16.3. уравнения колмогорова для вероятностей состояний

16.3. уравнения колмогорова для вероятностей состояний

Системы, представляемые в виде непрерывной цепи Маркова (см. п. 13.19), обычно исследуют с помощью уравнений Колмогорова для вероятностей состояний.

Плотностью вероятности перехода Х„ из состояния S. в состояние S. называется предел отношения вероятности этого перехода за время At к длине промежутка At, когда последний стремится к нулю:

Х« lim — ,

9 д*->о At

где Py(Af) — вероятность того, что система, находившаяся в момент t в состоянии S., за время перейдет в состояние S..

432

Марковская непрерывная цепь называется однородной, если плотности вероятностей Ху не зависят от времени t, в противном

случае она называется неоднородной.

Для однородных марковских непрерывных цепей, характеризующих процессы гибели и размножения, уравнения Колмогорова имеют вид

dt

(16.1)

+ Vl^+i(0 (і = 1,2,..., л),

где Pff) — вероятность состояния S., когда в системе находится і требований в момент времени t.

Общее число возможных состояний S0, Sv Sn равно и + 1.

При гипотезе о стационарном режиме работы системы (вероятности состояний не зависят от времени) уравнения Колмогорова (16.1) принимают вид

-Х01Р0 + Х^Ру = О,

' Х,_иРм (А.,,,_1 + M)Pt + Я.,н,і}+і = 0 (і = 1,2,и),

В большинстве практических задач допустима гипотеза о стационарном режиме работы системы. Поэтому могут быть использованы уравнения Колмогорова вида (16.2).

Математические модели систем массового обслуживания, приведенные в пл. 16.4—16.8, соответствуют уравнениям Колмогорова для стационарного режима работы системы (16.2) при условиях простейшего потока входящих требований и экспоненциального закона распределения времени обслуживания.

433