6.11. условные экстремумы функций нескольких переменных

6.11. условные экстремумы функций нескольких переменных

Пусть функция f(M) определена на множестве К с R". Точка М0 е Fназывается точкой условного локального минимума (максимума) функции f(M) на множестве V, если существует окрестность Sr(M0) точки М0 такая, что для всех точек М е Sr(M0) п Квыполня-ется неравенство f(MQ) < f(M) (f(MQ) > f(M)).

Точки условного локального минимума и условного локального максимума функции f(M) на множестве ^называются точками условного экстремума функции f(M) на множестве V.

Точка экстремума функции всегда является точкой условного экстремума. Если же точка условного экстремума функции f(M) на множестве Fявляется внутренней точкой этого множества, то она — точка экстремума функции f(M).

Рассмотрим множество

V= {Me R" Ф^М) = 0, i = 1, 2,к;

Ф.(М)<0, i = k+l,...,/}.

Точка М0 е К называется условно стационарной точкой функции f(M) на множестве V, если в ней градиент f(M) разлагается по градиентам тех функций Ф.(М), которые в точке М0 обращаются в 0.

О Пример. Точка М0(4; 6) является условно стационарной точкой функции f(M) = (х 2)2 + (у З)2 на множестве Q = = {М(х, у) е R21 Ф(М) = Xі + у2 52 < 0}. Действительно, Ф(М0) = 0,

ёгай/1м0 = & 6>' Є^фм0 = 12>' т'еР^Амо = 2ёГа(1Ф^о • *

169

Предположим, что функция f(M) определена на множестве Р= {M(xv х2,хп) | Ф,(х15 х2,хп) = 0, / = 1, 2,А;}. В этом случае функция

L(xvx2, ...,xn,yvy2, ...,ук) =

к

= /(х1,х2,...,х„) ^у,Ф,(х1,х2,...,хя)

(=1

назьшается функцией Лагранжа.

Эху ЭХ 1*,

ТочкаЛ/рЄ R"является условно стационарной точкой функции f(M) на множестве Р тогда и только тогда, когда

= 0, у =1,2,...,и,

= 0, і = 1,2,..., к.

О Пример. Найти условно стационарные точки функции /(хр х2) = Зх2 + 2х2 3Xj + 1 на множестве Р = {M(xv х2) | Ф(М) =

= х2 + х2 4 = 0}. Функция Лагранжа в этом случае имеет вид

Тогда

Эхх ЭХ Эх2 ЭХ [Эу

Х(хр х2, у) = Зх2 + 2х2 3Xj + 1 у(х2 + х2-4). ЭХ

= 6xj 3 2ух, = 0,

4х2 2ух2 0,

-(х2 + х| 4) = 0,

откуда найдем следующие четыре условно стационарные точки: ІИІ(3/2;>/7/2), М2(3/2;-л/7/2), Jf3(2; 0), Л/4(-2; 0). •

Необходимое условие условного экстремума функции f(M) на множестве V= {Me R" | Ф.(ЛГ) = 0, і = 1, 2,к; Ф/Af) <Q,i = k+l,

/}: Предположим, что М0 — неособая точка условного экстремума функции f(M) на множестве V. Если функции /(М) и Ф;(М)) г = 1, 2,fc, +1,/, дифференцируемы в точке М0, то эта точка является условно стационарной точкой функции f(M) на множестве V.

170

Условно стационарная точка функции /(Af) на множестве V может не быть точкой условного экстремума. Однако все неособые точки условного экстремума находятся среди условно стационарных точек (при условии дифференцируемости функций /(Af) и <D,(Af),/ = l, 2, ...,к,к+, ...,/)•