6.6. частные производные высших порядков

6.6. частные производные высших порядков

Предположим, что функция ДМ) имеет частную производ-ную ^— в каждой точке некоторой окрестности точки М0. Если

при этом существует частная производная по х. от функции

dXj d2f

в самой точке Мп, то она называется частной производной —

dxfiXj

по х. и Xj в точке MQ, т.е.

Э2/ _ Э (^Л

dXjdXj dxt

163

Частная производная, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Кроме того, по определению,

Э2/= Э2/ Эх2 dXjdXj'

О Пример. Найти частные производные второго порядка функции f(M) = хх хх + 2XjX2 в произвольной точке M(xv х2). Так как

К.

дху

— Зх^ эс>2 2x^X2 "Н '

3L

Эх^

1А2

— 2х^ Х2 ЗхXі) ~~ 2xi

то

кдхи

Э2/^ _Э_ Эх2 Эхх

Э2/ = Э дх2дху Эх2

э2/ э

8x^X2 3Xj

aV = _3_

Эх? Эх,

чЭх2У

— 2х^ 6х^ Х2. ^

Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.