5. экономико-математические методы и прикладные модели 5.1. системы массового обслуживания

5. экономико-математические методы и прикладные модели 5.1. системы массового обслуживания

Система массового обслуживания (СМО) это объект, характеризующийся наличием следующих элементов: 1) источник заявок или требований на обслуживание; 2) очередь; 3) обслуживающий аппарат (ОА).

Источник, обычно, не считается элементом СМО. Предполагается, что источник моделирует внешнее окружение. Таким образом, СМО содержит очередь и обслуживающий аппарат.

Для описания сокращенных обозначений для однофазных СМО используется трехбуквенное обозначение вида A/B/m, где A и B описывают соответственно интервалы времени между поступлениями последовательных заявок и распределение времени их обслуживания; m число каналов обслуживания. A и B принимают следующие значения:

M экспоненциальное (показательное) распределение;

Er - распределение Эрланга порядка г;

D детерминированное;

G распределение общего вида.

Иногда указывают емкость очереди K и емкость источника заявок M. В этом случае используется пятибуквенное обозначение A/B/m/K/M. При отсутствии одного из двух последних индексов его значение предполагается сколь угодно большим.

СМО удобно описывать на основе диаграммы состояний, которая носит название «процесс гибели и размножения» (рис. 5.1).

-ЦІ-" ^Ц2^ U3—' * JLlk+1 —

Рис. 5.1. Процесе гибели и размножения.

Состояние Ek обозначается овалом, в котором записывается число k. Переходы между состояниями обозначаются стрелками, на которых представлены интенсивности переходов.

Здесь Хк интенсивность потока заявок, поступающих в систему, находящуюся в состоянии с номером k (количество заявок, поступающих за единицу времени); цк интенсивность обслуживания в системе, находящейся в состоянии с номером k (количество заявок, которые обслуживаются в среднем за единицу времени).

Решение этой системы в общем виде невозможно. Модель даже простой системы является чрезвычайно сложной и трудно анализируемой. Если рассматривать СМО более сложного вида, то вычислительные трудности будут еще более высокими. Поэтому обычно рассматривают решения системы уравнений Колмогорова в установившемся режиме при t—oo: dp(k;t)/dt—-0, p(k;t)—p(k)=const.

Выпишем некоторые формулы для систем массового обслуживания.

Вероятности состояний связаны между собой формулами k і

p(k) = р(0)П—, k = 1...оо .

z=1 »i

Неизвестную константу p(0) найдем из условий нормировки:

1

Р(0) = ——

і-1

k=1і=1

Для системы М/М/1 (диаграмма состояний представлена на рис. 5. 2) справедливы следующие формулы:

Среднее число заявок в системе равно N = —^—, среднее время

1-р

к т N 1 1

пребывания заявки в системе: 1 = — = = .

X |Ll(l р) х-Х Как видно, если коэффициент использования стремится к единице, среднее число заявок в системе и среднее время пребывания заявок в системе стремится к бесконечности.

Иначе говоря, если Вы набрали заказов, стремясь полностью загрузить свои мощности, то, с очень высокой вероятностью, сорвете сроки выполнения заказов.

Для системы M/M/m диаграмма состояний представлена на рис. 5.3.

k

р(0)—mm, k>m ml

X

P(k ) =

Здесь p = — < 1. Среднее число заявок в системе всегда можно найти как

7=1