Глава 9. анализ затрат на реализацию проекта

Глава 9. анализ затрат на реализацию проекта

Цели

Предположим, что ожидаемое время выполнения проекта нас не устраивает и мы хотели бы его уменьшить. Сокращение времени выполнения проекта, как правило, связано с использованием дополнительных ресурсов, таких, как увеличение количества рабочих, организация работы в сверхурочное время. Следовательно, при сокращении срока выполнения проекта увеличиваются затраты на его реализацию. В результате требуется искать компромисс между сокращением времени выполнения той или иной работы и экономией дополнительных затрат на проект. Для расчета минимальных затрат, необходимых для сокращения времени реализации проекта, может быть использована модель линейного программирования.

Для планирования затрат, составления графика расходования средств и осуществления контроля за этим расходованием может быть использован метод анализа затрат PERT/COST. Конечная цель применения метода PERT/COST состоит в том, чтобы затраты на реализуемый проект соответствовали принятой смете, Составление сметы расходов на реализацию проекта обычно предполагает выявление всех затрат на проект и дальнейшее их распределение во времени. На этапах выполнения проекта фактические затраты можно сравнить с планируемыми (или сметными). Если фактические затраты превышают планируемые, можно предпринять необходимые действия, направленные на то, чтобы привести фактическую сумму затрат на проект в соответствие с планом.

Применение метода минимизации затрат и метода PERT/COST позволяет получить ответы на следующие вопросы:

1. При каких минимальных затратах можно уменьшить время выполнения проекта до заданной величины?

2. На сколько следует сократить продолжительность времени выполнения каждой работы проекта?

3. Соответствуют ли фактические затраты на выполнение проекта сметным затратам?

4. Соответствуют ли фактические затраты запланированному сроку реализации проекта?

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:

• затраты на выполнение работы в нормальных условиях и в условиях максимального сокращения ее продолжительности;

• нормальную продолжительность работы;

• продолжительность работы при максимально возможном ее сокращении;

• величину сокращения времени выполнения работы и проекта в целом;

• затраты на сокращение времени выполнения проекта.

Модели

1. Минимизация затрат, необходимых для сокращения времени реализации проекта.

Обозначения:

(i, j) — работа проекта в соответствии с определениями, данными в главе 7;

ij — нормальная продолжительность работы (i,j) (продолжительность работы при детерминированном подходе — метод СРМ или ожидаемое время выполнения работы при стохастическом подходе — метод PERT);

 — продолжительность работы (i,j) при максимально возможном ее сокращении;

Мij = ij –  — величина максимально возможного сокращения продолжительности работы (i,j) за счет дополнительных ресурсов;

Сij — расчетные затраты на выполнение работы (i,j) при нормальной ее продолжительности;

 — расчетные затраты на выполнение работы (i,j) в условиях максимального сокращения ее продолжительности за счет дополнительных ресурсов;

Кij = ( – Сij)/Мij — удельные затраты на сокращение продолжительности работы (i,j) (на единицу времени).

Предположим, что любая дополнительная доля сокращаемого времени на выполнение работы потребует постоянной (неизменной во времени) доли дополнительных затрат. При таком предположении для минимизации затрат на сокращение времени реализации проекта можно использовать модель линейного программирования.

Для формулировки модели дополнительно введем следующие обозначения:

Р — множество работ проекта;

хi — время наступления события i (событие-узел отражает факт завершения всех работ, входящих в данный узел);

уij — величина сокращения времени работы (i, j);

i = 1 —номер начального события для сети, описывающей проект;

i = п —номер конечного события для сети, описывающей проект;

T0 — желательное время выполнения проекта.

При данных обозначениях модель линейного программирования имеет вид

Если т — число работ, п — число событий, то описанная модель имеет п + т переменных, т ограничений (2), т ограничений (3), п + т ограничений (5) и одно ограничение (4). Итого п + т переменных и 3т + n + 1 ограничение.

Если {xj*, уij*} — оптимальный план, полученный для модели (1)—(5), то уij* — время, на которое следует сократить продолжительность выполнения работы (i,j);  — минимальная сумма издержек, необходимая для сокращения времени выполнения проекта до T0.

