Оптимизационные модели экономической динамики

Оптимизационные модели экономической динамики

3.1.

Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель

Прежде чем переходить к построению абстрактных моделей управляемых процессов, в частности моделей развития экономики (см. главу 4), рассмотрим механизм построения нескольких простых примеров экономической динамики.

Исследование взаимосвязей элементов производства вне общественной формы реализации продукции (рис. 3.1) приводит к производственно-технологической интерпретации экономики.

Вн^шн_яя_среда (S)

I

I I

J

Рис. 3.1. Принципиальная схема производства и распределения продукции

На рис. 3.2 выделены факторы, характеризующие производство: живой труд (L), средства труда (основные производственные фонды, капитал К) и предметы труда (W3) — ресурсы.

Результатом производственной деятельности является валовой продукте, распределяемый в блоке Рхиа производственное потребление И^и конечный продукт Y. В свою очередь, конечный продукт К делится в блоке распределения Ру на валовые капитальные вложения (Г) и на непроизводственное потребление (С).

Внешняя среда (S) Экономика

Амортизационные отчисления А

Капитал К

Ввод в действие

Ввод в действие У

2 =г

к

W

Природные ,

ресурсы

Производство

Валовой „

продукт X

Конечный ь

продукт У

Валовые

инвестиции /

Непроизводственное

Труд L

потребление С

Рис. 3.2. Взаимодействие производственных факторов

Валовые капитальные вложения /, входящие в блок Рп делятся на амортизационные отчисления (А) и чистые инвестиции, идущие на расширение производственных фондов.

Ограничимся изучением взаимосвязей между синтетическими показателями верхнего уровня экономической иерархии. Одним из подходов к решению данной проблемы является построение однопродуктовой динамической макроэкономической модели. С помощью этой модели изучают свойства и тенденции изменения взаимосвязанных агрегированных показателей, таких, как валовой и конечный продукты, трудовые ресурсы, произ-

водственные фонды (капитал), инвестиции, потребление и т.д. Так, на макроуровне блок распределения Рх показывает взаимосвязь между валовым продуктом X, производственным потреблением Ww конечным продуктом Y:

Х= W+ Y. (3.1)

Блок Ру делит конечный продукт на две составляющие: валовые капитальные вложения / и непроизводственное потребление С, т.е.

Y=I+C. (3.2)

Инвестиции составляют материальную основу наращивания и перевооружения производства. За их счет осуществляется ввод в действие основных производственных фондов. Однако этот процесс сопряжен с определенными трудностями, одной из которых является учет распределенного запаздывания прироста основных фондов от реализации капитальных вложений. В экономико-математическом моделировании имеется ряд подходов к описанию этой взаимосвязи.

В однопродуктовой модели делается предположение, что валовые инвестиции полностью расходуются на прирост основных производственных фондов в том же году и на амортизационные отчисления:

а) в дискретном варианте эта взаимосвязь имеет вид

/= qAKt + А; (3.3) Щ= К!+1 Кг А = lK„

где АК( прирост основных производственных фондов в году /; q — параметр модели; А амортизационные отчисления; х коэффициент амортизации; Kt основные производственные фонды в году /;

б) аналогом уравнения (3.3) в непрерывном варианте является

(3.30 49

Отсюда можно получить дифференциальное уравнение динамики фондов

^ = -(/-ц/0. (3.4) at q

Объединяя уравнения связи (3.1) — (3.4), получим однопро-дуктовую динамическую макромодель в дискретном варианте:

Xt=Wt+q AKt + iKt + С,.

Если считать производственные затраты W пропорциональными выпуску продукции X, т.е.

W=aX, (3.5)

то в дискретном варианте однопродуктовая динамическая модель примет вид

Xt = аХ(+ q AKt + iKt + С,, (3.6) откуда можно получить

AKt=-[(l-a)Xt-^Kt-Ctl Я

а в непрерывном варианте

^ = -[(-a)X-[iK-Cl dt q

В некоторых случаях используют упрощенные варианты од-нопродуктовой динамической модели.

Случай 1. Открытая однопродуктовая динамическая модель В.В. Леонтьева. Предполагают, что все валовые инвестиции идут на ввод в действие новых основных производственных фондов (основные фонды не изнашиваются). Считая, что прирост выпуска продукции &Х( = Х(+х — Х( пропорционален капитальным вложениям, т.е.

/, = уАХр (3.7)

из уравнений (3.1) и (3.2) с учетом выражений (3.5) и (3.7) получим однопродуктовую открытую динамическую модель В.В. Леонтьева:

Xt = aXt + yAXt + С,.

В непрерывном варианте однопродуктовая динамическая макромодель В.В. Леонтьева имеет вид

Х=аХ+^ + С. (3.8)

С математической точки зрения эта модель представляет линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка (см. разд. 1.5, при решении уравнений второго порядка первый порядок может рассматриваться как частный случай).

Случай 2. Замкнутая однопродуктовая модель В.В. Леонтьева. Предполагают, что непроизводственное потребление C(t) идет полностью на восстановление рабочей силы L(t). Тогда, введя норму потребления у(0> получим

С(/) = у(0 ДО. (3.9)

Далее если считать, что затраты труда пропорциональны выпуску продукции, то

L(t) = b(t) X(t)y (3.10)

где b(t) — норма трудоемкости.

Подставляя в формулу (3.8) соотношения (3.9) и (3.10), получим «замкнутую по потреблению» модель расширенного воспроизводства:

X (г) = a(t)X (t) + тКО ^ + y(t)b(t)X (г), at

которая описывается однородным дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными

f -PW«) = 0; (3-Ю') dt p(t) = [-a(t)-y(t)b(t)]^-Л(0

Тогда развитие экономики определяется решением уравнения (ЗЛО7):

X(t) = X0exp(jp(t)dt). о

Случай 3. Непроизводственное потребление является известной функцией времени. При этом закон развития экономики определяется из модели (3.8), которая представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:

^+PX(t)X(t) = f(t); dt

P(') = —^:[l-a(t)Y, f(t) = —$-C(t) 4(0 П(0

с решением

X (t) = ехр (j Px (t)dt)[j f(t) exp(-{ Px (t)dt)dt + X0 ].

0 0 0

Итак, выделение из конечного продукта ^накапливаемой части /приводит к рассмотрению динамических моделей и применению для их исследования в качестве математического инструментария теории дифференциальных (в непрерывном случае) и конечно-разностных (в многошаговом варианте) уравнений.