7.13. линейные дифференциальные уравнения п-го порядка
7.13. линейные дифференциальные уравнения п-го порядка
Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида
у(и) + а^х)/"-» +... + ап(х)у = й(х), (7.12)
где а{(х), ап(х), Ь(х) — известные функции от х; у — искомая функция.
Функции а,{х),ап(х) называются коэффициентами дифференциального уравнения (7.12).
Уравнение (7.12), в котором Ь(х) ф 0, называется неоднородным.
Наряду с каждым неоднородным уравнением (7.12) можно рассмотреть соответствующее ему однородное уравнение
у(п) + а^х)/"-^ +... + ап(х)у = 0. (7.13)
Если у, = ф^х), у2 = ф2(х),ук = <рк(х) — решения однородного уравнения (7.13), то любая их линейная комбинация
где Cv С2, Ск — постоянные, также является решением этого однородного уравнения.
Система функций называется линейно независимой на интервале ]а, Ъ[, если ни одна из этих функций не может быть выражена в виде линейной комбинации остальных функций.
Фундаментальный набор решений — это набор линейно независимых решений уравнения (7.13), содержащий такое количество функций, каков порядок дифференциального уравнения.
Теорема. Для того чтобы решения у, = фДх), у2 = Ф2(х), уп = фи(х) линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на отрезке [а, Ь] коэффициентами были линейно независимыми на интервале (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского
196
Фі(*) | Ф2(х) . | • ф„(*) | |
Щх) = | ф((х) | Ф2(х) . | • ф;(х) |
фГ^х) . | . ф^х) |
был отличен от нуля при любом х из [а, Ь].
Любое решение однородного уравнения можно представить в виде линейной комбинации фундаментального набора решений
i=l
где С. (/= 1, 2,и) — произвольные постоянные.
Выражение (7.14) называется общим решением однородного дифференциального уравнения (7.13).
О Пример. Уравнение у" + у = 0 имеет решения
у = sinx, у = 2 sinx, у = cosx.
Легко убедиться, что первое и второе решения не образуют фундаментальную систему, а первое и третье — образуют. Следовательно, общее решение данного уравнения можно представить в виде
у = CjSinx + C2cosx, где Cj, С2 — произвольные постоянные. •
Пусть у — некоторое решение неоднородного уравнения (7.12), а у — общее решение однородного уравнения (7.13). Тогда У = У + У — общее решение неоднородного уравнения (7.12).
Зная общее решение неоднородного уравнения (7.12), легко найти любое его частное решение.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы