10.10. классические кооперативные игры
10.10. классические кооперативные игры
Пусть К — некоторое конечное множество. Элементы множества Сбудем называть игроками.
Функция v, определенная на множестве всех подмножеств множества К, называется характеристической функцией множества К, если v(0) = 0 (0 — пустое множество).
Если v — характеристическая функция множества игроков К, то каждому подмножеству Q множества ^поставлено в соответствие число v(Q), равное выигрышу, который могут получить игроки множества Q, действуя совместно.
Характеристическая функция v множества К называется супераддитивной, если для любых непересекающихся подмножеств Pt&Q множества К
v(PuQ)>v(P) + v(Q).
Любое подмножество множества игроков К называется коалицией игроков. В частности, можно говорить о пустой коалиции,
301
о коалиции, состоящей из одного игрока, и т.д. Если множество К состоит из г игроков, то эти игроки могут образовать 2Г различных коалиций.
Свойство супераддитивности характеристической функции означает, что суммарный выигрыш непересекающихся коалиций Р и Q не превосходит выигрыша, который могли бы получить игроки, объединившись в коалицию PuQ.
Если имеется супераддитивная характеристическая функция v некоторого конечного множества К, то говорят, что задана классическая кооперативная игра Г = {К, v).
О Пример 1. Пусть К — конечное множество, а Ь — некоторое число. Чтобы задать характеристическую функцию v множества К, достаточно для любого подмножества Q множества К положить
v(Q) = Q-b,
где Q — число элементов множества Q. Характеристическая функция v супераддитивна, так как для любых двух непересекающихся подмножеств Р и Q множества А" имеет место равенство
v(Pu0 = v(P) + v(Q).«
О Пример 2. Имеется множество ^4 = {av а(,«,} продавцов некоторого товара и множество В = {bv b},bm} покупателей этого товара.
Продавец д. (i = 1, 2, /) может продать х. единиц товара, а покупатель А. (у = 1, 2, т) собирается приобрести у. единиц этого товара.
Супераддитивную характеристическую функцию множества К = А и В можно задать, если для каждого подмножества Q множества К положить
v(Q) = mini £ х,., £ уЛ.т
і j
О Пример 3. Дана конечная бескоалиционная игра г лиц
Г = {Sv Sk,Sr, H,(s),Hk(s),Hr(s)}.
Можно считать, что K= {1, k, г) — множество игроков в игре Г. Если Q — некоторое подмножество множества игроков К, то любую ситуацию
302
г
s = (s1,...,sk,...,sr)sY[Sk
к=
можно представить в виде
s = (s,s),
где
sel[Sk, їє П Sk.
ksQ ksKQ
Если ПОЛОЖИТЬ
v(0= max (_ mm У Hk(s,s) «ПА " П 5*^е
Если дана некоторая кооперативная игра Г = {К, v}, то коалиция К, объединяющая всех игроков, может обеспечить себе выигрыш, равный v(K).
Основная задача в классической теории кооперативных игр — найти распределение выигрыша v(K), которое устраивало бы всех игроков.
Если все игроки кооперативной игры Г = {К, v} пронумерованы, то можно считать, что К= {1, 2,г). В этом случае выигрыш коалиции, состоящей из одного k-то игрока, будет равен v{k) (к = 1, 2,
г). Тогда
v(l) + ... + v(k) + ... + v(r)<v(K). Кооперативная игра Г = {^Г, v} называется существенной, если v(l) +... + v(k) +... + v(r) < v(K), и несущественной, если
v(l) +... + v(k) +... + v(r) = v(K).
10.11. Дележи в кооперативных играх, с-ядро
Дана кооперативная игра Г = {К, v}, где К= {1, 2, г), a v — супераддитивная характеристическая функция множества К.
Предположим, что при распределении выигрыша v(K) между игроками k-й игрок (к = 1, 2,г) получил хк единиц выигрыша.
303
Тогда
*! + ...+хл+...+х,. = уСГ). (10.11)
Кроме того, естественно считать, что
v(k)<xk, k=l,2,...,r, (10.12)
т.е. при распределении выигрыша v(K) каждый игрок должен получить не меньше того, что он мог бы получить, действуя самостоятельно.
Любой вектор х = (xv хк,хг), удовлетворяющий условиям (10.11) и (10.12), называется дележом в кооперативной игре Г.
В несущественной игре Г = {К, v} имеется только один дележ х = (v(l),v(k),v(r)). В существенной игре различных дележей бесконечно много, причем любой дележ в этой игре имеет вид
х (v(l) + av v(k) + ак,v(r) + ar),
г г
гдеосл>0Д=1,2,...,г, = v(K)-^v(k).
k=l _ k=
Пусть x = (xv xk,xr) и у = (yv yk,yr) — дележи в кооперативной игре Г = {К, v}. Говорят, что дележ х доминирует дележ у, если существует коалиция Р с Этакая, что
£хк < v(P) и хк > ук приА: є Р.
к<=Р
Если дележ х доминирует дележ у, то среди игроков множества К найдутся такие игроки, которые заинтересованы в том, чтобы дележ у заменить на дележ х.
Множество дележей в кооперативной игре, каждый из которых не доминируется какими-либо другими дележами, называется с-ядром этой игры.
Если дележ х принадлежит с-ядру кооперативной игры, то среди участников этой игры нет игроков, заинтересованных в изменении этого дележа.
Для того чтобы дележ х = (xv ...,хк, хг) принадлежал с-ядру кооперативной игры Г = {К, v}, необходимо и достаточно, чтобы для любой коалиции Р с .^выполнялось неравенство
v(P)<^xk. (10.13)
кеР
304
О Пример. Дана кооперативная игра Г = {К, v}, где
К={1,2, 3}, v(0) = v(l) = v(2) = v(3) = О, v({l,2}) = v({l,3}) = l/2, v({2,3}) = 2/3, v({l, 2, 3}) = 1.
Вектор x = (xv x2, x3) является дележом в игре тогда и только тогда, когда
Х-^ ~~ х^ ~ь х^ — 1,
xt > 0, і = 1,2,3.
Для того чтобы вектор х = (xv х2, х3) принадлежал с-ядру игры Г, необходимо и достаточно, чтобы
Х-^ ~Ь Х<2 ~г" Х^ — lj
хх + х2 ^ 1/2,
• Ху + х3> 1/2,
х2 + х3 > 2/3,
X, >0, / = 1,2,3.
В частности, векторы х = (1/4; 2/3; 1/12) и х2 = (0; 1/2; 1/2) принадлежат с-ядру игры Г. •
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы