Приложение 1

Приложение 1

Пример выполнения лабораторной работы №1

(Формулы для расчетов в MathCAD выделены другим шрифтом)

Задача №1. Вычислить матрицу D = С20 -АВС1, где

В =

1

30 2

л (50 40 1 П° °ї

A = (l 2 5)'

1 30

10 2)

С20АВ-С-Л

D =

D:

•1024 1.247-1025 Ї •1024 1.171-1025J

Зададим формулу вычисления матрицы D и получим результат:

5.068

5.423 

Задача №2. Вычислить обратную матрицу А если

(Ъ 3 -4 -3^

0 6 5 4 2 3

1

2 3

1 1

2J

Решение. Зададим исходную матрицу и получим обратную:

(Z 3 -4 -3 (-7 5 12 -19 >

0 6 1 5 4 2 1,2 З 3

д-1 =

3-2-5 8 41 -30 -69 111 1,-59 43 99 -159у

Задача №3. Решить систему уравнений:

2х, + Зх2 4х3 + х4 = 3, х, 2х2 5х3 + х4 = 2,

■

5х, Зх2 + х3 4х4 = 1, IOjc, + 2х2 х3 + 2х4 = -4.

Используя встроенную функцию Isolve, найдем неизвестные:

ґ-0.333^

res := lsolve(M, v) res =

0.444 -0.889 H-222J

Решим задачу с помощью встроенной функции find. Зададим начальные значения переменных

Xi := 0 х2 := 0 х3 := 0 х4 := 0

Запишем систему уравнений, используя ключевое слово Given:

Given

2хЛ +3х2 -4х3 +х4 = 3 х, -2х2 -5х3 +х4 = 2 ЪхЛ -Зх2 + х3 -4х4 = 1 10х, +2х2 -х3 +2х4 =-4

Найдем решение:

Япс/(х1,х2,х3,х4) =

f-0.333^ 0.444 -0.889 -1.222

Задача №4. Решить матричное уравнение А -Х В = С, если

А =

( 2 2

2 2' 1 -2 -2 lj

с=

Гз

4

2

П

2

4J

Решение. Умножим обе части уравнения на обратную матрицу В '.

Вычислим произведение С • Я

СБ_1 =

'9 18 112

6 ЗЇ 9 О -3 6

Поскольку при умножении В ■ В~ получается единичная матрица, то имеем А • х = С ВТ1. Умножим обе части полученного уравнения на обратную матрицу А'1 и получим А~1 ■ А • х = А~1 ■ С ■ В~1. Поскольку при умножении А~1 ■ А получается единичная матрица, то окончательно имеем х = А~1 • С • В~1:

х:=Ли-(С-Г1) х =

( 7.667 1.333 ,-0.667

2 3 -1

1.667 ^ -0.667 1.333

Задача №5. Фирма, выпускающая трикотажные изделия, использует для производства продукции два вида сырья. Все необходимые данные приведены в таблице. Определить план выпуска готовой продукции, если сырье расходуется полностью, а прибыль составляет 6400 д.е.

Решение. Составим математическую модель задачи: Обозначим за х, объем выпуска і-й готовой продукции, і = 1,2,3. Тогда

0,6*1 + 0,3*2 + 0,9хз = 180 затраты шерсти на производство готовой продукции трех видов;

0,2х, + 0,2*2 + 0,6хз ~~ 90 затраты силона на производство готовой продукции трех видов;

20xi+ 1бх2 + 20хз = 6400 — общая прибыль от реализации готовой продукции.

Зададим матрицу коэффициентов при неизвестных и вектор свободных членов:

(0.6 0.3 0.9Л (1 А:= 0.2 02 0.6 90 [20 16 20J [6400J

Используя встроенную функцию Isolve, найдем неизвестные:

Г15С1

res := lsoIve(A,v) res = 150

Таким образом, выпуск готовой продукции составил: свитеров — 150 шт., пуловеров 150 шт., костюмов 50 шт.

Примеры решения типовых задач

Задача. Семья хочет накопить $12 000 на машину вкладывая в банк $1000 ежегодно. Годовая ставка процента в банке 7\%. Как долго ей придется копить?

Решение. Для решения данной задачи используем формулу наращенной величины ренты:

lnQ + f)

Запишем данные:

S:=12000 R:=1000 /:= 0.07 Подставляя их в формулу, получим

Если семья снимет деньги через 9 лет, то у них будет

St:=—L J S1 := 1.198 • 104

/

Тогда им придется еще добавить (5 51) = $ 22,011. Ответ: Семье придется копить 9 лет.

Задача. Каждые полгода на банковский счет писателя издательство перечисляет 2000 руб., на которые банк начисляет каждые полгода 7\% по схеме сложных процентов. Сколько будет на счете через 4 года?

Решение. Даны следующие значения:

R := 2000 /' := 0.07 п := 4 т := 2 р := 2

Формула для наращенной суммы имеет вид

S = R • snm,

где R — сумма, которую перечисляет банк каждые полгода; snm коэффициент наращения ренты.

В данном случае имеем ситуацию, когда число платежей в году и число начислений процентов совпадают (т=р = 2, где т — количество начислений процентов в год, р — число платежей в год). Поэтому, формула для коэффициента наращения ренты имеет вид

Г(1+/)"т і]

snm := -

Подставим исходные данные, получим следующий ответ:

snm = 10.26 S = 2.052104

Ответ: через 4 года на счете писателя будет 20 520 руб.

Задача. Заем был взят под 16\% годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д.е. в течение двух лет. Из-за изменения ситуации в стране процентная ставка снизилась до 6\% годовых. В банке согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть новый размер выплаты?

Решение. Современная величина невыплаченной суммы равна

500 а(8, 16/4) = 500 • 6.733 = 3367.

Следовательно, новый размер выплаты должен быть

R а(8, 6/4) = 3367,

отсюда R = 3367/7.486 = 450 д.е.

Ответ: Новый размер выплаты равен 450 д.е.

Задача. Проверьте план погашения основного долга равными годовыми уплатами, если величина займа составляет 600 д.е., а процентная ставка 8\%.

Решение. Величина займа 600 д,е. В конце каждого года выплачивается и-я доля основного долга, т.е. величина

^ = 120 5

В конце первого года, кроме того, платятся проценты с суммы, которой пользовались в течение этого года, т.е.:

600 • 0.08 = 48 Весь платеж в конце 1-го года равен

R1 :=120 + 48 R1 = 168 В конце 2-го года выплата составит

600-120 = 480 480 ■ 0.08 = 38.4 В конце 3-го года выплата составит

600-2-120 = 360 380 • 0.08 = 28.8 120 + 28.8 = 148.8 В конце 4-го года выплата составит

600-3-120 = 240 240 0.08 = 19.2 120 + 19.2= 139.2

Наконец, в конце 5-го года выплата составит

600-4-120 = 120

* 120-0.08 = 9.6

120 + 9.6 = 129.6

Весь описанный выше процесс вычисления можно отразить с помощью цикла:

т := 0..4

Sb.m := 120 + ((600 m ■ 120) 0.08)

So.m =

168 ~ 158.4 148.8 139.2 129.2

Значения элементов этой матрицы представляют собой ежегодные выплаты.

Ответ: Представленный план является верным.

Задача. Проверьте расчеты. Для инвестиционного проекта длительностью 6 лет с планируемыми годовыми доходами 400 д.е. и годовой ставкой 10\% с найдены необходимые инвестиции 1742 д.е.

Решение. Здесь рассматривается инвестиционный проект заданной длительности, с которой совпадает срок окупаемости. Проект должен обеспечивать заданный годовой доход.

В общем виде решение задачи таково: пусть R, п, і размер последующего годового дохода (предполагается, что доходы от инвестиций начинают поступать после окончания вложений), длительность проекта и ставка процента. Какие нужны для обеспечения этого минимальные инвестиции?

Очевидно, что необходимые инвестиции есть Inv = Rani (а„ коэффициент приведения ренты), т.е. равны современной величине потока доходов, так как срок окупаемости совпадает с длительностью проекта. Это значит, что чистый приведенный доход проекта равен 0, а внутренняя доходность совпадает со ставкой процента.

На основе этих заключений выполним компьютерные расчеты.

Запишем исходные данные:

R := 400 п := 6

/:=10\%

Коэффициент приведения ренты равен

. [1-(1+/Г]

а := 4.355

Рассчитаем ввеличину необходимых инвестиций:

lnv:=Ra lnv= 1.742 • 103

Ответ: Величина необходимых инвестиций составит 1742 д.е., т.е. расчеты проекта верны.

Задача. Рассмотрим операцию с иностранной валютой. Пусть за ноябрь 1998 г. курс доллара возрос с 16 руб. до 18 руб. Банк в начале месяца купил 10000 долларов за рубли, а в конце месяца продал доллары, получив рубли. Найдите доходность этой операции в процентах годовых. Найти реальную доходность операции, если инфляция за этот месяц была 10\%.

Решение. Банк купил 10 000 долларов. Тогда в доллары было вложено

1000016 = 1.6ю5 Эти вложения принесли

1000018 = 1.8105 Найдем абсолютную доходность:

К:= 180000

Н:= 160000

Н

і

r:=(1 + d)'-1 г = 3.11

с, = 0.125 Найдем среднегодовую доходность:

Реальной доходностью операции называется величина dr= [К1{ + а) #]/# = [Л7(1 + а)]/Я -1,

где а — величина инфляции за время проведения операции. Инфляция обесценивает конечную оценку операции в (1 + а) раз.

Если инфляция равна 10\%, то реальная доходность операции составляет

а := 0.1 dr:= \ 1 1І dr = 0.023,

Ц(1 + а)-Н| J

а среднегодовая доходность равна /у t

360

1

r1:=(1+dr)f-1 г1 = 0.31

Ответ: Среднегодовая доходность операции без учета инфляции равна 311\%, а с учетом инфляции 31\%.

