14.5. внутренняя доходность финансовых операций

14.5. внутренняя доходность финансовых операций

Дискретный поток. Рассмотрим разбиение периода сделки (или периода оценивания) на критические подпериоды (см. рис. 14.2). Пусть, как и выше, К0 — начальная, К — конечная стоимости портфеля активов, участвующих в сделке, а Мк — распределяемая (денежная) часть текущего дохода за подпериод [fkV /J. С критическим моментом tk мы связали две стоимостные характеристики портфеля: V~ = V(tk) — стоимость непосредственно перед моментом tk и Ук V(tk) — стоимость непосредственно после этого момента. Рассмотрим разность этих величин

avk=av{tk) = v;-v;.

Если AVk > 0, то она представляет собой величину дополнительных инвестиций в портфель активов в момент tk, если AVk < 0, то она равна величине изъятия капитала в момент tk. Таким образом, Д Vk описывает эффект внешней операции вложения/изъятия капитала. Заметим, что результат реинвестирования нераспределенной части текущего дохода учитывается в стоимости У~, относящейся к концу кго периода.

Нетто-баланс от операции распределения части текущего дохода Мк и внешней операции вложения/изъятия АУк обозначим Ск

ct=mt-avk=mk+v--v; (14.20)

и отнесем к моменту tk.

Заметим, что в общей схеме финансовой операции текущий доход относится к доходной части денежного, связанного с этой операцией, потока, т.е. Мк > 0, тогда как дополнительные вложения (Л^ > 0) относятся к расходной части потока. Наоборот, изъятие {AV < 0, т.е. продажа части активов) капитала в такой схеме означает (капитальный) доход и, следовательно, относится к доходной части денежного потока, связанного с операцией.

Если Ск > 0, то нетто-баланс будет представлять результирующий доход Ск=Ск, относящийся к к-му периоду с актуализацией его в конце этого периода. В противном случае нетто-баланс будет представлять чистый убыток Ск = С~ и относиться к расходной части результирующего потока операции. К расходной части результирующего потока будет, естественно, относиться и начальный инвестируемый капитал

С ~C~-~V

тогда как конечная (реализованная или учетная) стоимость портфеля

Кп = К(/~) относится к доходной части потока и, значит, с учетом распределенного дохода имеем

ch = s; = v„ + mh.

п ft п п

Если использовать введенные величины то равенство (14.20) можно записать в виде

ASk = s;-s;=AVk-мк =-с,, к=о,і,..., л.

Напомним, что Sk~ относится к tk, т.е. учитывается сразу после момента ^, a Sk — к tk, т.е. учитывается непосредственно перед моментом tk. При этом

С0 -AS0 =S0 ~Sq = -5*0 = -VQ,

так как = 0 и

c. = -as,=s;-s; = s: = v, + m„

так как S~ 0. Использование одной величины Sk часто удобнее вместо двух Ук и Мк.

Таким образом, временная декомпозиция сделки позволяет построить ее результирующий денежный поток. Как отмечалось в гл. 1, описание сделки в рамках некоторой финансовой схемы и означает задание представляющего (порождающего) эту сделку денежного потока.

Задание представляющего потока

Cf = {(/„C0).(/1,CI) (/„С.)}

сделки позволяет определить понятие ее внутренней доходности как нормированной ставки в схеме сложных процентов, балансирующей потокС/7:

pyp(CFty) = 0

в некоторой (а тогда и любой) точке р. Обычно в качестве полюса берется начальный tQ или конечный г моменты сделки. Этим моментам соответствуют уравнения баланса

И

к=0

с учетом разделения потока СТна расходную CF~ и доходную CF+ части.

Пример 14.13. Найти внутреннюю доходность двухлетней сделки из примера 14.10. Решение, Согласно условиям примера 14.10

К0=.т00тыс; М, =/), = .#20тыс.; Vx~ =V^ =5?120тыс.; Мг = \%30 тыс.; V2 V; = 120 тыс.

Таким образом, результирующий денежный поток сделки имеет вид С0 = #100 тыс.; С, =.J?20 тыс.; С2 = #150 тыс. Уравнение для внутренней доходности (с полюсом в точке р = 2) следующее:

100(1 + у)2-20(1 +у)~ 150 = 0. Полагая х = 1 +у, получим квадратное уравнение

ЮОх2 20* ~ 150 = 0

или

10jcz2х15 = 0.

Отсюда .— .—

_1-Vl51. 1+y/lSl

Х}~ 10 ' *2 = 10

Отбрасывая отрицательный корень (поскольку по своему смыслу х есть коэффициент

роста и не может быть отрицательным), получим

х= 1+у = 1,3288

или

У = 0,3288,

т.е. внутренняя доходность сделки составляет 32,88\%, что отличается от среднегеометрической доходности сделки 32,29\%.

