2.10. базис и ранг системы векторов
2.10. базис и ранг системы векторов
Линейно независимая часть Bv В2,Вг системы векторов Av А2, Ап назьшается базисом этой системы, если каждый вектор системы Av А2,Ап разлагается по векторам Bv В2,Вг.
Каждую линейно независимую часть системы векторов можно дополнить до базиса этой системы.
Векторы системы Ар А2,Ап разлагаются по базису этой системы единственным образом.
61
Для отыскания базиса системы векторов Av А2, —,Ап находят общее решение системы линейных уравнений
А1х1+А2х2 +... +Anxn = Q. (2.11)
Тогда векторы-коэффициенты уравнения (2.11) при неизвестных, составляющих набор разрешенных неизвестных общего решения, образуют базис системы векторов Av А2,Ап.
О Пример. Найти базис системы векторов Ах = (5, 2, -З, 1), Л2 = (4,1,-2, ЗМ3 = (1,1,-1,-2М4 = (3,4,-1,2). Найдем общее решение системы уравнений
А^ + А2х2 + Аъхъ + А4х4 = 0. (2.12)
Имеем:
| X, | Х2 | *4 | х1 | Х2 | хг | Х4 | |||||
| 5 | 4 | 1 1 1 | 3 | 0 | 5 | 4 | 1 | 3 | 0 | ||
| 2 | 1 | 1 | 4 | 0 | -» | -3 | -3 | 0 | 1 | 0 | -> |
| -3 | -2 | -1 | -1 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | |||
| 1 | 3 | -2 | 2 | 0 | п | 11 | 0 | 8 | 0 | ||
| х1 | Х2 | х3 | х1 | Х2 | хъ | *4 | |||||
| 0 | -1 | 1 | -2 | 0 | 0 | -1 | 1 | 0 | 0 | ||
| -» | 0 | 0 | 0 | 1 4 | | 0 | -> | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | 0 | 0 | -3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Из последней таблицы следует, что неизвестные xv xv х4 образуют набор разрешенных неизвестных общего решения системы уравнений (2.12). Следовательно, векторы Av Ау А4 образуют базис системы векторов Av А2, А3, А4. •
Все базисы данной системы векторов состоят из одного и того же числа векторов.
Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее базисе.
Если ранг системы векторов Av А2,Ап равен г, то каждая линейно независимая часть этой системы, состоящая из г векторов, является ее базисом.
62
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы