3.2 простейшая модель эндогенного экономического роста — ак-модель

3.2 простейшая модель эндогенного экономического роста — ак-модель

3.2.1

Базовые положения модели

Самый простой вариант получения постоянного роста экономики — введение в модель производственной функции, имеющей постоянную отдачу от факторов производства,—линейной производственной функции. В этом случае, при сохранении предположения справедливости тождества национальных счетов (однородности производственной функции первой степени), исключается предположение об убывании предельной производительности, которое является основным условием достижения неоклассической моделью устойчивого состояния.

Производственная функция имеет линейную зависимость как от объема капитала, так и от капиталовооруженности работника:

Y = АК, (3-3)

у = А

= Ак, (3-4)

где А — постоянный параметр производительности, А > 0.

Соответственно здесь, по сравнению со стандартной неоклассической моделью, элиминируется убывающая предельная производительность труда и условия Инады.

Предположение о зависимости объема выпуска экономики только от объема капитала здесь объясняется широким пониманием капитала, сюда включают и собственно физический капитал, и человеческий капитал, знания, общественную инфраструктуру и т.д. Если убывание предельной производительности возникает вследствие снижения отдачи от добавочной единицы одного фактора, при постоянстве других, при таком понимании отсутствие убывания объясняется с возрастанием всех факторов одновременно, в том числе и знаний (технического прогресса), которое делает возможным новую технологическую комбинацию большего объема факторов.

Отсутствие зависимости от количества труда, которое кажется странным и неправдоподобным, компенсируется включением в понятие «человеческий капитал». Труд одинаковой производительности таким образом заменяется трудом с меняющейся производственной отдачей.

Кроме того, широкое понимание капитала (включая человеческий капитал) позволяет объяснить распределение продукта, который здесь получает только капитал. Доля капитала в продукте а равна единице:

тркхК АхК ,„ .

а = — = . (3-5)

Y АК

Труд здесь получает вознаграждение в виде доли человеческого капитала в общем продукте капитала. Заработная плата, как и во многих моделях с человеческим капиталом, включает доход на человеческий капитал.

Как и в неоклассической модели, предполагается динамическое равновесие финансовых рынков, или равновесие валовых инвестиций и сбережений, которое в интенсивной форме имеет вид дифференциального уравнения:

k = sy-(b + n)k = sAk-(b + n)k, (3-6) где s — норма сбережений; 5 — норма амортизации; п — темп прироста населения.

Темп прироста капиталовооруженности в устойчивом состоянии (аналогично неоклассической модели) равен, при условии постоянства параметров модели, постоянной величине:

k

= sA-(8 + n). (3-7)

Л

Таким образом, постоянный темп прироста капиталовооруженности в устойчивом состоянии равен темпу прироста национального продукта на душу населения и темпу прироста подушевого потребления.

3.2.2

Равновесие модели с оптимизацией потребления

Общий ход решения здесь аналогичен неоклассической модели с оптимизацией потребления (модель Рамсея — Касса — Купманса). Предположим функцию полезности потребителя с постоянной эластичностью замещения:

и(с) = ^—, 0>О, 6*1, (3-8)

1 — о

где Esub = с = 1 / 0 = const — эластичность замещения.

Тогда межвременная функция полезности домашнего хозяйства на бесконечном временном интервале будет следующей:

U = ]e-p'e"'u(ct)dt, (3-9) о

где р — субъективная дисконтная ставка.

В качестве бюджетного ограничения можно использовать уравнение равновесия финансового рынка в интенсивной форме, так как оно соответствует бюджетному ограничению домашнего хозяйства:

k = y(k)-c-(8 + n)k. (3-10)

Решая задачу максимизации полезности домашнего хозяйства при заданном бюджетном ограничении стандартными методами динамической оптимизации (уравнение Эйлера, функция Гамильтона), получаем общее для задач данного класса условие динамической оптимизации потребления, так называемое условие Рамсея:

= -—U-5-p) = ^(r-p) = a(r-p). (3-11)

с иссс Є

Процентная ставка, из уравнения пользовательских издержек, равна предельному продукту капитала за вычетом нормы амортизации:

г = трк-Ъ. (3-12)

Предельный продукт капитала, полученный из производственной функции, является константой:

mpk = f'(k) А = const. (3-13)

Подставив предельный продукт капитала и норму амортизации вместо процентной ставки в уравнение динамической оптимизации, получаем устойчивый темп прироста капитала и переменных национального продукта:

g* = = o(A-d-p). (3-14)

с

Темп прироста всегда равен константе, модель находится на устойчивой траектории роста и не имеет переходной траектории.

Таким образом, мы рассмотрели возможность существования постоянного положительного темпа прироста подушевых показателей национального продукта в зависимости от поведенческого параметра р — субъективной дисконтной ставки, которая отражает субъективные предпочтения потребителей (иногда в качестве поведенческого параметра рассматривается эластичность замещения, но большинство исследований склоняется к тому, что это постоянная характеристика функции полезности). Рост, следовательно, является эндогенным во всех смыслах.

Положительный темп прироста достигается при соблюдении следующего условия:

А>д + р, (3-15)

когда отдача капитала превышает норму амортизации и субъективную дисконтную ставку, показывая предпочтение текущего потребления над будущим для домашнего хозяйства.

Коэффициент эластичности замещения функции полезности играет роль усиливающего коэффициента при положительной разнице (3-14).

3.2.3

Норма сбережений в модели

Норму сбережений в модели можно получить из равенства уравнений темпа прироста капиталовооруженности и темпа прироста потребления. После некоторых преобразований имеем:

sA = c[A-(8 + p)] + (8 + n), (3-16)

откуда

J=zJl (§ + P)l (5 + ")-gl (8 + ")-о(8 + Р) (3-17)

А А А

V /

Как видно из уравнения, высокая эластичность замещения и низкая ставка межвременных предпочтений повышают желание сберегать. Рост нормы сбережений положительно влияет на устойчивый темп прироста. Таким образом, модель решает отмеченное выше противоречие неоклассической модели: более высокие инвестиции и сбережения будут соответствовать более высокому постоянному росту.

Отдача капитала при разных значениях параметров может по-разному влиять на норму сбережений. Однако на устойчивый темп прироста она однозначно влияет положительно, являясь альтернативой норме сбережений при определении объема сбережений и инвестиций на душу населения.

3.2.4

Государственная политика в модели

Введем в модель государственные расходы на закупку товаров и услуг G и пропорциональную налоговую ставку т. Уравнение сбалансированного государственного бюджета будет следующим:

G = xY, (3-18)

или, на душу населения:

= ту. (3-19) L

Сформулированная выше задача максимизации будет, с учетом введенных изменений, выглядеть следующим образом:

max U = JV'V'h (с, )dt (3-20)

при ограничениях

k = y{k)-c-~--{b + n)k (3-21)

| = ту. (3-22)

Решение, аналогичное вышеприведенному (без государственной политики), дает следующий результат:

= а[(1-т)тр£-5-р].

с с

Это общее решение задачи динамической оптимизации с введением параметров государственной политики.

Для данного случая подставляем в уравнение значение предельного продукта капитала, полученное из производственной функции:

£* = = о[(1-т)Л-5-р]. (3-23)

Полученное выражение устойчивого темпа прироста национального продукта на душу населения теперь зависит еще и от институционального параметра х — пропорциональной ставки подоходного налога. На устойчивый темп прироста теперь будут влиять не только выбор и предпочтения потребителя, но и государство, устанавливая налоговые ставки и используя налоговый кредит.