В наиболее типичных финансовых сделках, например кредитных, расходная часть сводится к инвестированию начального капитала V0, а доходная часть — к серии текущих платежей С,, С2,..., С (процентов или дивидендов) и к конечной стоимости капитала К (возврату основной суммы долга, реализованной или учетной стоимости активов и т.д.). Структура денежного потока сделки в этом случае

cr={(tl,q),(t2,c2),...,(tn,cn+vn)}.

Следовательно, балансовое уравнение для внутренней процентной ставки будет иметь вид (с полюсом р = /0) j г

Таким образом, это уравнение действительно представляет баланс (эквивалентность) между потоками расходов (инвестициями) и доходов (от них). В тех случаях, когда текущий доход отсутствует, т.е.

С=С =... =С = 0, то уравнение (14.21) сводится к уравнению

к vо

Учитывая, что tn tQ=T— срок сделки, получим

У =

1.

Тогда внутренняя доходность является просто нормированной эффективной доходностью соответствующей доходности сделки за период

г = -^-1, V

вычисляемой по базовой формуле (14.2). Иными словами,

y=( + rfTі.

В более общем случае равенство нулю промежуточных (внутренних) сумм Ск означает: 1) отсутствие или полное реинвестирование (всего) текущего дохода; 2) отсутствие изъятия или дополнительного (внешнего) вложения капитала. В самом деле, равенство

Ск=Мк-АУк=0

означает, что

AK = r;-vk= Mk,

т.е. весь полученный к концу k-го периода текущий доход полностью реинвестируется в портфель активов в момент t и, в частности, нет никаких внешних вложений.

Как отмечалось в предыдущем параграфе, в этом случае адекватной оценкой доходности сделки является среднегеометрическая доходность

y(f,=[(l + r"')(l+rw)...(l + rw)],/r-l.

Однако отсутствие внешних изъятий и вложений, а также полное реинвестирование дохода означает, что имеет место равенство

1 + г

где

V

г = —-1

Т V

— базовая доходность за период сделки. Следовательно, и в этом случае внутренняя доходность у будет совпадать с эффективной доходностью уаф) соответствующей базовой доходности за период. Более того, она будет совпадать и со среднегеометрической доходностью y{s).

Таким образом, именно наличие (внешних) изъятий/вложений капитала в финансовой сделке приводит к различию в значениях внутренней (денежно-взвешенной) доходности от среднегеометрической (временно-взвешенной) доходности. Этот факт иллюстрируется примером 14.13.

Хотя мы и подчеркивали, что адекватная интерпретация среднегеометрической доходности требует выполнения перечисленных выше условий (т.е. отсутствие изъятий/вложений капитала и полное реинвестирование текущего дохода), тем не менее на практике среднегеометрическая (взвешенная по времени) доходность используется наравне с внутренней (денежно-взвешенной). Строго говоря, оба вида доход-ностей оцениваютpa3jiu4Hbie аспекты эффективности сделки. Принято считать, что внутренняя доходность оценивает общий финансовый результат сделки с учетом всех ее компонент, в том числе и внешних вложений (изъятий), тогда как среднегеометрическая доходность оценивает эффективность управления активами, участвующими в сделке. Чтобы прояснить различие в этих аспектах оценки, рассмотрим следующий пример.

Пусть два управляющих активами двух пенсионных фондов имеют в начале двухмесячного периода портфели активов на сумму Р/?60 млн. Предположим также, что управляющие сформировали одинаковые по структуре портфели. Допустим, что никаких дополнительных вложений или изъятий капитала за два месяца не было, как и не было распределения текущего дохода (т.е. он полностью реинвестировался). Если доходности портфеля за первый и второй месяцы составляют 20 и 50\% соответственно, то ясно, что как финансовые результаты, так и качество управления обоих управляющих совпадают. В конце 1-го месяца стоимость портфеля возрастет до

У} = :-#60(1 + 0,2) = #72 млн,

а в конце 2-го — до

\ = #72(1 +0,5)= #108 млн. Доходность сделки за оба месяца составит

ІІ-1=И-1 = 0,8,

К 60

а соответствующая эффективная месячная доходность

Уэф) = VI + 0,8 -1 = 1,3416 -1 = 0,3416,

или 34,16\% в месяц. При указанных условиях эта доходность совпадает как со средней геометрической, так и с внутренней доходностями сделки.

