4.2. оптимизация инвестиционного портфеля по модели шарпа

4.2. оптимизация инвестиционного портфеля по модели шарпа

Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяют находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов Wt каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет n ценных бумаг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей Е(Ч) каждой ценной бумаги, n величин

<а{ дисперсий всех норм отдачи и n(n 1)/2 выражений попарных ковариаций а{. ценных бумаг в портфеле.

В 1963 г. американский экономист у. Шарп (William Sharpe) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод моди 

63

фицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа (Sharpe single-index model).

Общее описание модели. В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = а + в хХ. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность rm, вычисленную на основе индекса Standart and Poor's (S&P500). В качестве зависимой переменной берется доходность rt какой-то ценной бумаги i. Поскольку зачастую индекс S&P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model), а доходность rm доходностью рыночного портфеля.

Пусть доходность rm принимает случайные значения, и в течение N шагов расчета наблюдались величины rml, rm2, ... , rmN. При этом доходность ri какой-то ценной бумаги i имела значения ril, ri2, ... , riN. В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и rt в любой наблюдаемый момент времени в виде:

rit = а + в^ + £i,t , (4.4)

где ri t доходность ценной бумаги i в момент времени t (например, 31 декабря 2000 года);

а параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности ценной бумаги i не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm;

в параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности ценной бумаги i к изменениям рыночной доходности;

64

rm t доходность рыночного портфеля в момент t; eit случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения rit и rmt порою отклоняются от линейной зависимости. Особое внимание необходимо уделить параметру в, поскольку он определяет чувствительность доходности ценной бумаги , к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если в > 1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm. Соответственно, при

в < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности r от средней арифметической (ожидаемой) величины E(r)j, чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом в > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с в< 1 как менее рискованные.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг в > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной в.

Определение параметров ц и в регрессионной модели. Для нахождения параметров ц и в по результатам наблюдений используется метод наименьших квадратов (МНК). По этому методу в качестве параметров ц и в берутся такие значения, которые минимизируют сумму квадратов ошибок є. Если провести необходимые вычисления, то окажется, что параметры ц и в принимают следующие значения:

ai = E(ri) pi х E(rm), (4.5)

P

ai,m n pi,m ai /л /i

i = —5или Ді = — . (4.6)

a5 a

mm

Оценка результатов регрессии. Параметры ц и в регрессионной модели дают представление об общих тенденци 

65 ях взаимосвязей между изменениями рыночного показателя rm и нормой отдачи r.. Однако величины ц и в не позволяют давать однозначный ответ о степени подобной взаимосвязи. На точность регрессионной модели оказывает значительное влияние ошибка є.. Значит, точность регрессионной модели, степень взаимосвязи rm и r определяются разбросом случайных ошибок є, который можно оценить с помощью дисперсии случайной ошибки о2£і. Кроме того, точность регрессии можно определить, оценивая, сколь точно регрессионная модель определяет дисперсию а2 ценных бумаг, для которых составляется регрессионная модель.

Дисперсию а2 ценной бумаги i2 можно представить в виде двух слагаемых:

Разделим обе части равенства на величину о2:

і=вї<+<

1 -,-2 _ 2 '

В этом случае первое слагаемое будет показывать, какую долю в общем риске ценной бумаги можно описать с помощью регрессионной модели (ri t = ц + ДіГ,„ t), а второе слагаемое степень неточности регрессионной модели. Значит, чем ближе величина ват / а,2 к единице, тем более точна регрессионная модель. Если обратиться к равенству, то можно увидеть, что в2о2 /а2 =р2 .

Следует иметь в виду, что квадрат коэффициента корреляции р2т является общепризнанной мерой оценки линейной регрессии, то есть мерой того, насколько точно уравнение регрессии подходит для описания соотношений реальных

данных rit и rmt.

66

Поскольку для определения оптимального портфеля с использованием модели Шарпа понадобятся значения дисперсий а2єі случайных ошибок Шд, вычислим их. Общая формула для

вычисления дисперсии случайной ошибки имеет вид:

ае2, i[rht (а, +в,гт,<)]2 /(N 2) . (4.7)

t=i

В данном случае средняя арифметическая величина вычисляется делением на (N-2), поскольку две степени свободы были утеряны при вычислении а и в

Использование рыночной модели Шарпа для построения границы эффективных портфелей. Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Поскольку в основу модели Шарпа положена линейная регрессия, то для ее применения необходимо ввести ряд предварительных условий. Если предположить, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то будем считать, что:

Средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок E(ei) = 0 для всех ценных бумаг портфеля, то есть для i = 1, 2, ... , n.

Дисперсия случайных ошибок о2Е . для каждой ценной

бумаги постоянна.

Для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N лет величинами случайных ошибок.

Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

Отсутствует корреляция между случайными ошибками si и рыночной доходностью.

Используя эти упрощения, можно получить выражения E(r), of и Qj для любых ценных бумаг в портфеле:

67

где Wn+1 = ; (4.11)

i=

^n+\^ cn+ ' m •

При этом считается, что дисперсия (п+1)-й ошибки равна дисперсии рыночной доходности: а2£ n+ = а2гп.

