t > s. Тогда, несколько раз используя условие ~E(£tes) = рь-аа2, П0Лучаем:

E(utus) = E(et -рєі~х){є3 -рє8-і)

= E(etes pSt-iSs рЄьЄз-і 4p2et-€s-i)

[ = *2е(р1-а ~ ИР1—1 ~ РР'-°+1 # Р2Р1-')

I = ^(р*р*р*-^ + р*-+а) = 0>

Применим к исходной системе преобразование (6.11)

Vt РУї-і =&{xt pxt-i) +et-pet-ъ t = 2,...,n.

В преобразованной системе ошибки ut = Єї — p&t~ удовлетворяют условиям классической регрессионной модели. Оценка метода наименьших квадратов Для преобразованной модели асимптотически эквивалентна оценке обобщенного метода наименьших квадратов для исходной модели. (Совпадение не полное, так как мы здесь не принимаем во внимание уравнение (6.12) для £ = 1.) Будем, однако, с этой оговоркой обозначать МНК-оцеику для преобразованной модели как 0GLSПолучаем:

0GLS =

Как показано выше, слагаемые в числителе некоррелироваиы, поэтом

Е?.а(»| № -i)2(l р2)о (1 р>2^Л

V(^gls)=

t=2

И тогда ^^^^ЙЯЙ Urn nV(feS) = lim _n(1-^2 ^2 = , {-рУ}22

При p = a :

lim uV(/3gls) =

Используя результат, полученный в п. а), получаем, что асимптотическая эффективность МНК-оценки равна

limV(^GLs) 1-р»

2 *

™v(/3OLS) i + p-

Задача 6.11

Рассмотрим модель yt = Дтс +. ей t = 1,... ,п, где E(St) = 0, Etej2) = ох?, E(£tes) = 0 при t ф S U Sfe=l х? = п.

а) Покажите, что МНК-оценка /? параметра /3 является несмещенной, но

неэффективной.

б) Покажите, что стандартная оценка дисперсии 0 смещена вниз по отношению к истинной дисперсии 0.

Решение I

а) МНК-оценка параметра 0 равна:

р *? » І

Так как Е(ад) = V(yt) = V(e() = ax?, t = 1,... ,n, а у* и ys некоррелироваиы при t s, то Е(,3) = 0 (оценка несмещенная) и