Рассмотрим другую ситуацию. Допустим теперь, что при тех же начальных условиях, а также условиях, касающихся доходностей портфелей, первый управляющий получает (например, от участников фонда или от спонсоров) в конце 1-го месяца дополнительно #20 млн, а другой, наоборот, обязан выплатить (например, в виде пенсий) #10 млн. В этом случае у первого управляющего стоимость портфеля в конце 1-го месяца составит

^~ = 60(1+0,2) = #72млн.

Однако с учетом дополнительных вложений на сумму #20 млн, он инвестирует в начале 2-го месяца сумму

-72+ 20 = #92 млн.

Поскольку доходность портфеля активов за 2-й месяц составляет 50\% в месяц, то окончательная стоимость портфеля (в конце 2-го месяца)

V2 = 92( +0,5)= #138 млн.

Внутренняя доходность ух сделки определяется уравнением (с полюсом р = 2)

60(1+^)2+20(1+^)-138 = 0, решая которое получим

у, = 0,3499,

или 34,99\% в месяц, что больше среднегеометрической доходности 34,36\% этой же сделки (которая, как легко понять, не изменилась).

Второй управляющий получит в конце 1-го месяца те же V~ 'Mil млн. Однако, учитывая изъятие капитала на сумму 10 млн, он в начале 2-го месяца сможет инвестировать лишь

^+ = 72-10^62 млн и, следовательно, конечная стоимость портфеля

У2 = 62(1 +0,5)= .^93 млн.

Внутренняя доходность j2 этой сделки определяется уравнением (с полюсом р — 2)

60(l+^)2-10(l + i,2)-93 = 0, решая которое получим

>>2 = 0,3283,

или 32,83\% в месяц, что меньше месячной среднегеометрической доходности 34,16\% этой же сделки.

Подведем итоги анализа описанных сделок. Поскольку оба управляющих во всех случаях формировали идентичные по структуре портфели, то с точки зрения эффективности управления активами их работа должна оцениваться одинаково. Заметим, что внутри каждого критического периода стратегия инвестирования пассивна и, значит, результат управления портфелем для критического периода полностью описывается доходностью портфеля, т.е. определяется лишь структурой портфеля, сформированного в начале периода, и поведением активов (последний фактор, естественно, не зависит от управляющего).

Таким образом, эффективность управления на всем инвестиционном периоде (периоде оценки) полностью определяется последовательностью доходностей портфеля для критических периодов. Для характеристики эффективности управления единственным показателем (т.е. одним числом) необходимо выбрать правило его определения по заданной последовательности доходностей портфеля. Иными словами, этот показатель представляет собой некоторую функцию от указанных доходностей:

^^(r'V'2',...,/"1). (14.22)

На практике в качестве меры эффективности управления берется обычно средняя геометрическая или взвешенная по времени доходность

j;w=[(l+/«)(l + /J,)...(l + /-<">)]1/r-l.

Заметим, что при любом выборе показателя эффективности управления в соответствии с (14.22) он не будет зависеть от дополнительных вложений или изъятий капитала. Это чрезвычайно важное условие. В самом деле, решение о дополнительных вложениях и изъятиях принимается владельцем капитала, который может совпадать и не быть его управляющим.

В современных условиях типичным является как раз несовпадение этих лиц. Владельцы капиталов отдают их в управление профессиональным менеджерам. Менеджеры ответственны лишь за качество управления активами. Решение о дополнительных вложениях или изъятиях принимается не ими, и за их последствия они не должны нести ответственность. Многие финансовые институты, активами которых управляют финансовые менеджеры, имеют обязательства, например банки должны возвращать вклады (с процентами), страховые компании выплачивать страховые суммы (страховое возмещение), пенсионные фонды — пенсии своим участникам и т.п. Во всех случаях такие выплаты обусловлены контрактами и обязательны. Для финансового менеджера они представляют собой принудительный отток (изъятие) капитала. Такие изъятия безусловно влияют на финансовый результат деятельности финансового института.

Перейдем теперь к анализу сделок с точки зрения их фактического финансового результата. В этом случае необходим учет как распределяемого дохода, так и внешних капитальных операций изъятия/вложения. Таким образом, кроме показателей, связанных с управлением, т.е. до-ходностей г(2..,, г(п), необходимо учитывать все денежные потоки, связанные со сделкой. Кроме начальных инвестиций V0 следует задать как величину распределяемой части текущего дохода Мк, к=, 2,..., п, для каждого критического периода, так и величину капитальных изъятий/вложений AVk=Vk+-V~. Если интервальная величина Мк относится (актуализируется) к концу периода (независимо от реального времени ее получения), то для полного описания сделки достаточно рассматривать лишь нетто-поток:

Ck = Mk-AVk=-ASk9 * = 0,1,...,я.

При этом естественно положить (краевые условия)

С =-К, С =М + V.

О 0' я л л

Получающийся денежный поток

СТ = {(;,>С0),(/„С1),...,('..С,)} полностью описывает сделку с точки зрения конечного финансового результата.

Заметим некоторое отличие краевых (С0 и Сд) и внутренних элементов потока. Первые представляют собой соответственно начальную и конечную стоимости портфеля, т.е. начальную (инвестируемую) и накопленную стоимости капитала. Эти величины относятся ^характеристикам состояния сделки в начальный и конечный моменты. Величины Ck, k = 1, 2,..., п — 1, не связаны непосредственно с состоянием сделки (т.е. со стоимостью портфеля) в критические моменты времени. Однако имеется косвенная связь между этими характеристиками, учитывающая также внутренние (управляющие) характеристики г° г(2), г{п). Эту связь отражают следующие соотношения:

^ = К0(1+/-(0); s; = s+-q; 52+=51-(l + r(2)); S; = S;-C2;

Именно таким способом вычислялась конечная стоимость портфеля в рассмотренном выше примере.

Таким образом, в потоке CFb конечной стоимости V учитываются и результаты применяемых управленческих (т.е. касающихся выбора структуры портфеля) решений. На практике в качестве оценки сделки с точки зрения ее финансовой эффективности выбирается внутренняя или денежно-взвешенная доходность, определяемая [неявно) уравнением

£ct(i+>Г"= о,

fc=0

где р — выбранный полюс (точка приведения событий потока CF). Это уравнение определяет у как неявную функцию потока CF:

у = у(С0,С(,...,С). (14.23) При этом ее можно рассматривать и как функцию вида

у = у(К0; С,, С2,...,С^; Л г{2 (14.24)

Возможно именно наличие в уравнениях (14.23), (14.24) денежных характеристик VQ, С,, С2, С _,, кроме относительных характеристик r{X), г[2...,г{п определяемых временнбй декомпозицией сделки, послужило основанием для именования внутренней доходности как денежно-взвешенной.

Следует сознавать, что выбор в качестве характеристики финансовой эффективности сделки внутренней доходности есть лишь определенное соглашение, принятое участниками финансового рынка. Это соглашение продиктовано необходимостью каким-либо образом характеризовать конечный результат сделки одним показателем, помимо набора денежных (бухгалтерских) показателей (доходов/расходов), связанных со сделкой.

Поведение внутренней доходности в общем согласовано с интуитивным восприятием финансовых результатов сделки. Так, в нашем примере дополнительное вложение капитала в начале второго месяца (характеризующимся высокой доходностью) приводит к повышению внутренней доходности по сравнению с доходностью первоначальной сделки (без добавочных инвестиций) — 35,40 против 34,16\%. В то же время изъятие капитала в начале второго месяца приводит к снижению внутренней доходности — 33,11 против 34,16\%.

Таким образом, дополнительные вложения на растущем («бычьем») рынке ведут к повышению внутренней доходности, а изъятия — к снижению доходности. Заметим, что на обратном (падающем, «медвежьем») рынке ситуация прямо противоположна.

Пример 14.14. Рассмотрим акцию компании А из примера 14Л 2. Ее цена в начале 1 -го периода была .#50, к концу периода выросла до . ->? 100, а к концу 2-го периода снова упала до #50. Допустим, что инвестор покупает две акции компании А в начале первого периода. Найти внутреннюю доходность следующих сделок: а) инвестор держит обе акции оба периода; б) инвестор продает одну акцию в конце 1-го периода; в) инвестор покупает еще одну акцию в конце 1 -го периода. Предполагается, что никаких дивидендов по акциям в течение указанных периодов не выплачивается,

Решени е. а) Начальная и конечная (накопленная) стоимости инвестиций совпадают

У„= К, = 250= 100(.*>).

Внутренняя доходность сделки совпадает со среднегеометрической и равна нулю, поскольку равна нулю доходность за период:

К0 100

б) Со сделкой связан денежный платеж в конце 1 -го периода; при этом С, = .#100.

Начальная стоимость портфеля, как и в случае а), К0 = .#100, так как Сц = .#100, а конечная стоимость С2 = V2~ .#50, так как у инвестора к концу 2-го периода останется всего одна акция.

Внутренняя доходность определяется из уравнения

100(1 +у)2 -100(1+.у) -50 = 0.

Решая это уравнение, получим у = 0,3660, или 36,60\%.

Положительная доходность объясняется наличием положительного чистого дохода ;3?100, полученного от продажи одной акции в конце 1-го года.

в) В конце 1-го года на покупку еще одной акции потребуются дополнительные инвестиции в размере И