Выражение (4.11) представляет собой сумму взвешенных величин «беты» (в) каждой ценной бумаги (где весом служат W) и называется портфельной бетой (в).

С учетом сделанных допущений, формулу (4.8) можно записать так:

e ) = £ wMa+F,), (4.12)

а поскольку, согласно введенному начальному условию Е(щ, = 0, то окончательно имеем:

n+

E(rn) = £Wia. (4.13)

i=

Итак, ожидаемую доходность портфеля E(rn) можно представить состоящей из двух частей:

a) суммы взвешенных параметров ц каждой ценной бумаги

W1a1 + W2a2 + .... + Wnan, что отражает вклад в E(rn) самих

ценных бумаг;

n

b) компоненты Wn+an+ = £_WiPiE(rm), то есть произведеi =

ния портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля.

Дисперсия портфеля. Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:

69

n+l

°l = £W2<, ■ (4.14)

i=1

При этом только необходимо иметь в виду, что Wn+i = f Щв , то есть (Щ +1)2 = (WA + W2& + ■■■■ + Wn/3n)2, а

i=1

<J2(.n+1 = a2m ■ Значит, дисперсию портфеля, содержащего n ценных бумаг, можно представить состоящей из двух компонент:

n

средневзвешенных дисперсий ошибок f Щ2<7Є i , где весами служат W, что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск);

вП2^тт взвешенной величины дисперсии рыночного показателя o2m, где весом служит квадрат портфельной беты, что отражает долю риска портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (рыночный риск)

В модели Шарпа цель инвестора сводится к следующему: необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля

Итак, отметим основные этапы, которые необходимо пройти для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа:

1) Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N

70

шагов расчета, в котором будут наблюдаться значения доходности ri t каждой ценной бумаги.

По рыночному индексу (например, AK&M) вычислить рыночные доходности rm t для того же промежутка времени.

Определить величины віст

m

Найти параметр at:

а = E(ri) — ffiE(rm) •

Вычислить дисперсии <72й ошибок регрессионной модели.

Подставить эти значения в уравнения (4.15-4.18). После такой подстановки выяснится, что неизвестными

величинами являются веса Wt ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E*, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.

71

Тест

Верно ли утверждение, что модель Г. Марковица применима теоретически только для случая, когда инвестирование предполагается на один холдинговый период?

а) это предположение верно только для модели у. Шарпа;

б) да, но только для хорошо диверсифицированных портфелей;

в) да, это является одним из допущений модели Г. Марковица;

г) нет, так как модель Г. Марковица разрабатывалась для инвестирования на несколько холдинговых периодов.

Какие два параметра используются в модели Г. Марковица для оценки инвестором эффективности вложения денег в портфель акций?

а) ожидаемая доходность E(r) и темп инфляции i;

б) ожидаемая доходность E(r) и дисперсия а 2 доходности

акций портфеля;

в) ковариация и коэффициент корреляции pi,j доходности акций портфеля;

г) дисперсия а 2 доходности акций портфеля и темп инфляции i.

Что такое «граница эффективных портфелей» в модели Г. Марковица?

а) совокупность портфелей, обеспечивающих минимальный

риск при любой заданной величине ожидаемой доходности портфеля;

б) совокупность портфелей, для которых дисперсия случайных ошибок минимальна;

в) прямая линия, соответствующая линейному регрессионному уравнению;

г) линия, обеспечивающая оптимальное соотношение параметров регрессии.

72

Верно ли утверждение, что оптимальный портфель обязательно должен быть эффективным?

а) да;

б) это зависит от отношения конкретного инвестора к риску;

в) в определенных условиях инвестор может в качестве оптимального выбирать и неэффективный портфель;

г) при высоких уровнях корреляции это условие может не

выполняться.

Инвестор формирует портфель из трех акций A, B, C. Известно, что текущие цены акций: Pa = 10 руб.; Pb = 15 руб.; Pc = 20 руб. Инвестор располагает 10 тыс. руб. После решения задачи Марковица получилось, что при желаемой отдаче портфеля E(rn) = 0,12 веса акций портфеля распределяются следующим образом:

Wa= -0,3; Wb= +0,9; Wc= +0,4.

Что означают эти цифры? Какое количество акций каждого вида в итоге объединит инвестор в портфеле?

Известно, что в основе метода У. Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа. Какие величины связывает уравнение линейной регрессии в данной модели?

а) дисперсии случайных ошибок акций портфеля;

б) доходности конкретной акции портфеля и доходности

рыночного портфеля;

в) ожидаемой доходности портфеля и дисперсии портфеля;

г) доходности рыночного портфеля и дисперсии доходностей рыночного портфеля.

Верно ли утверждение, что коэффициент а регрессионной модели может свидетельствовать о степени чувствительности доходности конкретной акции к изменениям рынка?

а) да;

б) это справедливо только для акций с высоким значением в;

в) нет, данную чувствительность оценивают с помощью коэффициента в;

г) да, но только если дисперсия случайных ошибок минимальна.

73