3.4. стохастические модели факторного анализа

3.4. стохастические модели факторного анализа

Стохастическое моделирование является в определенной степени дополнением и углублением детерминированного факторного анализа. В факторном анализе эти модели используются по трем основным причинам:

необходимо изучить влияние факторов, по которым нельзя построить жестко детерминированную факторную модель (например, уровень финансового левериджа);

необходимо изучить влияние факторов, которые не поддаются объединению в одной и той же жестко детерминированной модели;

необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не могут быть выражены одним количественным показателем (например* уровень научно-технического прогресса).

В отличие от жестко детерминированного стохастический подход для своей реализации требует выполнения ряда предпосылок:

Во-первых, необходимо наличие совокупности. Если жестко детерминированную модель можно построить для отдельного объекта, то для построения, например, уравнения регрессии нужна совокупность. В экономике, как правило, используют один из трех видов совокупности: пространственная (например, данные по к магазинам на определенную дату или за определенный период), временная (например, данные по одному магазину за несколько смежных периодов), пространственно-временная (например, данные по к магазинам за несколько смежных периодов).

Во-вторых, необходим достаточный объем наблюдений. В экономических исследованиях часто приходится работать в условиях малых выборок (до 20 наблюдений). Нередко в качестве объекта анализа используют всю имеющуюся совокупность; в этом случае принято рассматривать ее как выборку из гипотетической совокупности, состоящей из всех возможных в принципе значений моделируемых показателей. Поскольку стохастическая модель — это, как правило, уравнение регрессии, считается, что количество наблюдений должно, как минимум, в 6—8 раз превышать количество факторов.

В-третьих, необходима случайность и независимость наблюдений. Это требование наиболее трудно для выполнения, поскольку одной из особенностей экономических показателей является их инерционность и взаимозависимость. Нередко этим требованием пренебрегают, либо отсеивают взаимно коррелирующие признаки с помощью специальных статистических методов.

В-четвертых, изучаемая совокупность должна быть однородной. Качественная однородность достигается путем логического отбора; критерием количественной однородности может служить, в частности, коэффициент вариации значений признака, по которому отобрана совокупность; его значение не должно превышать 33\%.

В-пять[х, распределение признаков, включаемых в модель, должно быть близким к нормальному. Существуют различные статистические методы проверки нормальности распределения (самый простой — через показатели асимметрии и эксцесса). Выполнение этого требования в экономических исследованиях нередко сопряжено с существенными трудностями и не всегда возможно.

В-шестых, необходимо наличие специального математического аппарата. В зависимости от условий, в которых проводится анализ, могут применяться различные методы: регрессионный анализ, ковариационный анализ, спектральный анализ и др.

Построение стохастической модели проводится в несколько этапов:

качественный анализ (постановка цели анализа, определение совокупности, определение результативных и факторных признаков, выбор периода, за который проводится анализ, выбор метода анализа);

предварительный анализ моделируемой совокупности (проверка однородности совокупности, исключение аномальных наблюдений, уточнение необходимого объема выборки, установление законов распределения изучаемых показателей);

построение стохастической (регрессионной) модели (уточнение перечня факторов, расчет оценок параметров уравнений регрессии, перебор конкурирующих вариантов моделей);

оценка адекватности модели (проверка статистической существенности уравнения в целом и его отдельных параметров, проверка соответствия формальных свойств оценок задачам исследования);

экономическая интерпретация и практическое использование модели (определение пространственно-временнбй устойчивости построенной зависимости, оценка практических свойств модели).

И жестко детерминированные, и стохастические модели имеют свои достоинства и недостатки. Тем не менее между ними есть одно весьма принципиальное различие. В принципе факторный анализ можно понимать двояко: в широком смысле — это выявление и оценка влияния факторов; в узком смысле — оценка влияния предварительно обособленных факторов. Стохастическое моделирование позволяет реализовывать факторный анализ в широком смысле, а жестко детерминированное моделирование — лишь в узком смысле.

Действительно, проводя факторный анализ с помощью регрессионной модели, можно (по крайней мере теоретически) включить в рассмотрение практически любое число факторов, если позволяет объем совокупности. В статистике разработаны методы, позволяющие отсеивать незначащие факторы, благодаря чему в модели остаются лишь те факторы, которые существенным образом влияют на результативный показатель. Иными словами, в этом случае действительно имеет место поиск факторов с последующей оценкой степени их влияния.

В случае с жестко детерминированной моделью число факторов изначально ограничено, при этом все факторы, неподдающиеся включению в модель, отбрасываются, как бы значимы (с позиции логики) они ни были. Например, рассмотрим две модели, связывающие товарооборот, численность, выработку, основные средства и фондоотдачу:

Т=ЧВ и Т=ОСФот.

Одно и то же изменение товарооборота в первой модели распределяется на два фактора: численность и выработку, во второй модели — на величину основных средств и фондоотдачу. В обоих случаях все другие факторы (совершенно очевидно, что их очень много) полностью игнорируются. Таким образом, здесь изначально нет поиска факторов; имеет место лишь некоторое распределение изменения результативного показателя по факторам. Если уж сама модель построена с такими существенными упрощениями, то собственно метод распределения не имеет никакого принципиального значения.

3.5.

Типовые задачи детерминированного факторного анализа

Можно выделить четыре типовые задачи:

Оценка влияния относительного изменения факторов на относительное изменение результативного показателя.

Оценка влияния абсолютного изменения /-го фактора на абсолютное изменение результативного показателя.

Определение отношения величины изменения результативного показателя, вызванного изменением j'-ro фактора, к базовой величине результативного показателя.

Определение доли абсолютного изменения результативного показателя, вызванного изменением /-го фактора, в общем изменении результативного показателя.

Приведем краткую характеристику этих задач.

Задача 1.

Задача имеет смысл для мультипликативных и кратных моделей. Рассмотрим простейшую двухфакторную модель р = а ■ Ь. Очевидно, что при анализе динамики этих показателей будет выполняться следующее соотношение между индексами:

/р = 1а ■ h,

где значение индекса находится отношением значения показателя в отчетном периоде к базисному.

Таким образом, относительные изменения факторных и результативного показателей связаны той же зависимостью, что и показатели в исходной модели. Данная задача применяется при ответе на вопросы типа: «что будет, если /-Й показатель изменится на п\%, а j-й показатель изменится на ?»

Задача 2.

Является основной задачей детерминированного факторного анализа; ее общая постановка имеет вид: Пусть у -f(xi, Х2, --■, х„) жестко детерминированная модель, характеризующая изменение результативного показателя у от: п факторов. Пусть все показатели получили приращение Д (например, в динамике, по сравнению с планом, по сравнению с эталоном):

АоУ = у1 ~ у0-' А*; = Хі1 — Хі°Требуется определить, какой частью общее приращение результативного показателя у обязано приращению (-го фактора, т.е. расписать следующую зависимость:

где Дог— Ахіу —

ДдУ = АХ[у + АХ2у + ... + АХяу, (3.1)

общее изменение результативного показателя, складывающееся под одновременным влиянием всех факторных признаков; изменение результативного показателя под влиянием только фактора Х( .

В зависимости от того, какой метод (прием) анализа модели выбран, факторные разложения могут различаться, так как в каждом из этих методов реализован определенный алгоритм разложения некоторого показателя (в данном случае, Аоу) на сумму слагаемых (в данном случае, Д^). Легче всего суть проблемы рассмотреть на простейшей двухфакторной модели, связывающей товарооборот (7), численность (Ч) и выработку (В):

Т=ЧВ.

Предположим, что анализируется динамика этих показателей, причем аналитик желает обособить влияние каждого из факторов с тем, чтобы выяснить, какой из них и в какой степени влияет на изменение результативного показателя. По определению:

Ті=Т0+АТ; Ч}=Ч0 + АЧ; В,= В0+АВ. Поэтому после элементарных преобразований получим:

А„Т = Т, Т0 = Ч, ■ В, — Ч0 • Во = (Ч0 + АЧ) (В0 + АВ) — Ч0В0; АоТ = Ч0 ■ АВ + В0 ■ АЧ + АЧ ■ АВ.

В последней формуле уже отчасти удалось обособить влияние факторов: в первом слагаемом выделено влияние фактора В; во втором — фактора Ч. Осталось разобраться лишь с последним слагаемым, в котором наличествуют оба изменения. Это слагаемое называется неразложимым остатком. Чем более сложна исходная модель, тем больше появляется подобных неразложимых остатков. Именно неразложимый остаток является камнем преткновения при построении факторного разложения. Существуют различные подходы в его трактовке и распределении:

Неразложимый остаток (или остатки в более сложных моделях) отбрасывается ввиду абсолютной теоретической необоснованности какого-либо его распределения. В этом случае получим следующее факторное разложение:

ДХ» Ч0АВ + В0АЧ.

Именно этот подход реализован в методе выявления изолированного влияния факторов.

Неразложимый остаток целиком присоединяется к какому-либо члену факторного разложения, а именно к члену, характеризующему влияние качественного показателя (в нашей простейшей модели — это фактор выработки). Здесь как раз руководствуются традиционно принятым в отечественной статистике подходом взвешивать качественный показатель по весам отчетного периода; если остаток присоединить ко второму слагаемому, получим используемый на Западе подход взвешивания качественного показателя по весам базисного периода. В соответствии с отечественной традицией имеем:

АоТ = (Чо ■ АВ + АЧ АВ) + В0 АЧ = Ч, ■ АВ + Во ■ АЧ, т.е. получили искомое разложение:

А0Т = АВТ + АЧТ,

где

АВТ =Ч/АВ и АЧТ = В0 АЧ.

Этот подход реализован в методе цепных подстановок.

Неразложимый остаток распределяется по определенному алгоритму, что и предусмотрено тем или иным методом детерминированного факторного анализа. В приведенной простейшей двухфакторной модели остаток может распределяться между двумя другими слагаемыми, например, в равной пропорции (т.е. 50 на 50) или в соответствии с темпами их роста и т.п. Считается, что наиболее законченное воплощение данный подход нашел в интегральном методе. Согласно этому методу для рассматриваемой двухфакторной мультипликативной модели факторное разложение имеет вид:

Д J=(4V-A В+АЧ'*В)+(В0-А Ч+АЧ'*В)=А „Т+А ЧТ.

Неразложимый остаток оставляется в качестве самостоятельного члена факторного разложения и интерпретируется как показатель совместного влияния факторов на изменение результативного показателя.

Итак, факторное разложение (3.1) может быть получено с помощью различных методов, причем не все из них дают полное разложение, т.е.

равенство в (3.1). Кроме того, из-за округлений равенство не всегда обеспечивается и теми методами, которые дают полное разложение. Поэтому рекомендуется последнее слагаемое в (3.1) всегда находить методом балансовой увязки.

Заканчивая описание второй типовой задачи детерминированного факторного анализа, еще раз подчеркнем, что теоретически обоснованного метода распределения неразложимых остатков не существует. Поэтому любое «обоснование» того, что какой-то из разработанных в статистике и анализе финансово-хозяйственной деятельности приемов факторного разложения является наилучшим (обычно так говорят про интегральный метод), по сути, ничем не подкреплено и является надуманным утверждением.

Задача 3.

В определенном смысле представляет собой следствие второй типовой задачи, поскольку базируется на полученном факторном разложении. Необходимость этой задачи обусловлена тем обстоятельством, что полученные элементы факторного разложения являются абсолютными величинами, которые трудно использовать для пространственно-временных сопоставлений. В рамках задачи 3 факторное разложение дополняется относительными показателями:

«,=-^-■100\% (3.2)

Экономическая интерпретация: коэффициент а* показывает, на сколько процентов к базисному уровню изменился результативный показатель под влиянием к-го фактора. Являясь относительным показателем, а* уже приемлем для пространственно-временных сопоставлений.

Задача 4.

Также решается на основе базовой задачи 2 и сводится к расчету коэффициентов:

V „=^-100\%. (3.3)

Экономическая интерпретация: коэффициент ук показывает долю прироста результативного показателя, обусловленную изменением к-го фактора. Здесь не возникает вопроса, если все факторные признаки изменяются однонаправ-ленно (одновременно либо возрастают, либо убывают). Если это не выполняется, решение задачи 4 может быть осложнено. В частности, в наиболее простой двухфакторной модели в подобном случае расчет по формуле (3.3) не выполняется и считается, что 100\% прироста результативного показателя обусловлены изменением доминирующего факторного признака, т.е. признака, изменяющегося однонаправленно с результативным показателем. В более сложных моделях прибегают к подобной же условной интерпретации.