Приложение 2 нечеткие и случайные множества

Приложение 2 нечеткие и случайные множества

В главе 8 рассматривались такие виды объектов нечисловой природы, как нечеткие и случайные множества. Цель настоящего приложения глубже изучить свойства нечетких множеств и показать, что теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств. Для достижения поставленной цели формулируется и доказывается цепь теорем.

В дальнейшем считается, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества Y.

П2-1. Законы де Моргана для нечетких множеств

Как известно, законами же Моргана называются следующие тождества алгебры множеств

Al)B = Af)B, Af]B = A[jB. (1) Теорема Х.Для нечетких множеств справедливы тождества AjB = Af]B, Af]B = A[jB, (2)

А + В = АВ, АВ = А + В. (3)

Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений (2) и (3) путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных в главе 8.

Тождества (2) и (3) назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений (1), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая к операциям произведения и суммы. Как и соотношение (1) в алгебре множеств, законы де Моргана в алгебре нечетких множеств позволяют преобразовывать выражения и формулы, в состав которых входят операции отрицания.

П2-2. Дистрибутивный закон для нечетких множеств

Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так, А + АфА, за исключением случая, когда А "четкое" множество (т.е. функция принадлежности принимает только значения 0 и 1).

Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что "не всегда". Внесем полную ясность.

Теорема 2. Для любых нечетких множеств А, В и С

Af)(B{jC) = (Af)B){J(Af)C). (4)

В то же время равенство

А(В + С) = АВ + АС (5) справедливо тогда и только тогда, когда при всех у є F

(МІ (У) ~ Ma ІУ))Мв (у)Мс (У) = 0. Доказательство. Фиксируем произвольный элемент у є Y. Для сокращения записи

обозначим а = juA(y),b = juB(y),c = juc(y). Для доказательства тождества (4) необходимо

показать, что

min(a, max(b, с)) = max(min(a, b), min(a, с)). (6)

Рассмотрим различные упорядочения трех чисел а, Ъ, с. Пусть сначала а<Ь<с. Тогда левая часть соотношения (6) есть тт{а,с) = а, а правая тах(а,а) = а, т.е.

равенство (6) справедливо.

Пусть Ъ<а<с. Тогда в соотношении (6) слева стоит тт{а,с) = а, а справа

тах(6, а) = а, т.е. соотношение (6) опять является равенством.

Если Ъ<с<а, то в соотношении (6) слева стоит тт(а,с) = с, а справа тах(Ь,с) = с, т.е. обе части снова совпадают.

Три остальные упорядочения чисел а, Ь, с разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (6) числа Ьис входят симметрично. Тождество (4) доказано.

Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами (см. главу 8)

Ма(в+с) (у) = а(Ь + сbe) = ab + acabc

и

М ab+ac (у) = ab + ac(ab)(ac) = ab + ac -a2 be. Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда, когда a2be abc, что и требовалось доказать.

Определение 1. Носителем нечеткого множества А называется совокупность всех точек у є F, для которых /лА (у) > 0.

Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств В и С совпадают с У, то равенство (5) имеет место тогда и только тогда, когда А "четкое" (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество.

Доказательство. По условию juB(y)juc(y) ^ 0 при всех у є Y. Тогда из теоремы 2

следует, что ju(у)-juA(у) -0, т.е. jUA(y) = l или jUA(y) = 0, что и означает, что А -четкое множество.