10.4. непрерывные потоки платежей и общее уравнение динамики фонда

10.4. непрерывные потоки платежей и общее уравнение динамики фонда

Потоки, с которыми мы имели дело до сих пор, относились к классу дискретных. Именно дискретность потока приводит к скачкам функции 5(0 в моменты поступления или выбытия сумм из потока. Очевидно, если суммы из потока относительно малы, то такие «скачки» будут также относительно малыми. Поток, состоящий из «очень малых» сумм с малыми временными интервалами между ними, можно считать «практически непрерывным» и функцию состояния S(t) фонда, представляющую собой «реакцию» на такой поток, также можно считать практически непрерывной.

В физике поток жидкости или газа считается непрерывным, хотя, как известно, и жидкость, и газ имеют дискретную, молекулярную структуру, представляющую собой поток частиц. Точно так же можно считать непрерывными денежные потоки, связанные с крупными фондами, например поток ежедневных поступлений и изъятий для очень большого банка и т.п.

Для финансовых систем с непрерывными потоками можно написать уравнения динамики вполне аналогичные тем, что были получены для дискретных потоков. В некотором смысле эти уравнения даже проще, чем для дискретного случая. Однако для их получения указание составляющих поток денежных сумм в различные моменты времени уже невозможно, поскольку для непрерывных потоков суммы, приходящиеся на малые промежутки времени, малы и при уменьшении этих промежутков стремятся к нулю, так что о сумме потока в точке говорить нельзя, она просто равна нулю. Поэтому непрерывный поток (см. § 1.2) можно описывать двояко: либо с помощью функций промежутков, либо с помощью функции времени, называемой плотностью потока. Обе эти характеристики тесно связаны между собой. В § 1.2 даны все необходимые определения, здесь мы их лишь кратко напомним.

Величина V потока Счесть функция промежутков времени, сопоставляющая каждому промежутку / с Т соответствующее значение

VCF(J)=V(J).

При этом величина Кявляется аддитивной функцией промежутка:

V(J) V(J{) + V(J2),

если J = JlJJ J f]J =0, т.е. для непересекающихся промежутков/р/2, дающих в сумме промежуток /, значение величины для промежутка / есть сумма значений для соответствующих промежутков /, и Jr

Непрерывность потока означает, что величина потока мала для малых промежутков или, более точно, V(J) —» 0, если |У| —> 0, где J| — длина промежутка J.

Для непрерывного потока величина потока в точке а, т.е. для отрезка J = [а, а], будет равна нулю:

V([a,a]) = Q.

Отсюда и из свойства аддитивности, в частности, следует, что значение величины Кнепрерывного потока СРш промежутке не зависит от вида промежутка:

V([a,b]) = V{[a,b)) = V{(a<b}) = V{(cb)).

Поэтому для непрерывных потоков их величину записывают просто как функцию концов промежутка, т.е. для промежутка J = < а, Ь> (любого вида) пишут V(J) = V(a, b).

Функция промежутка есть функция двух переменных, и поэтому не слишком удобна, хотя всю теорию можно строить исходя исключительно из такого представления потока. Но более удобно и на практике чаще всего встречается использование другого способа представления потока. Это представление основано на понятии плотности (по времени) потока.

Для потока, заданного функцией V(tr t2), плотностью в момент времени / называется величина

Li(t)= hm v 1 t<t<t, ^v ; MO-o t2-tx 1

(если, конечно, такой предел существует).

Смысл этой величины достаточно простой. Можно сказать, что

отношение , .

есть «средняя скорость» потока, т.е. средняя величина «переносимых» потоком сумм в единицу времени на промежутке [rp t2. Для малой величины t2 t] очевидно

т.е. величина суммы, поступившей в фонд за малый промежуток [tv Л,], равна примерно }i{t)(t2 —«Примерно» здесь означает, что эта величина тем точнее, чем меньше t^ — t.

Если поток с величиной V имеет плотность [i{t), которая является непрерывной функцией, то можно доказать, что

К(/р/2) = |д(/)о7. (10.17)

'і

Так, для линейного потока CFс величиной

V(tvh) = <*{ti-h)

плотность

.. V(t,t + h) ah

lim = urn— = a,

h^O ft A->0 ft

т.е. fi(t) = й — const.

С другой стороны, согласно (10.17),

'і

V(t[J1) = au, = a{ll-ti).

