6.4. задача эйлера вариационного исчисления

6.4. задача эйлера вариационного исчисления

Излагаемая задача пока не имеет известных экономических приложений, и поэтому может возникнуть вопрос, для чего она нужна в настоящем учебном пособии? Ответ следующий: эта задача первая в так называемом вариационном исчислении, методы и алгоритмы решения которой впоследствии способствовали созданию теории оптимального управления. По крайней мере она имеет историческую значимость и должна быть известна учащимся.

Задачей Эйлера называют минимизацию функционала

т

J = f°(tyx,u)dt ^> min О

(6.49)

при наличии ограничений

dx

(6.50)

х(0) = х0, х(Т) = х,

(6.51)

где х є Rn л-мерный вектор состояния;

и є Rn л-мерный вектор управления (в данном случае размерность векторов состояния и управления одинакова);

х0, х{ — заданные л-мерные векторы начального и конечного состояния системы; R" — символ л-мерного действительного эвклидова пространства.

Помимо векторных уравнений процесса (6.50) на элементы v{t) = (х(0, u(t)) допустимого множества М наложены ограничения теоретико-множественного характера: x(t) — непрерывная и кусочно-дифференцируемая, u(t) — кусочно-непрерывная вектор-функция. Скалярная функция f°(t, х, и) непрерывная и дифференцируемая по всем аргументам. Ограничимся частным случаем п = 1, на состояние и управление ограничений нет, т.е.

V*x и Vtx совпадают соответственно с числовыми осями Хи £/, а при t = 0 и t = Г представляют собой заданные точки х0 и xv

Свойства решения задачи Эйлера в значительной мере определяются характером индикатрисы, т.е. зависимости подынтегрального выражения f°(t, х, и) от управления и при фиксированных значениях tux. Именно эту зависимость удобно положить в основу классификации решений. В [12] рассмотрены четыре случая:

постоянная индикатриса, T.t.f°(t, х, и) =f°(x, t)

индикатриса с ограниченной нелинейностью по управлению

f°(t, х, и) = g° (*, х, и) + h°(t, х) и ^ ^ 3) линейная индикатриса, этот случай рассматривался в разд.

4) выпуклая индикатриса, когда 0 J >Q

ди2

Ограничимся изучением последнего, четвертого случая, так как его исследование может быть проведено с помощью принципа максимума Понтрягина. В соответствии с этим принципом построим функцию Гамильтона

#(/, х,у9 и) = чш -f°(t, х} и). (6.52)

Поскольку ограничений на состояние х и управление и нет, применим необходимое условие максимума гамильтониана (6.52)

Э//(/,л,|/,ц)_0 ди

M*(f,jt,|/) = arg max (— = 0). (6.53)

ou

Записываем систему: уравнение процесса и сопряженное

уравнение, используя ограничение (6.50):

~dt

dx = dt "

дН(і,хМ*),и*)

дх

їх*

(6.54)

Решая систему двух дифференциальных уравнений (6.50) и (6.54) относительно искомых переменных х и |/, с учетом выражения (6.53) получаем процесс, удовлетворяющий необходимым условиям оптимальности.

Пример б.З. Имеем задачу Эйлера в следующем виде:

J = /(*2+м)Л->тіп; о

dx

= и:

dt

jc(0) = 0, х(к) =

(6.55)

Поступаем согласно изложенному выше алгоритму решения задачи Эйлера. Вычислим функцию Гамильтона

H(t, X,\f, U) = 1|Ш х2 и2).

Максимизируем функцию Гамильтона по и. Поскольку ограничения на управление и при этом отсутствуют, исходим из простейшей формы

откуда получаем

і/-2и = 0, или и* = —. Составляем систему сопряженных уравнений:

dx _ |/ Л "2"'

= 2jc.

Чтобы исключить дифференцируем первое из двух уравнений системы по t и получаем

dt

d\f

~dt = 2

d2x

2 '

откуда находим

dt2

-х = 0.

(6.56)

Уравнение (6.56) называют уравнением Эйлера. Корни характеристического уравнения (1.7) для уравнения Эйлера (6.56) рх = 1, р2 = — 1. Отсюда его общее решение:

x(t) = С,е' + С2е-'.

(6.57)

Определяя произвольные постоянные С, и С2 из краевых условий (6.55), получаем оптимальное состояние:

<е'-е-').

2(ел-е_л) Оптимальное управление имеет вид

u*(t) =

dx}{ dt

-(e'+e-').

x*(t) 2(e" -e ")

Пара v*(t) = (x*(t), u*(t)) обладает свойством оптимальности, так как условия теоремы 6.2 выполняются.

Задачи для самостоятельной работы

В задачах 6.1—6.13 найти управляемый процесс, удовлетворяющий необходимым условиям оптимальности. Установить, является ли найденный процесс оптимальным. Решение изобразить графически.

4

J = j(2u + u2 -x)dt + 2x(4)-+m

О

= 3jc + 2m; jc(0) = 0. dt

4

J =j(u + u2+2x2)dt->mm

0

= jc + 2m; jc(0) = 0. dt

10

J = j (м2 + x)dt -> min;

0

= jc-m; 0<m<4; jc(0) = 1.

4

У = j ( jc + 5м)*/ґ 2jc(4) —> min;

0

= 2jc + m; |m|<1; jc(0) = 1. dt

3

J =J(jc-би) A + 2jc(3) -> min;

0

= jc + 2m; 0<и<1; jc(0) = -. dt 2

J = j (2m2 4*)A + jc(3) -> min;

0

= jc + m; |u|<l; jc(0) = 1. dt

10

J = j (2m + u2 + jc)Jr 3jc(10) -> min;

0

= jc + m; |m|<2; jc(0) = 1. dt

з

6.8. У = (хх + х2 + 2u)dt-x2(3) —> min;

i)dt—> min;

= -2jc + m; |m|<1; x(0) = 1. dt

5

У = J(и2 x)dt -> min;

0

= -(jc + m); we[0;l]; jc(0) = 1. Л

10

У = J (jc + u)dt —> min;

0

= -x + 2u иє[0;1]; x(0) = l. dt

5

J =j(u2 -x} +x2)dt^> min;

0

dt 1

—= 2x<> + 2u dt 2

jt!(0) = l; д:2(0) = 0; нє[0;10]. Ю

У = J (-3jc, +3w)<#-> min;

0

^ = x22+2u; dt 1

дг,(0)=0; jc2(0) = 1; |м|<1.

6.14. Задача о линии наименьшей длины [12, с. 173].

Пусть на плоскости (/, у) заданы точки A{tv у{) и B(t2, у2). Среди всех линий, соединяющих эти точки на плоскости, выбрать линию наименьшей длины. Из элементарной геометрии известно, что это прямая. Самостоятельно с использованием указанного источника показать этот результат, обращаясь к изученным методам оптимизации в форме задачи Эйлера:

У(*0 = У\> У(*2)=У2 

Обосновать оптимальность полученного решения.

6.15. Самостоятельно рассмотреть негативный пример [12, с. 175] для задачи Эйлера, где удовлетворяющий необходимым условиям оптимальности процесс может быть оптимальным или неоптимальным в зависимости от исходных параметров:

Т

J = (и2 -x2)dt-*m О

dx

— = w;

jc(0)= х(Т) = 0.

Величину Т считать заданной, но заранее не фиксированной.