5.1. обобщенные кредитные сделки

5.1. обобщенные кредитные сделки

Обобщенная кредитная сделка включает две компоненты: выдачу кредита, представимую событием (/0, -Р), где Р > 0 — сумма выданного кредита, и поток погасительных платежей

Cf = {(r„C1)>((2,C2),..,(r„,C„)}.

При этом естественно, что

О 1 п

Диаграмма обобщенной кредитной сделки показана на рис. 5.1.

-Р Су с2 . . . с„т] сп

—1 1 =—1 1 1

'о 'і Ч 'л-1 'л

Рис. 5.1

Выдача кредита SQ = —Р на диаграмме изображается отрицательным, а погасительные платежи С,, С,,..., С — положительными числами (здесь отвлекаемся от возможности получения дополнительного кредита). Описанные выше схемы определения состояния накопительного счета автоматически переносятся и на случай ссудного счета. В финансовой практике при этом говорят о двух схемах (правилах) погашения долга (коммерческом и актуарном). Собственно в традиционных руководствах по финансовой математике [28] коммерческое и актуарное правила чаще всего появляются именно в таком контексте. Это связано прежде всего с тем, что наиболее распространенными случаями применения указанных схем являются именно схемы погашения краткосрочных коммерческих кредитов. Так, взятый, скажем, на год кредит погашается одинаковыми платежами в конце каждого месяца.

Таким образом, поток погасительных платежей будет представлять собой ренту, или аннуитет (см. § 1.2).

Выше, рассматривая ссудный счет, мы представляли выдачу долга Р отрицательным, а погасительные платежи — положительными числа-Ми. Следует понимать условность таких соглашений. В некоторых руководствах не менее резонно в этой же ситуации получение кредита рассматривается как приход, поскольку должник получает на руки деньги, и потому эта сумма рассматривается как положительная; с другой стороны, погасительные платежи для должника означают рас-ходы, и потому они обозначаются как отрицательные суммы.

Такая точка зрения позволяет дать еще одну интерпретацию погасительным схемам. В этой интерпретации вкладчик и банк меняются местами в обобщенной кредитной сделке. Иными словами, вкладчик открывает счет на некоторую сумму, т.е. дает кредит банку, а банк погашает этот кредит, выплачивая вкладчику погасительные суммы. Обычно такие выплаты представляют собой ренту (т.е. регулярные периодические выплаты одинакового размера). В этом случае говорят о покупке вкладчиком ренты, так что начальный вклад (взнос) представляет собой стоимость будущих рентных платежей.

Приведенные модификации двух основных видов моделей — простой кредитной сделки и накопительного вклада — позволяют решать большой спектр задач, связанных с практическими финансовыми вычислениями.

Так, для модели ссудного счета или схемы погашения чрезвычайно важен вопрос об определении состояния или, как еще говорят, баланса ссудного счета в любой момент времени. Эта задача решается по правилам, аналогичным тем, которые были приняты для определения состояния накопительного счета. Таким образом, текущий баланс или полное состояние ссудного счета можно определить с помощью формул, описывающих состояние счета с переменным капиталом для одной из выбранных моделей, в рамках которой рассматривается обобщенная кредитная сделка. Последнее обстоятельство чрезвычайно важно. Указание конкретной модели — мультисчетной, коммерческой или актуарной полностью определяет правила расчета процентов и баланса (остатка) долга для любого момента времени. Поскольку мультисчет-ная модель, по существу ничем не отличается от коммерческой, ниже мы ограничимся анализом кредитных сделок лишь для бинарных моделей, т.е. коммерческой и актуарной.

Пусть Р — сумма выданного кредита (начальная сумма долга) в момент t. Выдаче кредита можно сопоставить событие (ro, SQ), S0 = -Р, соответствующее начальному состоянию ссудного счета сделки. Если

cf={(/„c,),(,2>c2),...,(cc„)}

— поток погасительных платежей, то через обозначим обобщенный (порождающий) поток, включающий начальное событие — (ro, S0) — выдачу кредита и поток погасительных платежей CF,

Как и выше, для любого потока через CF, будем обозначать начальный отрезок потока CF, состоящий из всех событий (платежей) потока CF до момента t включительно, а через CF ~, — не включая платеж в момент t.

Состояние ссудного счета сделки с порождающим потоком CF* в момент времени t

Метка mod указывает на вид выбранной модели. Так, записи 5гас и FVtact показывают, что речь идет об актуарной модели, соответственно обозначения S,com и FVrcom указывают на коммерческую модель.

Ниже будем опускать обозначение процентной ставки и писать просто

S;nod (S0; CF) = FV^ (СҐГ). (5.1)

Состояние ссудного счета сделки в момент / называют также невыплаченным остатком или балансом долга в (на) момент t и обозначают Bf Например, для коммерческой модели имеем

Bf =^com(^0;CF)=FK(cr|r) =

—i>(l + /(r-/0))+ X СЛ(і+/(ґ-ґА)). (5.2)

Здесь учли, что коммерческий оператор будущей стоимости FVrcom совпадает со стандартным FV.