Если зафиксировать одну из переменных tvt2B V(tv t2) и положить

о

то плотность jn(t) будет просто производной этой функции, т.е.

/!(/)=г (о,о.

Величину V(0, t) в момент времени t можно интерпретировать как денежную массу, «перенесенную» потоком за время t начиная от момента времени, равного 0.

Для непрерывного потока с плотностью pL{t) также можно дать понятие носителя. Определим его (не совсем точно) как совокупность точек, в которых плотность отлична от 0:

suppCF = {/6T|/і(/)*0}.

Как и в случае дискретных потоков, будем говорить, что непрерывный поток сосредоточен на отрезке [а, Ь], если его носитель содержится в этом отрезке: suppCTc [а, Ь], т.е. ju(r) = 0 вне промежутка а, Ь.

Плотность ju(t) непрерывного потока с величиной К играет ту же роль, что и отдельные суммы C(t), составляющие дискретный поток. Остановимся на этом более подробно.

Пусть непрерывный поток CFсосредоточен на отрезке [а, Ь]. Разобьем этот отрезок на п одинаковых «малых» отрезков длиной

At=(b -а)/п.

Далее, пусть

tk = a + kAt, k = Q, 1,..., п

— точки разбиения. Если At ~ tk tk_{ достаточно мало, то в силу непрерывности потока

Полагая

Ck<*n(tk)Att £ = 0,1,...,

можем приближенно заменить непрерывный поток CFc величиной Кна дискретный CF , где At характеризует точность приближения. Чем -меньше At, тем точнее наше приближение. Характеристики дискретных потоков мы находить умеем. Так, можно найти накопленную стоимость потокаCF . Например, для t<b имеем приближенное равенство

Правая часть этого равенства есть просто интегральная сумма для функции + 0*"'» так что при At —» 0 получим

lim FV„ (CFU) = J/i(/)(l +/f' dt = (1+0* JM'K*.

j a

где v~y^~— нормированный дисконтный множитель.

Полученный предел естественно назвать накопленным к моменту времени b значением непрерывного потока с плотностью pi(t):

^(ет)=}р(о(і+'-г<іл

а

Точно так же из приближенного равенства для приведенного к а значения потока CF

k=0 k=0

переходя к пределу при At —> 0, получим

PVa(CF) = v{t)v-"At.

Наконец, для произвольного момента р текущее значение потока CFAl в этот момент определяется приближенным равенством

рк №)=L<V"' к"'*.

а-=0 1-0

откуда при Д/ —> 0 получим

/V,(CF) = Jjj(fK-'*. (10.18)

с/

В нашем случае поток CF был сосредоточен на отрезке [о, Ь]. На практике все потоки, как правило, финитны, т.е. сосредоточены на некоторых промежутках. Поэтому можно переписать последнюю формулу в несколько более общем виде

+«

pvf{cf)=v(t)v'-'At. {,o.i9)

—оо

Эта формула для потока, сосредоточенного на отрезке [а, Ь], дает тот же результат, что и формула (10.18), поскольку /л(ґ) = 0вне отрезка [а, Ь].

В описании динамики финансовой системы с дискретным потоком важную роль играло понятие временной стоимости потока на промежутке (а, Ь.

TV(cf:(a,b})=fvb(cFiabi

В правой части здесь стоит накопленное (кЬ) значение для сужения, потока CFна промежуток (а, Ь]. Сужение на этот промежуток непрерывного потока с плотностью /л(ґ) проще всего описать сужением плотности

'«(».']■

Поток с плотностью Д(0 будет уже сосредоточен на промежутке (а, Ь. Теперь, дословно воспроизводя определение временнбй стоимости, данное для дискретного случая, получим

tv {cf[а,Ь]) = fvt [cf(. _„) = Jji(/)(1 + if' dr.

Теперь все готово для получения уравнения динамики финансовой системы, изменяющейся под действием постоянной процентной ставки / и внешнего непрерывного потока CFc плотностью jn(t). Рассмотрим

5(/)=5(/0)е^»+|я(.)ег"-»а,. (10:21)

Для tQ = 0 и S(tQ) = SQ эта формула принимает особенно простой вид

S(/)-.S,0e*+Jju(*)e'Md*. (Ю.22)

0

Заметим, что поскольку

е6 = 1 +/,

то

Но тогда формулу (10.21) можно переписать как

5(,)=5(0(і+ір+Н)(і+;Г<ь

(10.23)

или

S(l)= FK(CF,)= XQ.(1+ /)"",

k:tk<t

S(t) = S(Q{+i)'-"+TV{CF;(t„l}).

