Примеры решения задач

Примеры решения задач

Пример 3.1. Предпочтения потребителя описываются логарифмической функцией полезности: UiQ^Q^ = alla(Ql -Ql0) + a2 (Q2 ~Q20), причем a, = 2, аг = 3, Qia = 0,5, Q20 = 1. На сколько единиц повысится полезность потребительской корзины AU, если он потребляет Q, = 5 кг мяса и изнашивает Q2 = 3 пары носков в месяц и решил купить дополнительную пару носков AQ2 ~ 1 ?

Решение (существует два варианта решения).

1) Первый вариант заключается в расчете полезности до и после изменений в потребительской корзине. Полезность корзины до изменений: (fi, Qi) = V (5,3) = 21п(5 0,5) + 31п(3 -1) = 21п(4,5) + 31п(2). Полезность корзины после покупки дополнительной пары носков: U(QX ,Q2+AQ2) = U'(5,4) = 21п(5 0,5) + 31п(4 -1) 21п(4,5) + 31п(3).

Разность полезностей до и после изменения:

AU = V(QltQ2 + AQ2)~ U{QV Q2) = 21n(4,5) + 31n(3) 21n(4,5) -3 ln(2) = = 3(ln(3)-ln(2)) = 1,216.

2) Второй вариант — расчет изменения полезности через предельную полезность. По определению предельная полезность изменение полезности, вызванное изменением в потреблении изучаемого товара на единицу. Следовательно, изменение полезности можно выразить через предельную полезность и приращение в потреблении второго товара:

Найдем производную функции полезности пределыгую полезность:

Тогда Ш = — Д£>, = ■ • 1 = 1,5 .

" (3-1)

Ответ: 1,216.

(!) Результаты, полученные в первом и втором вариантах, не совпадают, так как второй способ всегда дает погрешность, и она тем больше, чем больше отклонение (в данной задаче отклонение в потреблении носков

составляет ^7/п ~ 33\%). Однако второй способ более универсален, и при малых отклонениях (до 10\%) рекомендуется использовать именно его.

Пример 3.2. Предпочтения потребителя описываются логарифмической функцией полезности: U(Qt,Q2) = a]ln(Ql~Qm) + a2ln(Q2-Q20), причем а, = 2, а2 = 3, Ql0 = 0.5, Q№ = 1. Сколько пар носков Q2 он должен изнашивать ежемесячно, чтобы полезность его потребительской корзины составляла U = 10 единиц, если потребление первого товара мяса составляет Qt=5 кг в месяц?

Решение:

Выразим Q2 из функции полезности: Q2 = eu °2 J + Q20. Подставим а, = 2, а2 = 3, Qw = 0,5, Qw -1, LI = 10, Q = 5 :

J

10-2-111(5-0,5) 1

_, 3 ^ +1 = 11,28 пар носок в месяц.

Ответ: 11 пар носок в месяц.

Пример 3.3. Предпочтения потребителя описываются логарифмической функцией полезности: U{QVQ2) = al (Q{-Qi0) + a2 (Q2-Q2{l), причем а, = 2, а2 = 3, = 0,5, Qm = 1. Каков должен быть доход потребителя, чтобы полезность его потребительской корзины составляла U -10 единиц, если потребление первого товара мяса составляет Qx = 5 кг, цена на первый товар рх =100 рублей, а цена на второй товар р2 =40 рублей?

Решение:

Сначала выразив Q2 из функции полезности и подставив данные из условия задачи а, = 2, а2 = 3, Ql0 = 0,5, Q:o =1, £/ = 10, Qx 5, найдем потребление второго товара;

Q2 = е- °2 + Q2a=el 3 J +1 ~ 11 пар носок. Запишем уравнение бюджетной линии: pQx + p2Q2 = I. Подставим в него значения цен р^ =100 рублей, р2 =40 рублей, количество потребляемых товаров Q = 5 кг, Q2 = 11 пар носок. 100 5 + 40 -11 = 940 рублей. Ответ: 940 рублей.