1.2. типовые примеры
1.2. типовые примеры
Правила простых и сложных процентов (1.1), (1.2) выражаются формулами, в которые входят следующие показатели: начальная сумма Р0, конечная сумма Рю процентная ставка начисления / или ставка удержания (учетная) j, промежуток времени п между исходной и замыкающей суммами Р0 и Рп. Итого четыре параметра. Пусть любые три из них заданы, тогда формула, соответствующая применяемому правилу и используемой ставке (начисления или учетной), дает уравнение для отыскания недостающего параметра при известных трех. Возникающие при этом четыре варианта задач для случая начисления по ставке / представлены в табл. 1.1.
Разумеется, при переходе на учетную ставку j типы задач будут те же, изменятся лишь базовые формулы, необходимые для их решения.
1. Отыскание наращенной суммы,
В какую сумму обратится через 5 лет долг, равный 10 тыс. руб., при росте по сложной ставке 5,5\%? Чему равны процентные деньги?
Примечание. Под процентными деньгами, или, кратко, процентами, понимают величину прироста денежной суммы: /„ = Рп — Р0.
Решение
/>5= 10000(1 + 0,055)5 = 10000 • 1,30696 « 13070; /„= 1307010000 = 3070.
Отыскание современной величины.
Сумма в 5 млн руб. выплачивается через 5 лет. Какова ее современная величина при условии, что применяются сложные проценты по ставке 10\% годовых?
Решение
/>0= 5 • 106(1 + 0,1Г5 = 5 • 106 0,620921 = 5 • 620921 = 3104605.
Отыскание срока приведения.
Каким должен быть срок ссуды в днях, для того чтобы долг, равный 100 тыс. руб., вырос до 120 тыс. руб. при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25\% годовых?
Решение
100-(1 +л0,25) = 120.
4
Откуда п = года или в днях: 5
л = 365~ = 292 дня.
Отыскание ставки начисления.
При двух одинаковых процентных повышениях заработная плата с 10 тыс. руб. обратилась в 12544 руб. Определите, на сколько процентов повышалась она каждый раз?
Решение
12544= 10000 -(1 + О2.
Откуда
Л . /12544 112 , Л„
1 + /= / = = 1+0,12,
V ЮООО 100
и поэтому/= 12\%.
Для переменной во времени процентной ставки базовые формулы (1.1), (1.2) переписываются с учетом их изменения на присоединяемых периодах.
Переменные процентные ставки.
Клиент положил в банк 10 тыс. руб. сроком на один год. Согласно депозитному договору годовая процентная ставка до середины второго квартала составляет 30\%, далее до конца третьего квартала — 25\%, а с начала четвертого квартала — снова 30\%.
Какую сумму клиент получит в конце года при условии, что договор предусматривает начисление
а) по простым процентам;
б) по сложным процентам?
Решение
В этой задаче периоды начисления в долях года равны следующим значениям:
"і = «2 = XU + Уз= 3/g (года); пъ = У4 (года).
Подставляя их в формулу для простого процента, получим:
10000(1 + 3/8" 0,3 + 3/g • 0,25 + У4 • 0,3) = 12812,5 руб.;
аналогично для сложного процента будем иметь:
10000(1 + 3/8 * 0,3)(1 + 3/8 • 0,25)(1 + У4 • 0,3) = 13080,57 руб.
Приведем примеры, при решении которых можно воспользоваться понятием эффективной ставки.
Эквивалентная непрерывная ставка.
Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление процентов по номинальной ставке 20\%? Решение
е5 = (1+0,2/4)4.
Откуда
6 = 41п(1 + 0,05) = 4 • 0,04879 = 0,19516 * 19,52\%.
Непрерывный сложный процент.
Пусть сила роста (непрерывный темп прироста) изменяется во времени по линейному закону
5, = 50 + а/,
где $0 начальное значение;
а годовой прирост (он может быть как положительным, так и отрицательным).
Получить формулу наращенной суммы S(t) при величине вклада S0. Решение
Согласно определению силы роста
= 50 + я/, или — = 80
5(0 0 S 0
Решая это дифференциальное уравнение с исходным условием S0, получим:
5(/) = 50е 2 ,
где #(/) = е 2 — множитель наращения.
8. Эффективная ставка как результат кратной капитализации.
Ежемесячный темп инфляции составляет 10\%. Рассчитайте
оценку годовой инфляции. Решение
Исходя из месячного темпа прироста цены найдем, опираясь на принцип капитализации, годовой индекс цены и годовой темп инфляции:
Ind = (l + 0,1)12= 3,1384, гГ0Д=Іпсі1 =2,1384, т.е. 213,84^.
9. Сравнение финансовых операций с помощью эффективной
ставки.
Что выгоднее: вложить 20 тыс. руб. на 1 месяц под годовую ставку 12\% или на 6 мес. под 12,2\%? Решейие
Найдем для каждого варианта эквивалентную ему эффективную процентную ставку:
г, = (1,01)121 = 0,1268 = 12,68\%; r2=(l,061)21 =0,1257= 12,57\%.
Очевидно, что из двух вариантов выгоднее тот, для которого эта ставка будет больше. В нашем случае это первый вариант, который и следует предпочесть.
Учет инфляции.
Какую ставку j должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12\% реальная ставка оказалась 6\%? Решение
По формуле (1.7) требуемая номинальная ставка равна:
j = 0,06 + 0,12 + 0,6 • 0,12 = 0,1872 = 18,72\%.
Для получения приближенного решения можно воспользоваться оценкой (1.8) и прийти к достаточно точному значению:
7*0,06 + 0,12 = 0,18=18\%.
Правило числа 70.
Какой среднегодовой темп прироста валового внутреннего продукта (ВВП) обеспечит через 10 лет его удвоение? Решение
Для отыскания темпа х\% воспользуемся правилом числа 70, которое запишем в виде уравнения:
Откуда х = — = 7\%, иначе говоря, экономика в среднем должна расти на 7\% ежегодно, чтобы через десять лет произошло ее удвоение.
Обсуждение Задачи и тесты по финансовой математике
Комментарии, рецензии и отзывы