Таким образом, получен, по существу, тот же результат, что и для случая дискретных потоков.

Пример 10.6. Пусть система Sимеет в начальный момент /= 0 нулевое состояние и внешний поток — линейный с постоянной плотностью /і(0 = а — const. Найти зависимость состояния системы от времени.

Решение. Согласно (10.23),

.о+')'-1

= а5(,)=4(1+0'--^=в|(1+/)'а«=в-^

О 0 ігці+fJ

Итак,

S(l)=a

(1 +

где 5 = 1п(1 + /).

Учитывая, что

(1 +/)'-'= у*-', формулу (10.23) можно переписать в виде

S(t) = S(t0)v'0-' +fi{s)vs4 ds. Отсюда для / = 0 получим

t Г /

S(t) = S0v-f + jfi(s) vs~'d s= S0+jn(sy<ls

ИЛИ t

о

т.е. приведенное к моменту f = 0 состояние равно сумме начального состояния и приведенной к /= 0 величины потока.

Теория систем с непрерывными потоками вполне аналогична теории систем с дискретными потоками, с той лишь разницей, что для нахождения текущих значений дискретного потока дисконтируются его составляющие суммы С(/), а для непрерывного потока дисконтируется плотность ju(t) и, естественно, суммирование для дискретного потока переходит в интегрирование для непрерывного.

При описании динамики фонда с внешним потоком мы всюду предполагали, что автономный рост, т.е. рост без учета внешнего потока, подчиняется показательному закону по фиксированной процентной ставке. В предыдущей главе рассмотрен случай автономного роста с непрерывно меняющейся процентной ставкой. Соответствующее однородное дифференциальное уравнение для вимело вид

где S(t) — переменная интенсивность роста.

Объединяя эту модель с моделью непрерывного потока, можно сразу записать дифференциальное уравнение для S(t) в случае внешнего потока:

dS{t)

dt

= 5(t)S(t) + n(t). (10.24)

Это линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Однако в отличие от стационарного случая

5(t) * б

данное уравнение имеет непостоянный коэффициент S(t). Тем не менее можно получить в общем виде решение и для этого уравнения (см. [18]):

S(t) = w(t0j)S(t0) + w{sj)n(s)dsy (10 25)

где

w(s,r) = exp^j$(w)d«j (10.26)

— нестационарная функция автономного роста с интенсивностью 8(t). с помощью этой функции можно находить будущие и текущие значения для произвольного непрерывного потока, заданного своей плотностью.

Так, выше мы получили выражение для текущей стоимости непрерывного потока с плотностью ^(/) и постоянной интенсивностью роста <5(см. (10.19)) в виде

PVp{CF) = ] v(t)i/->dt,

где

и

1

.-S

1+J

нормированный коэффициент дисконтирования, соответствующий интенсивности 8. При этом

функция дисконтирования, соответствующая данному процессу роста. В общем случае для процессов роста с переменной интенсивностью S(t), как было показано в гл. 9, функция дисконтирования имеет вид

u(s,r) =

W

1

м

ехр

-}б(и)а«

)

Поэтому в данном случае текущая стоимость в точке s непрерывного (финитного) процесса роста с плотностью fA(t):

-Г ілі

PVf(CF)= n(t)v{p,t)At.

Пример 10.7. Пусть процентная ставка 10\% в первом году увеличивается ежегодно на 5\%, оставаясь неизменной в течение года. Рассмотрим трехлетний поток на промежутке [0, 3] с постоянной плотностью ц = 500. Необходимо найти текущую (в момент 0) стоимость этого потока.

Решение. В этом примере

5, =1п(1 + 0,1), 0<г<1; 5(/) = |<51 = ln(l + 0,15), 1<г<2; a3-ln(l+0,2), 2<t<3.

Дисконтная функция v(t) имеет вид

v(t) = v(0,t) =

——— =ехр.

є""1', 0<г<1; L-VV^-21, 2<г<3.

Следовательно,

PVa= (t)v(t)dt = ti \]v{t)dt + ]v{t)^ + lv(l)6tU

v 5, 8г S, }

Подставляя числовые значения для 8Г <5;, <5, и учитывая, что

е-й-(1,1)"; е-^=(1,15)-1; е^=(1,2)",

получим

PVD = 1262,44(.#).

Вернемся к общему уравнению динамики фонда с силой процентов (5(0 и внешним потоком с плотностью ^(0Коэффициент w(sj), определяемый равенством (10.26), является функцией именно автономного процентного роста, т.е. роста в условиях отсутствия внешнего потока (pi(t) 0). В таком случае (см. гл. 9)

S(t) = Sitjwitp t) и, более общим образом, для любых г, t2:

lS(g = iS(rl)w(rpy.

Отметим, что в гл. 9 функция роста обозначалась через a{tv t2). Причина изменения обозначений состоит в том, что при наличии внешнего потока (u(t) £ 0) функция wit., L) уже не будет функцией роста для процесса S(t). Более того, интенсивность «5(0 также не будет интенсивностью роста процесса, она — показатель интенсивности только автономного процентного роста. Функцией роста для процесса, задаваемого общим уравнением (10.24), будет функция, определяемая равенством

Соответственно интенсивность роста определяется как логарифмическая производная:

5(0 = |(1п5(0).

Эти функции при наличии внешнего потока могут отличаться от своих автономных аналогов.

Пример 10.8. Рассмотрим процесс с постоянными силой процентов и плотностью внешнего потока: <5, fi = const. Найти функцию и интенсивность роста процесса, определяемого этими параметрами.

Рсшени е. Автономный коэффициент роста

w(s,r) exp J8(u)du

е 1

Уравнение динамики фонда примет в этом случае вид (для t0 ~ 0)

S{t) = S(toy> + ]poS['^s = V +^-f^.

Следовательно,

и

(e«*-l)

w S{t) S(t) S(t) 50<5e" + v(e6' -i)

Таким образом, интенсивность роста процесса S(t) при S, /і > 0 больше интенсивности S только процентного (внутреннего) роста из-за наличия входного потока

с плотностью f.L

Хотя мы назвали уравнение (10.24) общим уравнением динамики фонда, строго говоря, оно применимо лишь к фондам, в которых (внутренний) процентный рост подчиняется схеме сложных процентов. Это видно из структуры дифференциального уравнения динамики фонда

S'(,) = S{t)S(t)+fl(t).

В самом деле, первое слагаемое правой части, описывающее процентный рост, пропорционально текущему состоянию. Так, проценты /(df), начисляемые за бесконечно малый период dt, составят

f(dt) = S(t)8(t)dt,

где S(t) — текущее состояние. Это приводит к тому, что в отсутствии внешнего потока (ju(f) = 0) фонд растет по экспоненциальному закону

S(t) S(f0)e*

что характерно именно для сложных процентов. Конечно, выбором меняющейся интенсивности 8(t) можно имитировать и линейный рост

S(t) = S(t0)(+i(t-t0)),

типичный для схемы простых процентов. Для такого процесса интенсивность роста равна (г0 = 0):

Попробуем, однако, использовать эту интенсивность для задания процесса накопления по схеме простых процентов при наличии внешнего потока с постоянной плотностью р. Сила процентов (10.26) определяет функцию процентного роста w(s, t):

л 1 + it

+ is

w(5,f) = exp ^S(u)du

Подставляя выражение для w(s, t) в (10.25), получим

S(i) = SQw(0, t) + j /лф, t) ds = S, (1 + it) + ||i ds

ol + is о

Смысл этой формулы понять несложно.

+ is

(l+it). (10.27)

Подынтегральное выражение во втором слагаемом

■ds есть не

+is

что иное, как текущая стоимость в схеме простых процентов бесконечно малого элемента fids внешнего потока. Тогда интеграл будет представлять собой просто стандартную текущую стоимость в схеме простых процентов отрезка потока на промежутке [0, t]. Умножение интеграла на коэффициент (1 + it) приводит эту текущую стоимость к моменту г, так что смысл всего второго слагаемого в (10.27) определяется равенством

FV,[PVCF

fo.'l

FV*CF,),

где справа стоит оператор приведения относительно полюса р — 0 (см. гл. 6).

Первое слагаемое 5ff(l + it) — это просто приведенное (накопленное) к моменту t значение начальной суммы S .

Таким образом, состояние S{t) фонда определяется равенствами где _

CF = {(tQ,S0)} + CF

— полный (смешанный) поток, порождающий процесс S(t).

Хотя формально «придраться» здесь вроде бы не к чему, вспомним, что процентное накопление с внешним потоком для схемы простых процентов описывалось, по крайней мере, двумя способами в соответствии с двумя различными «правилами взаимодействия» внешнего потока и текущего состояния. Наиболее простым является коммерческое правило, предусматривающее независимое изменение основного и процентного счетов. Обобщение этого правила на случай непрерывных внешних потоков несложно.

В самом деле, малый элемент потока с плотностью /и(и) на отрезке [и, и + Аи] будет приближенно равен ц(и)Аи. Накопленная к моменту / стоимость этого потока при фиксированной процентной ставке /:

FVt(p(u)Au) = fi(u)( + i(t-u))Au.

Ясно, что накопленная стоимость всего потока будет равна сумме стоимостей всех элементов потока. В предельном случае она выражается просто интегралом

lfi(u)(+i(t-u))du, который для постоянной плотности /л равен +

Для постоянной плотности /и первое слагаемое it — величина потока на отрезке [0, /]:

ju/=K(0,/).

Но тогда для второго слагаемого имеем

jilt2 =K(0,/)tf 2 " 2

Эту величину можно трактовать как среднюю величину процентов I от потока С^на промежутке [0, t], задаваемого своей величиной V. Окончательно получаем равенство

S{t) = SQ + К(0, t) + iSj + /р, (10.28)

в котором первая пара слагаемых есть просто состояние основного счета в момент /:

P = S0+W, г),

т.е. это аккумулированный фондом капитал к моменту /, а вторая пара слагаемых — состояние процентного счета в момент t

I = iSJ + I .

/ 0 ср

Заметим, что в § 7.4 получили аналогичный результат, используя непрерывную модель коммерческого счета.

Ясно, что формула (10.28) дает значения S(t), отличные от значений, получаемых по (10.27). Эти различия обусловливаются разными схемами взаимодействия внешнего потока и состояний накопительного счета.

Вопросы и упражнения

Выпишите рекуррентные уравнения для состояния счета, порожденного потоком платежей в схеме сложных процентов.

Дайте определение временнбй стоимости дискретного потока на заданном промежутке.

Дайте определение временнбй стоимости непрерывного потока на заданном промежутке.

Выпишите выражения для будущего и текущего значений финансового потока, заданного на отрезке [а, А], используя понятие временнбй стоимости потока.

Выпишите дифференциальные уравнения для состояния фонда с первичным потоком платежей и переменной интенсивностью.

Как связаны интенсивности автономного и неавтономного (с внешним потоком) роста фонда в схеме сложных процентов?

Задачи

Пусть эффективная ставка фонда за k-Pi год

'; = W + '0)-l> * =1,2,..., «.

Найти: а) коэффициент роста а(() фонда для /= 1, 2,..., пб) эквивалентную ставку фонда за первые п лет.

Начальная годовая эффективная ставка фонда 10\%. В течение последующих 10 лет ставка увеличивается на 2\% ежегодно. Начальная величина фонда $5000. Найти накопленную стоимость фонда в конце 5-го и 10-го годов.

Решите задачу 2 при условии, что в конце первых 5 лет в фонд вносятся S2000 ежегодно, а в течение следующих 5 лет из фонда изымаются S10 ООО ежегодно.

Фонд имеет постоянную (автономную, внутреннюю) интенсивность роста 5 = 0,1. Внешний поток задается кусочно-постоянной плотностью

.. flO. 0</<5:

Начальная величина фонда 50 = 100. Найти стоимость фонда в моменты t = 5 и / = 10. Найти общую интенсивность роста (с учетом внешнего потока) в момент t = 8. Определена ли эта интенсивность в момент / = 5?

Пусть интенсивность процентного роста фонда

В момент t = 5 величина фонда .'/?100 ООО Найти проценты, заработанные фондом за период [5, 10].

Фонд с интенсивностью процентного роста 5(t) = 2/ — 1 и внешним потоком с плотностью u(t) = е-2' в момент / = 1 имеет величину S{ 5. Найти общую (с учетом внешних поступлений) интенсивность роста фонда в этот момент.

Докажите, что для накопительного счета

ls{t)8(t)dt = I{tl,t2), где /</L, /2) — проценты, полученные за период [tp г,].