4.2. функциональные уравнения и скалярные функции роста

4.2. функциональные уравнения и скалярные функции роста

Инвестиционное проектирование является многоуровневой обработкой данных, фактов и знаний вместе с разработкой методов для обеспечения успеха проектов. Также необходима систематизация процедур обоснования и сопровождения инвестиционных решений. Исследование процедуры генерации инве<литгионных моделей позволяет выбрать ключевые признаки инвестиционных моделей.

90

91

:eKt

P-vv(t) 1

41P + Thvv(t) P-1

искомую функцию, что дает функцию роста

Y(t)=(1 -П1 f ^ . (4.7)

W 1+ П2 (P1)e-at ' '

Удобно использовать в программных средах следующий оператор:

rostC(m,П2,a,P,t) = Y(t) = (1 -П1 ((P1?)--alt)P . (48)

Тогда для обращения этого оператора получаем интересное соотношение

rostC-1 (ti1 , n2, a, P, t)= rostc(-n2 , a, P-1, t). (4.9)

В дискретном временном представлении имеем следующий оператор роста:

rostD(\%,T2,r,P,t) =vt1 ((p- K'))^t)P . (4.10)

1 +T2(P1)1 + r) t

Для экономических приложений параметр r может быть интерпретирован как процентная ставка, причем

a = ln(1 + r).

92

Аналогично соотношению (4.9) обращение оператора (4.10) приводит к следующему правилу:

rostD-1 (п1, П2, r, Р,t) = rostD(-n2 , r, В-1, t). (4.11)

Когда необходимо построить траекторию роста из начального состояния системні x(to), где to начальный момент времени, располагая оператором роста (4.7), уравнение этой траектории роста имеет вид:

x(t) = v|/(t)v|/-1 (t0 )x(t0) = T(t, t0) • x(t0), (4.12)

где функция перехода определяется уравнением

Y(t,t0) = v|/(t)v|/-1 (t0). (4.13)

Если допустить возможность переключения траектории роста с одной модели на другую внутри исследуемого интервала времени, то из локальных представлений экономического развития (4.13) общая функция перехода строиться следующим образом:

Ф(, t0 )=П ^(tj+1, tj). (4.14) j=0

Пусть начало инвестиционного цикла совпадает с переходом основной экономической системы на новую S-образную траекторию роста, тогда

x(t)=Y(t )х x0,

x0 = x(0), поскольку

¥(0) = 1.

4.3. Исчисление денежных сумм

Для дискретного времени закон сложных процентов теперь приобретает вид

Р-pv-Л1 • (В-1)• В PV

FV = ~l~. (4.15)

_(1 + r)t

1 + п2 • (В-1) г

93

Разумно ввести следующее обозначение: FV =PPV,

ведь эта величина является пределом роста настоящей денежной суммы. Тогда из (4.10) следует, что потенциал дальнейшего экономического роста для некоторой будущей суммы в обобщенном уравнении

(1 + r) ' (1 + r)

= 7P-)T -(T1 FV0-T2 FV)

(1 + r)

Из (4.7) вытекает, что будущая денежная сумма

(4.16)

1+T2—Г

(1 + r)t FV

1 (1 + r)t

После преобразований процедура дисконтирования приобретает такой вид:

PV = yFV + (1 -y) L—— FV, (4.17)

где параметр Y = P-1.

Обобщенный чистый дисконтированный доход. Пусть инвестиционный цикл порождает поток реальных денег {CF}j, тогда критерий обобщенного чистого дисконтированного дохода NPVG (Net Present Value General), учитывая (4.17), можно представить таким образом:

NPVG = y£CFt + (1 y)х £ Y((T1 +tT2) CFt. (4.18)

f=0 t=0Y-(1 + r) -T1

Заметим, что этот критерий превращается в традиционный NPV, если параметр предела экономического роста удовлетворяет условию

P» 1,

94