Задача. По срочному годовому рублевому вкладу банк платит 42\% годовых, а по такому же валютному 8\%. Прогноз повышения курса доллара за год с 20 руб. до 26 руб. Какое принять решение: нести рубли в банк или купить на них доллары и положить их на валютный вклад, если в наличии 10 000 руб.

Решение. В том случае, если положить их на срочный рублевый счет, то получим в конце года:

10000 (1 +0.42)= 1.42104

Вычислим доходность рублевой операции:

К := 14200 Н:= 10000

Ну)

d = 0.42

В случае, если мы купим доллары, то в конце года получим 10000

= 500 500 • (1 + 0.08) = 540

540 26= 1.404-104

Вычислим доходность долларовой операции: К:= 14040 Н:= 10000

d:=(-?f|-1 с/=0.404

Ответ: Выгоднее вложить рубли на срочный рублевый счет.

Задача. Обменные курсы валют в банке: по доллару США -22,8/23,6 руб. за доллар; по итальянской лире 13,6/15,4 руб. за 1000 лир. Какова доходность для банка операции по обмену лир на доллары?

Доходность лировой операции равна

Решение. Доходность долларовой операции составляет

Доходность всей операции /находится из уравнения 1 + /= (1 + d) ■ (1 + L)

Подставим исходные данные, получим

(1 +d)(1 +L) = 1.172

Ответ: Доходность операции равна /=0,172 или /=17,2\%.

Задача. Некто получил наследство в виде солидного банковского счета К и теперь его «проедает», беря каждый год со счета в банке определенную сумму R и тратя ее в течение года. По сути, это «перевернутый» инвестиционный процесс. Что здесь является инвестициями, сроком окупаемости, внутренней нормой доходности, чистым приведенным доходом. Какие меры должен принять наследник при увеличении темпов инфляции? Расчеты выполнить для следующих исходных данных: К = 30 000 д.е., R = 6000 д.е., ставка і = 10\%.

Решение. В данном случае мы имеем «перевернутый» инвестиционный проект. В качестве инвестиций выступает счет в банке К, на который банк начисляет проценты по ставке і. В качестве доходов от инвестиций мы имеем сумму R, которую снимает наследник ежегодно в банке. Поэтому срок окупаемости такого «проекта» будет равен сроку, за который наследник снимет всю сумму в банке. Внутренняя норма доходности это предельная ставка процента, при которой за определенный срок наследник снимет всю сумму в банке.

Итак, срок окупаемости п, т.е. срок в течение которого наследник снимет всю сумму, определится из уравнения

і

где і ставка банковского процента. Отсюда получим

-1п(1-/-|)

п = R-.

1п(1 + 0

Внутренняя норма доходности «проекта» определяется из того же уравнения, в котором срок п задан и нужно определить і. Если срок «проекта» равен сроку окупаемости, то внутренняя норма доходности совпадает с банковской процентной ставкой, а чистый приведенный доход будет равен нулю.

Пусть К = 30 ООО д.е., R = 10 ООО д.е., ставка і = 10\%. Тогда для срока окупаемости получим

К := 30000 R := 10000 / := 10\%

-4-Ю

п := ^ п := 3.742,

1п(1 + /')

т.е. наследник проест свое наследство за 4 года, причем в последний 4-й год он получит сумму меньшую, чем 10 000 д.е. Найдем эту сумму. Имеем

Гі-о+і)-4]

а := ±= а := 3.1699

/

Тогда R • a = 31 699 д.е. Отсюда получим 31 699 30 000 = 1699 (д.е.). Таким образом, в последний год наследник получит не 10 000 д.е., а на 1699 д.е. меньше, т.е. 10 000 1699 = 8301 (д.е.).

Найдем внутреннюю норму доходности «проекта». Если наследник «проест» свое наследство не за 3,742 года, а например за п = 4 года, тогда, решив уравнение

K = RX-^' і

получим і = 12,6\%. Чистый приведенный доход при п = 4 года

W=R04,13 —К = 0. Если ставка процента будет больше 12,6\%, например 13\%, то чистый приведенный доход будет равен W=R • 04^3-К = = -255,3 д.е.

В инвестиционном проекте это значило бы, что проект убыточен, а в данном «перевернутом проекте» это означает, что у наследника на счету останется еще 255,3 д.е.

Задача. Сравнить темпы наращения суммы долга по простым процентным ставкам і и d, полагая их равными. Результат сравнения показать на рисунке в виде кривых наращения. Покажите на рисунке величину дохода кредитора, считая заданным срок долга.

Решение. Темпы наращения суммы долга по простым процентным ставкам і и d определяются множителями наращения

si = (l+n-/) и sd = .

(l-n-d)

Построим графики этих функций с помощью пакета MathCAD. /5=0.1 d:=0.1

1

si(n) := (1 + n ■ і) sd(n) :=

(1-nd)

si(n) sd(n)

0 1 0

2 3 4 5 6

7 8 9 9

Из рисунка мы видим, что доход кредитора при сроке долга п = 9 лет составляет: при использовании процентной ставки (2 1) ■ Р = Р; при использовании учетной ставки — (9—1)-Р = 8-Р, где Рпервоначальная сумма долга.