7.4. непрерывные модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
7.4. непрерывные модели с переменным капиталом в схеме простых процентов
Рассмотрим простейшие непрерывные бинарные модели, т.е. модели с разделенным основным и процентным счетом, для которых внешний поток платежей (довложений/изъятий) будет непрерывным (см. § 1.2). Такой поток платежей задается (кусочно) непрерывной плотностью }л(ї) . При этом величина V = VCf потока CF, представляющая собой аддитивную функцию промежутка, описывается интегралом
Г(/)=ф(г)ёг,
где /— произвольный промежуток временной шкалы.
Кроме непрерывного потока CF, задающего внешний поток, будем считать заданным финансовый закон роста, порождаемый непрерывной аддитивной функцией r(t, т) с (кусочно) непрерывной плотностью j(t). Таким образом,
т
r{t, r) = Jy(tt)dM
для любых Т> Л
Поскольку состояние бинарной модели определяется двумя фондовыми величинами — состояниями P{t) основного и I(t) = /(/0, I) процентного счета, то для нахождения состояния полного счета
S{t) = P(t) + /(О
необходимо найти закон изменения обоих составляющих (субсчетов). Будем считать, что начальное состояние задается условиями
№) = /> = £„; |/('о) = 0Поскольку модель непрерывная, то естественно ожидать, что ее динамика описывается дифференциальными уравнениями. Эти уравнения получаются простыми рассуждениями.
Пусть в момент / состояние счета известно и задается парой значений P(t), 1(f). Рассмотрим достаточно малый промежуток [?, t + Аг] (теоретически бесконечно малый: At ~ df). Состояние счета в момент t+ At, т.е. P(t + At), I(t+ At) определяется, во-первых, начисленными за текущий период [t, t + At] процентами
I(t + At) = P(t)r(i,t+Af) = P(t) j(u)6u (7.34)
и, во-вторых, внешним потоком CF. За период [f, / + At] в систему поступит (или уйдет из нее) сумма
V(t,t + At) = J n(u)du. (7.35)
Для малого At интегралы в (7.34) и (7.35) можно заменить их приближенными значениями
l{t,t + At) = P(t)j(t)At; V(t,t + M)~fi(t)At. (7-36)
Новое состояние I(t + At), V(t + Аг) зависит не только от текущих процентов /(/ + At) и внешней суммы V(t + At), но и от способа взаимодействия этих элементов с текущим (старым) состоянием P(t)y f(t). В гл. 4 рассмотрены две модели — коммерческая и актуарная, соответствующие двум способам такого взаимодействия, определяющего локальный переход от старого состояния к новому. Непрерывный аналог коммерческой модели получается очень легко, если вспомнить, что в ней внешний поток воздействует только на состояние основного счета, а процентный счет просто аккумулирует текущие проценты. Таким образом, для коммерческой модели локальный переход от старого состояния к новому описывается уравнениями
P(t + At) = P(t) + n(t)Af I{t + At) = l{t) + P(t)j(t)At. Эти уравнения можно переписать в виде
P(t + At)-P(t) =
At К '
и
I(t + At)-I(t)
At
= P(t)j(t). (7.38)
Переходя к пределу при At —» 0, мы получим систему линейных дифференциальных уравнений
Ql (7.39)
{ dt 1 JJy}
Система уравнений (7.39) легко решается. С учетом начальных условий получаем последовательно
P(t) = PQ+ц(т)йт;
( и
du.
'о '(Л 'О J
Учитывая, что
г t
r(t, т) = j(u)6u V(t0,t) = fi(u)6u
и меняя порядок интегрирования во втором интеграле, получим решение системы (7.39) в виде
P{t) = P, + V{tt,l);
/ ч Г , ч , ч <7-4°)
'о
Следовательно,
= />(/) + /(/)=/> [l + г(/0, /)] + j,u(r)[ + г(т, 0]dr. (7.41)
'<»
Последнее равенство можно переписать в виде
5(/) = ^(/0,г) + {М(г)й(г,г)с1т, (7.42)
'о
где
a(r,t) = +r(rj), />т
— коэффициент роста в общей схеме простых процентов.
Равенство (7.42) имеет вполне очевидную интерпретацию. Первое слагаемое есть будущая стоимость события (f0, Р), представляющего начальное состояние:
P,a{tqj) = FVt{t„P,). (7.43)
Второе слагаемое можно рассматривать как обобщение понятия будущего значения для непрерывных потоков:
)li{r)a{Tj)6r = FVt{CF,), (7.44)
'о
где CF — начальный отрезок внешнего потока, т.е. непрерывного потока, порожденного плотностью, являющейся сужением плотности 14м) исходного потока на отрезок [ґ0, t. Если объединить начальное состояние (дискретный поток из одного события) и непрерывный поток CF , то получим смешанный поток, порождающий анализируемый счет
CF = {{t0,P0)} + CF. (7.45)
Тогда выражение для состояния счета можно представить окончательно в виде
S(t)=FV,(cF ). (7.46)
Пример 7.4. Найти состояние счета с переменным капиталом в коммерческой модели с начальным состоянием (г0, Р0), внешним потоком с постоянной плотностью п и постоянной процентной ставкой j.
Решение. Для постоянной процентной ставки коэффициент роста имеет вид
Подставляя выражение для коэффициента роста в (7.40), получим
P(i) = P0 + V{t0,t)=Pij+n{t~t{))
и
' і У
/(г)=М'„-0 + /М'-О^=М'и.0 + /іУ^:7^.
Формулу для состояния процентного счета можно переписать в виде
Таким образом, полное состояние счета в момент / равно сумме основной части, представляющей собой просто общую сумму средств, поступившую на счет, и процентной части, которая равна произведению «средней величины» состояния основного счета на процентную ставку за период [tCj, t].
Мы получили в общем виде выражение для состояния счета в коммерческой модели. Обобщение актуарной модели на непрерывный случай возможно, но существенно более сложно. Здесь мы не будем его рассматривать.
Приведенный выше анализ показывает, что в рамках общей схемы простых процентов можно обобщить понятия текущей стоимости для общих потоков, а не только для дискретных, как было сделано в предыдущем параграфе. Мы не будем приводить соответствующие определения и результаты. Заинтересованный читатель легко выполнит это самостоятельно.
Эту главу мы закончим небольшим параграфом, посвященным так называемым кратным кредитным сделкам или моделям с реинвестиро-
ванием капитала. Эти модели, по существу, выводят нас за рамки схемы простых процентов, и их развитие приводит к следующей важной теме — схеме сложных процентов, которой посвящена остальная часть книги.
Обсуждение Финансовая математика
Комментарии, рецензии и отзывы