§ 9.3. стоимость денег во времени

§ 9.3. стоимость денег во времени

Будущая стоимость

А. Будущая стоимость единичного поступления определяется по формуле:

FVN PV0 (1 * rf, (1)

где FVjsf -— будущая стоимость во время n PVq — первоначальная сумма поступлений в нулевой период времени; г — ежегодная процентная ставка; N —число периодов времени. Это же уравнение может быть записано так:

FVN PV0 X FVIF (г, N), (2)

где FVIF (г, N) — будущее значение фактора для г процентов в течение N лет.

FVIF (г, ЛО (1 ♦ rf.

Значения FVIF (г, N) приводятся в таблицах шести функций денег (колонка будущей стоимости единицы).

Задача 7.

Найдите будущую стоимость в конце пятого периода 1000 долларов, вложенных сегодня на 8\%-ный депозит.

Решение. Используя уравнение (1), имеем:

FV5 « 1000 X (1 ♦ 0,8)5 = 1000 X 1,46933 = 1469,33 доллара.

Используя уравнение (2) и таблицу шести функций денег, имеем:

FV5 * 1000 X FVIF (0,08, 5) = 1000 X 1,46933 = 1469,33 доллара.

Б. Будущая стоимость обыкновенного аннуитета определяется по формуле:

FVAN А {1*Г^~19 (3)

где FVAN — будущая стоимость аннуитета в период времени N А — обыкновенные равномерные платежи.

Используя фактор процента, можно определить будущую стоимость аннуитета таким образом:

FVAN = А X FVIFA (г, N), (4)

где FVIFA (г, N) — будущее значение фактора процента г в период N.

FVIFA (г, N) = (1 * Г)г ~ 1 .

Значения FVIFA (г, N) приводятся в таблицах шести функций денег (колонка накопления единицы за период).

Задача 8.

Найдите будущую стоимость 1000 долларов обыкновенного аннуитета в течение пяти лет, если процентная ставка равна 8\%.

Решение. Используя уравнение (3), имеем:

FVA5 = 1000 (1 * 0,08)5 ~ 1 * 1000 X 5,8666 = 5866,60 долларов. 0,08

Используя уравнение (4) и таблицу шести функций денег, получим:

FVA5 = 1000 X FVIFA (0,08, 5) « 1000 X 5,8666 * 5866,60 долларов.

В. Будущая стоимость серий равных платежей определяется по формуле:

(1 ♦ rf 1

FVADN = А ± 1 X (1 + г). (5)

Это эквивалентно:

FVADN А X FVIFA (г, N) X (1 ♦ г). (6)

Задача 9.

Найдите будущую стоимость серии платежей 1000 долларов через пять лет, если ставка процента равна 8\%.

Решение. Используя (5), получим:

FVAD5 = 1000 (1 * qq3)5 " 1 x (1 ♦ 0,08) = = 1000 X 5,8666 X 1,08 = 5866,60 доллара. Используя (6), получим: FVAD5 = 1000 X FVIFA (0,08, 5) X 1,08 = 1000 X 5,8666 X 1,08 = * 5866,60 доллара.

Текущая стоимость

Определение текущей стоимости необходимо в ситуации, когда известна стоимость будущих денежных потоков, полученных в результате капиталовложений в нулевом периоде. Это можно представить графически.

Необходимо различать текущую стоимость разового поступления или платежа и текущую стоимость аннуитета.

Уравнения (1)и(7)и уравнения (2) и (8) для текущей и будущей стоимости простых поступлений являются базовыми.

А. Текущая стоимость разового поступления равна:

Используя фактор процента, получаем:

PVo FVN X PVIF (г, N), (8)

где PVIF (г, N) — текущее значение фактора для разового простого денежного потока в период N под г процентов.

Значения PVIF (г, N) приводятся в таблицах шести функций денег (колонка текущей стоимости единицы).

Задача 10.

Найдите текущую стоимость 5000 долларов, которые будут выплачены через семь лет, если процентная ставка в настоящее время 9\%.

PV0

Решение. Используя уравнение (7), имеем: 5000 5000

2735,17 доллара.

(1 ♦ 0.09)7 1,8280

Используя уравнение (8) и таблицу шести функций денег, получим:

PV0 5000 X PVIF (0,09, 7) = 5000 X 0,54703 2735,17 доллара.

Б. Текущая стоимость обыкновенного аннуитета определяется по формуле:

1 _ (і + гу"

PVAN А (9)

что соответствует:

PVAN « А X PVIFA (г, N). (10)

Значения PVIFA (г, N) приводятся в таблицах шести функций денег (колонка текущей стоимости аннуитета).

Задача 11.

Найдите текущую стоимость 5000 долларов обычного аннуитета за семь лет, если процентная ставка равна 9\%.

Решение. Используя уравнение (9), имеем:

PVA7 5000 1 ~(1 * °'Q9> 7, 5000 X 5,03295 = 25164,75 долл. 0,09

Используя уравнение (10) и таблицу шести функций денег, получим:

PVA7 = 5000 X PVIFA (0,09, 7) « 5000 X 5,03295 = * 25164,75 доллара.

В. Текущая стоимость серии равных платежей определяется по формуле:

1 _ (1 + Л'"

PVAD = А v ' (1 ♦ г), (11)

где PVAD — текущая стоимость аннуитета в периоде N. Это эквивалентно:

PVAD = А X PVIFA (г, N) X (1 ♦ г). (12) Задача 12.

Найдите текущую стоимость 5000 долларов в виде аннуитетных платежей в течение семи лет, если ставка процента равна 9\%.

Решение. Используя уравнение (11), получим:

PVAD 5000 1 " (1 * °'°9) 7 (1 ♦ 0,09) = 5000 X 5,03295 X 1,09 = 0,09

« 27429,58 доллара.

Используя уравнение (12) и таблицу шести функций денег, получим:

PVAD « 5000 X PVIFA (0,09, 7) X 1,09 = 5000 X 5,03295 X 1,09 = = 27429,58 доллара.

Г. Текущая стоимость перпетуитета. Перпетуитет — это обыкновенный аннуитет, который продолжается бесконечно большой период времени. Текущая стоимость перпетуитета определяется по формуле:

PVP = А / г, (13)

где PVP — текущая стоимость перпетуитета.

Задача 13.

Найдите текущую стоимость перпетуитета, платежи по которому составляют 50 долларов в год, если текущая процентная ставка равна 8\%.

Решение. Используя уравнение (13), получим: ' PVP = 50 : 0,08 « 625 долларов.

Д. Начисление сложных процентов более одного раза в год (компаудинг). При начислении сложных процентов более одного раза в год необходимо учитывать, что все формулы, рассмотренные выше, предполагают начисление процентов один раз в год:

Однако выплата процентов может происходить несколько раз в течение года.

Если начисление сложного процента происходит более одного раза в год, то уравнение (1) для определения будущей стоимости разовых выплат необходимо видоизменить следующим образом:

FVN PV0(1 + (14) ч

где q — количество начислений процента внутри компаудингового периода.

Графически это можно изобразить следующим образом:

Таким образом, q = 2, если начисления происходят два раза в течение года, q * 12 при ежемесячном начислении. И ^ = 365 при ежедневном начислении.

Преобразуя формулу (14), можно записать:

FVN = PV0 X FVIF (j)NXq.

(15)

Задача 14.

Найдите будущую стоимость депозита в 1000 долларов при начислении 8\% ежедневно в течение пяти лет.

Решение. Для ежедневного компаудинга q * 365. С помощью уравнения (14) получим:

FV5 = 1000(1 ♦ ?£!)5Х365 1000 (1 ♦ 0,000219)5Х365 = 365

= 1000 X 1,491759 = 1491,76 доллара.

Е. Бесконечный компаудинг рассчитывается по формуле: FVN = PV0XerXN, (16) где е — основание натурального логарифма.

Задача 15.

Найдите будущую стоимость депозита в 1000 долларов, если начисление 8\% производится ежедневно в течение 5 лет.

Решение. Используя уравнение (16), получим:

FV5 = 1000 X е0 08х5 = 1000 X 1,491825 = 1491,83 доллара.

Ж. Эффективная годовая ставка — это обыкновенная ставка процента, эквивалентная тому уровню, который возникает в результате непрерывного начисления в течение года, что следует из формулы:

EAR ■ (1 * -^f 1. (17)

где EAR — эффективная годовая ставка, rnom — номинальный годовой процент.

Задача 16.

Определите эффективную годовую процентную ставку по депозиту, по которому выплачивают 8\% годовых, но начисляемых ежедневно.

Решение. Используя уравнение (17), получим:

ear « (1 * S365 1 = 1,00029365 1 = 1,083278 1 = 365

* 0,083278 или 8,3278\%.