14.6. критерии единственности внутренней доходности

14.6. критерии единственности внутренней доходности

Мы определили внутреннюю (эффективную) доходность сделки как корень балансового уравнения

PVp(CF,y) = 0, (14.29)

где CF— представляющий финансовый поток сделки.

В развернутой форме это уравнение имеет вид (при р = tn)

ict(l + y)w*=0. (И.ЗО)

k = 0

Это уравнение можно рассматривать как уравнение относительно неизвестного коэффициента роста х= 1 + у, а не доходности. В этом случае (14.30) примет вид

п

ХС**Г' =0> (14.31)

где тк ~tn~tk>^. При этом исходя из содержательного смысла доходности ясно, что у > -1 (нельзя потерять больше, чем вложить!), так что интерес представляют л ишь неотрицательные корни уравнения (14.31). Именно поэтому в приведенных выше примерах не учитывались получающиеся отрицательные корни. В этих примерах балансовые уравнения всегда имели единственный неотрицательный корень х и, следовательно, давали единственное (допустимое) значение внутренней доходности. Однако в общем случае уравнение (14.31) (а также (14.29)) может иметь более одного допустимого корня. Рассмотрим, например, сделку с потоком

СТ= {(0, -100), (1, 230), (2, -132)}.

Соответствующее уравнение для внутренней доходности (с р — 2) имеет вид

100(1 +>-)2230(1 +у) + 132-0. Это уравнение имеет два корня у{ = 0,1 и у2 = 0, 2, т.е. получаем доходность 10, или 20\%.

Исходя из принятой интерпретации денежный поток сделки выглядит несколько необычно. После начальных инвестиций в ^ 100 инвестор получает доход .#230, а затем в конце периода сделки снова инвестирует ?АЪ2.

Можно показать, что именно такого рода «необычности* денежных потоков, в которых инвестиции и доходы «перемешаны», и служат источником неоднозначности (неединственности) в определении внутренней доходности.

В тех случаях, когда расходная часть (вложения) потока отделена от доходной (поступлений), балансовое уравнение (14.31) дает единственный неотрицательный корень для коэффициента роста х и, следовательно, единственный корень для внутренней доходности у.

Сформулируем этот факт в виде следующей теоремы.

Теорема 14.1 (достаточный признак существования и единственности). Пусть в последовательности ro < t < ... < ґ < ґ < ... < їп критических моментов денежного потока CFсделки все моменты вложений средств (т.е. моменты расходной части CF~ потока) предшествуют всем моментам получения (изъятия) средств (т.е. моментам доходной части CF+ потока). Тогда балансовое уравнение (14.31) определяет единственную внутреннюю доходность сделки.

Доказательство. Пусть к расходной части относятся моменты tQ < / <...<?., к > 0. Обозначим

су=|с;|, у = о,1,...д,

— абсолютные значения вложений,

</у=С;+у>0, j = 1,2,...,/и,

— абсолютные значения полученных доходов, где т = п — к.

Тогда балансовое уравнение (14.31) с полюсомp — tn примет вид

-с0хТ"-с^ -...-ckxr* + d^1 +d2xTl^+...+dm =0. (14.31') Умножим обе части этого уравнения на -1 и разделим на хТк. Учитывая, что т0 >т, >...>тк >тХг| >...>т„, и полагая />. = т. — г > 0, j = 0, 1, ...Д; еу= тА.т4+у > 0, /= 1, 2,т, получим

d d

c^+c^ + ...с,-^-^-...—f= 0. (14.32)

Все коэффициенты с и этого уравнения положительны, также положительны и показатели Ь и е при неизвестномх. Поскольку c.xhf, j — 0, I,..., и —7-1,2,..., w, являются возрастающими функциями, то левая часть уравнения (14.32) также возрастающая функция в области х > 0. Следовательно, уравнение (14.32), а вместе с ним и равносильное ему уравнение (14.3 Г) имеют не более одного положительного корня.

Заметим также, что при х > 1 и

х>

( d, +d2 + ...d.

(14.33)

левая часть (14.32) — положительная, поскольку из условия х > 1 следует, что

d.

dj>^;, 7 = 1,2, m,

и, значит,

d,+d7 + ...dm >—L X 1

+ ...

С другой стороны, при X > 1

£q X "т~ £у X *т~ .»»*4~ ^ С^Х t

Наконец, неравенство (14.33) при х > 1 равносильно неравенству

c0xb»>dl+d2 + ...dm.

Таким образом, получаем

~^>0.

c0xbi> +clxbi +... +с'к

X X X

Последнее неравенство, в свою очередь, означает, что при

х > F max <

^I+rf2 + ... + Oy*

левая часть (14.3 Г) отрицательная. Функция

f(x) = -cQx<i-clxTl-...

-схч + d<x4tX + ... +dm

очевидно непрерывна и по доказанномуДх) < 0 при х > F> 0. Поскольку

ДО) = dm > 0,

то в силу теоремы Больцано Вейерштрасса функция (см. [23]) f(x) принимает на отрезке [0, F] хотя бы одно нулевое значение. Иными словами, уравнение (14.31*) имеет хотя бы один положительный корень. С другой стороны, как показано выше, этот корень — единственный. Следовательно, единственной будет и соответствующая ему внутренняя доходность. Теорема доказана.

Приведенное доказательство дает для сделок, потоки которых удовлетворяют условиям теоремы 14.1, оценку для корней уравнения (14.3 Г). Единственный неотрицательный корень принадлежит отрезку [0, F], где

F max

Здесь

4 +d2 +... +dm =c;tt+с;+2 +...+c;+m

— сумма всех поступлений доходов от потока; с0 = С0~ — абсолютное значение начальных инвестиций; 60 т0 — тк = ^ — Г0 — срок между первым (начальным) и последним вложениями средств.

В финансовой литературе встречаются и другие условия единственности. Более общей проблемой является оценка числа положительных корней уравнения вида (14.31), (14.31*). Заметим, что хотя их левые части, представляющие собой непрерывную функцию fix), и являются суммой элементарных одночленов, тем не менее с алгебраической точки зрения они не являются многочленом, поскольку показатели при неизвестной переменной х не целые числа.

Чтобы применить известные алгебраические методы исследования корней многочленов на практике, используют различные методы преобразования (приведения), позволяющие преобразовать функцию/(х) в обычный многочлен. Чаще всего это делается с помощью {практически всегда выполнимого) условия, налагаемого на показатели при неизвестной х в уравнения (14.31), (14.ЗГ). Для формулировки этого условия введем следующее определение.

Определение 14.1. Будем говорить, что семейство чисел

имеет общую меру г > 0, если существуют целые числа mQ, тр..., тп такие, что

т0 = /и0т, т, т,т,..., ти = mj. (14.34)

Возвращаясь к уравнению (14.31), в предположении, что числа т0, г,,..., т имеют общую меру, в соответствии с (14.34), сделав замену z = хт, приведем это уравнение к виду

где слева — настоящий многочлен. Фактически это означает выбор в качестве единичного периода новой шкалы промежутка длины г в исходной шкале. В этом случае в новой шкале все сроки тк будут выражаться целыми числами.

Существование общей меры можно считать всегда выполненным в практическом смысле. В самом деле, на практике можно всегда считать числа т0, тр..., т рациональными. Тогда, приводя их к общему знаменателю D, т.е.

можно выбрать в качестве общей меры г = 1/7). Так, в большинстве случаев сроки считаются с точностью до суток (до дней). Выбрав в качестве базовой единицы сутки (день), все сроки можно выразить в днях, т.е. в целых числах. Соответствующая внутренняя доходность будет корнем многочлена (возможно, большой степени). Это — дневная доходность, которую затем можно привести к любому другому промежутку (например, к году). Таким образом, в дальнейшем можно, если это необходимо, считать, что выбрана такая временная шкала, в которой все показатели тк в уравнении (14.31) — неотрицательные целые числа и, следовательно, внутренняя доходность у удовлетворяет алгебраическому (многочленному) уравнению

/(*ЬХС*хт'=0> тй>ті>...>тя = 0, (14.35)

где х — 1 + у.

Потоки сделок, а также сами сделки, которые удовлетворяют условиям теоремы 14.1, назовем нормальными.

Таким образом, балансовые уравнения сделок с нормальными денежными потоками имеют единственные корни.

Заметим также, что если в нормальном потоке сумма всех платежей будет положительной, т.е. суммарные доходы превышают суммарные расходы, то балансовое уравнение определяет единственную положи-тельную внутреннюю доходность^ > 0. В самом деле, условие положительности сумм потока означает, что

/(i)=XQ>o,

но тогда все положительные корни функции f(x) будут больше единицы, т.е. х> 1, а значит, у = х— 1 >0. Таким образом, диапазон корнейДх) сужается до отрезка [1, F], где F— определенная выше верхняя граница корней функции f(x).

Вернемся к вопросу о единственности корней уравнения (14.35).

На этот вопрос отвечает известная теорема Декарта (см. [7]), которая утверждает, что число положительных корней многочлена а0х" + аххп + ... + ап

не превышает числа перемен знаков в последовательности коэффициентов а0,аг...,ап (нулевые коэффициенты игнорируются). Если к тому же все корни этого многочлена вещественны, то эти числа совпадают.

Из теоремы Декарта немедленно следует единственность внутренней доходности для сделок с нормальными денежными потоками, так как условие нормальности означает, что все расходы, т.е. отрицательные коэффициенты многочлена f(x) из (14.35) предшествуют всем доходам, т.е. положительным коэффициентам этого многочлена. Таким образом, в последовательности его коэффициентов имеется всего одна перемена знаков и, значит, по теореме Декарта этот многочлен имеет не более одного положительного корня X.

Поскольку существование положительных корней в случае нормального потока доказано, следовательно, (14.35) имеет единственный положительный корень и потому определяет единственную внутреннюю доходность.

Заметим, что в приведенном в начале параграфа контрпримере поток платежей

CF= {(0, -100), (1, 230), (2, -132)}

имеет в точности две перемены знака и, как мы видели, соответствующее балансовое уравнение имеет два положительных корня х{ = 1,1 и х2 ~ 1,2, которым соответствуют две внутренние доходности у{ ~ 0,1 и У2 = 0, 2.

В заключение приведем еще одно условие единственности внутренней доходности.

Рассмотрим сделку с представляющим потоком

CF = {(0,C0),(1,C1),...,(«,Q)}. (14.36)

Пусть у — внутренняя доходность этой сделки, т.е.

^Ск( + у)к=0. (і4з7)

Свяжем со сделкой счет с переменным капиталом в схеме сложных процентов, состояния которого будут представлять состояние сделки. Иными словами, положим

s*=Sk_l{l + y) + Ck, £-1,2,...,/г

Теорема 14.2. Если сальдо счета сделки с потоком (14.36) имеет постоянный знак вмоменты к = 0, 1,..., п — 1 для внутренней доходности у > — 1, то доходность единственна, т.е. она является единственным решением уравнения (14.37) с условием у > -1.

Доказательство. Будем считать для определенности, что С0 < 0. Тогда по условию теоремы

Sl=SQ(l+y) + Cl<0;

^ = ^2(i+^+-V.i<<>;

Заметим, что из последнего уравнения следует, что С > 0, поскольку С„=-^-,(1+Да^_1<0и1 + у>0.

Допустим, что существует еще одна внутренняя доходность;/ такая, что 1 + у' > 0 и / Фу. Пусть, например, у' > у. Состояния счета,

соответствующие доходности у', обозначим :

v — г ■

^ = ^(1+/) + ^, * = 1,2,...,«.

Из условия 1 + yf > 1 + у и отрицательности S t k = 1, 2,..., л — 1, следует, что для любого к — 1, 2,..., л выполняется условие 3^ < 5А,.

Но по условию 5 = 0, и, значит, 5Я' < 0, что противоречит тому, что у' —внутренняя доходность.

Аналогично рассматривается случай у' < у. Таким образом, теорема доказана.

До сих пор мы работали со сделками, которые имели хотя бы одно значение для внутренней доходности. Легко привести примеры сделок, не имеющих внутренней доходности.

Пример 14.15. Инвестор у лица А занимает J?1000 на год по ставке 10\% годовых и дает эту сумму В кредит лицу В на этот же срок по ставке 12\% годовых. Какова внутренняя доходность сделки?

Решение. Нетто-поток сделки CF = {(0, 0), (1, 100)}. В самом деле, С0 = 0, поскольку инвестор получает .#1000 и тут же отдает их в кредит. Начальные инвестиции равны нулю, так как инвестор не привлекает собственного капитала. В конце года он от лица В получит .#1200 и обязан лицу А отдать .#1100. В результате инвестор получит чистый доход в .#100. Доходность такой сделки 100

0

можно считать бесконечно большой. Формально же уравнение

0(1 +у)+ 100-0

не имеет решений.

В предыдущем примере балансовое решение не имеет ни вещественных, ни комплексных решений. В следующем примере балансовое уравнение сделки имеет только комплексные (мнимые) решения.

Пример 14.16. Инвестор вместо двух платежей в размере ->?100 в начале 1-го года и 101 в конце 2-го года соответственно получает ^200 в конце 1-го года. Какова внутренняя доходность сделки?

Решение. Для данной сделки имеем следующий поток платежей:

CF= {(0, -100), (1, 200), (2, -101)}. Балансовое уравнение для внутренней доходности имеет вид

100(1+.у)2 200(1 +у)+ 101 =0. Решая это уравнение, получим

у2 = 0,01, т.е. у = ±0,1/, где / — мнимая единица. Таким образом, оба корня чисто мнимые.