Величина баланса Bf, представляющая собой состояние ссудного счета в момент t, указывает на текущую величину долга, т.е. сумму обязательств должника на данный момент. Ее также можно интерпретировать как размер единовременного платежа, полностью компенсирующего этот долг, т.е. выплата должником суммы Ct — —Bt (до момента tn полного погашения долга значение баланса Bt отрицательно!) в момент t позволяет сразу погасить долг. Таким образом,

S^(so,CT|,) = 0, (5.3)

где

СТ|,=СТ;+{(/,-4)} — завершенный погасительный поток, образованный погасительными платежами из CF до момента / и заключительного платежа С; = —В, равного по абсолютной величине остатку (балансу) долга на момент t.

Пример 5.1. Пусть должник берет в банке 9?5000 в кредит сроком на 3 года по ставке 10\% годовых. По договору кредит погашается тремя платежами в конце каждого года. Пусть первый погасительный платеж составляет ,-*?1500, а второй — .#2000. Какова должна быть сумма третьего, заключительного платежа? Решить задачу для коммерческого и актуарного правил.

Решени е. Финансовый поток, отражающий данную сделку, имеет вид

CF* = {(0, -5000), (1, 1500), (2, 2000), (3,Х)}.

Решим задачу сначала последовательным способом для актуарного правила, находя состояния счета в конце каждого года после очередного погасительного платежа. Для / = 0 (начальный момент времени) имеем, что

/>() = 5000(3?), = = 0, 50 =-5000(3?), При t = 1 (конец 1-го года) получаем

У, = -5000-0,1 = -500(3?)

и, следовательно,

Р] = -5000 + (1500 500) = -4000(3?),

/, = 0, Sl = Р, = -4000( 3?). Аналогично для t 2 (конец 2-го года)

J2 = -4000-0,1 = -400(3?)

и

Р2 = ^4000 + (2000 400) = -2400(3?), /2 = 0, 5, =-2400(3?). Для t = 3 (последнего года) имеем

У3 = -2400-0,1 = -240(3?)

и

/>, = -2400 + {Х240) = Аг-2640(3?).

Для того чтобы 3-й платеж полностью погашал долг, необходимо, чтобы остаток счета стал равным нулю. Таким образом,

Рг = X-2640 = 0

и, следовательно,

Х= 2640(3?).

Для нахождения последнего платежа по коммерческому правилу используем теорему 4.1. Тогда, находя будущие значения как основной суммы долга, так и всех погасительных платежей, из условия нулевого баланса после заключительного платежа получим уравнение

-5000(1 + 0,1-3) + 1500(1 + 0,1-2)4-2000(1 + 0,И)+ЛГ=0

или

-6500 + 1800 + 2200 + Х=0.

Отсюда следует, что

Х= 2500( 3?).

Теорема 4.1, переформулированная для схемы погашения по коммерческому правилу, в терминах абсолютных значений денежных сумм означает, что баланс (невыплаченный долг с учетом процентов) на момент времени tn равен разности между накопленным значением потока погасительных платежей и накопленным значением основной суммы долга:

B,=FV,XCF)-FVlt{P). (5.4)

Здесь как Р, так и все элементы Ск потока CF положительны! При этом равенство В{ = 0 означает, что поток CF точно и полностью погашает долг.

В свою очередь, неравенство В( < 0 означает, что долг (с учетом процентов) еще не выплачен полностью, а неравенство Вг > 0 означает, что долг погашен «с излишком».

Заметим, что оператор будущей стоимости FVt потока CF, исполь-зованный в (5.2), является стандартным оператором будущей стоимости, определенным в § 3.4. Он равен сумме будущих стоимостей всех платежей потока.

Таким образом, основное уравнение баланса для погашения долга величины Р(> 01) потоком погасительных платежей С^по коммерческому правилу имеет вид

Иными словами, приведенные к моменту tn значения суммы долга и потока погашения должны совпадать.

Формула (5.5) позволяет дать еще одну содержательную интерпретацию погашению долга по коммерческому правилу. В этой интерпретации погасительные платежи из потока CF не изменяют состояние ссудного счета. Вместо этого они размещаются на отдельном счете, образующим фонд погашения долга. К моменту погашения tn вся накопленная за счет платежей потока сумма в фонде погашения долга должна быть равна сумме, находящейся на ссудном счете. В этой интерпретации существенна раздельность (автономность) ссудного и погасительного счетов. Так, погасительный счет (фонд погашения) может использовать процентную ставку, отличную от ставки по кредиту. На практике очень часто используется такая возможность, особенно если должник может обеспечить ставку накопления, превосходящую кредитную ставку.

Пример 5.2. Рассмотрим снова кредит из примера 5.1. Найдем величину заключительного платежа, предполагая, что погасительные платежи образуют фонд погашения с процентной ставкой 20\% годовых.

Решение. Найдем сначала накопленную сумму долга, т.е. сумму погашения (ставка 10\%):

FVpQQO) = 5000(1+0,1-3) = 6500(;#). Накопленная стоимость погасительных платежей по ставке накопления 20\%:

1500(1 + 0,2-2) + 2000(1 + 0,2-1) + Х = 4500 + X. Уравнение баланса, между накопленной стоимостью долга и накопленной стоимостью погасительных платежей дает

6500 = 4500 + X.

Отсюда

Х= 2000(1#).

Таким образом, в этом случае величина заключительного платежа на .#50 меньше, чем в примере 5.1. Это естественно, поскольку ставка накопления выше ставки по кредиту.