Примеры решения задач

Примеры решения задач

Пример 6.1. Получить выражение прибыли как функции от объема выпуска продукции в краткосрочном периоде для производственной функции Кобба-Дугласа; если второй ресурс зафиксирован L = 500, цена продукции ро = 1000, цены на ресурсы р -50,р2 =100, коэффициенты эластичности а = J3 = 0,5 .

Решение:

Прибыль представляет собой разность между доходом и затратами: ПґЄ; = R(Q) C(Q) = p0Q PlK(Q) p2L(Q). Выразим спрос на первый ресурс из функции Кобба-Дугласа:

і

ка

или К J2_

А&

Г

q

а

-p2l.

Подставим в выражение для прибыли найденный спрос на ресурс: 1

( Y

Q

J

n(Q) = p0Q-P}

AIP

Подставим числовые значения и примем, что а = \: U(Q) = 10000 0,1 Є2 50 000.

Ответ: TL(Q) = 10000 0Q2 50000.

Пример 6.2. Найти точку безубыточности в краткосрочном периоде для производственной функции Кобба-Дугласа при цене на продукцию Ро 11, и ценах на ресурсы pi = 2,р2 = 5. Количество второго ресурса L = 1, коэффициенты эластичности а = Р = 0,5 .

Решение:

По определению точка безубыточности это значение объема выпуска продукции, при котором достигается безубыточность, то есть достигается равенство дохода и всех издержек, когда прибыль равна нулю ЩО) = 0 . Из решения предыдущей задачи напишем выражение прибыли

в общем виде:

і

Q

AlP

( _ V

-p2L.

n(Q) = PoQ-P

J

Подставим числовые значения из условия задачи и приравняем прибыль к нулю:

UQ-IQ2 -5 = 0 .

Решением данного уравнения являются две точки Q ~ 0,5 и Q2 ~ 5.

Вся возможная область объемов производства разбивается на три отрезка.

Слева от первой точки, когда объемы производства Q < Q * 0,5 , находится зона убытка.

Между точками безубыточности Q|»fl,5 и располагается зона

прибыли.

После достижения второй точки, когда объемы производства Q > Qi ~ 5 , снова располагается зона убытка (см. рис. 7).

Ответ: существует две точки безубыточности Q » 0,5 и Q2~ 5.

Пример 6.3. В примере 6.2 найти максимальную прибыль. Решение:

Найдем производную от функции прибыли, полученной в примере 6.2:

-Лі)

diPoQ-Pi

1 Pi ПІ

дщд)

dQ " 9Є a(AJJ^

Максимум функция имеет в точке перегиба, там, где ее производная

равна нулю:

= 0.

Подставим числовые значения из предыдущего примера 6.2 и прирав-няем производную к нулю: 11 — 2-2-g =0.

. 11

Решая уравнение, получим: Q = —.

4

Подставим полученное значение объема выпуска продукции в выражение для прибыли:

а

1

-p2L.

( X,

Alf

Q

K(Q) = poQ~P

Щ2,75; = 11 ■ 2,75 2(2,75)2 5 = 9,795 « 9,8.

Ответ: объем выпуска продукции, при котором обеспечивается максимум прибыли, равен Q* 2,75, сумма прибыли равна П^2,75> = 9,8.