2. Метод анализа затрат PERT/COST. Метод основан на построении области допустимых затрат, при которых проект может быть реализован за определенное время. В результате применения метода СРМ или метода PERT может быть получено наиболее раннее и наиболее позднее время начала каждой работы. Далее строятся два графика: график совокупных затрат при наиболее раннем времени начала работ и график совокупных затрат при наиболее позднем времени начала работ.

Если фактические затраты на выполнение проекта будут находиться внутри области, очерченной этими графиками, то проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критического пути. Если фактические затраты окажутся за пределами очерченной области, то продолжительность выполнения проекта увеличится.

Примеры

Пример 1. Минимизация затрат на сокращение времени реализации проекта.

Проект пусконаладки компьютерной системы состоит из восьми работ. В следующей таблице указаны взаимосвязь работ, нормальное время их выполнения и данные, характеризующие возможность сокращения продолжительности работ:

Определите минимальную продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ. Можно ли уменьшить продолжительность проекта при дополнительных затратах?

Вопросы:

1. Какова продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ?

2. Сколько работ в этом случае являются критическими?

3. Каковы затраты на выполнение проекта при нормальном времени выполнения работ?

4. С какими минимальными дополнительными затратами можно выполнить этот проект за 16 недель?

Решение. Найдем критический путь при нормальном времени выполнения работ. Используем для этого метод СРМ. Вводим в программу POMWIN исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ:

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Отсюда видно, что при нормальной продолжительности работ длина критического пути составляет 21 неделю. На критическом пути находятся работы В, D, Е, F, Н. Для того чтобы определить затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ, достаточно просуммировать затраты, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных. В результате получаем затраты 18 700 руб.

Для определения минимальных дополнительных издержек, необходимых для того, чтобы снизить продолжительность проекта до 16 недель, построим модель линейного программирования. Для этого на основании данных о непосредственно предшествующих работах построим графическое представление проекта (рис. 1).

Рис. 1

Используя исходные данные, определяем удельные (в единицу времени) затраты Кij на сокращение продолжительности работ. Получаем следующие результаты:

Окончание таблицы

Используя обозначения хi — время наступления события i, уij — величина сокращения времени работы (i,j), получаем следующую модель линейного программирования для определения минимальных издержек, необходимых для сокращения продолжительности проекта с 21 до 16 недель:

при условиях

Для решения этой задачи линейного программирования используем программу POMWIN.

В следующей таблице приведенная выше модель представлена в формате программы POMWIN:

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Итак, минимальные затраты, необходимые для того, чтобы сократить продолжительность проекта с 21 до 16 недель, составляют 2260 руб.

Продолжительность каждой из работ (1, 3), (4, 5), (5, 6) и (3, 6) сокращается на одну неделю. Продолжительность работы (3, 4) сокращается на две недели.

Ответы: 1. 21 неделя. 2. Пять работ. 3. 18 700 руб. 4. 2260 руб.

Пример 2. Контроль затрат на выполнение проекта.

Перечень работ проекта, время их выполнения и оценки затрат на выполнение работ отражены в следующей таблице:

Удельные затраты определены в предположении о том, что затраты производятся равномерно в течение срока выполнения работы.

Определите, в каком диапазоне могут меняться фактические затраты на выполнение проекта при условии, что проект будет выполнен за минимальное время.

Вопросы:

1. За какое минимальное время может быть выполнен проект?

2. При каком максимальном значении совокупных затрат, сделанных за первые 3 месяца реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?

3. При каком минимальном значении совокупных затрат, сделанных за первые 3 месяца реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?

4. При каком максимальном значении совокупных затрат, сделанных за 6 месяцев реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?

5. При каком минимальном значении совокупных затрат, сделанных за 6 месяцев реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?

Решение. Определим минимальное время выполнения проекта. Найдем критический путь, воспользовавшись методом СРМ. Введем в программу POMWIN информацию о предшествующих работах и времени их выполнения:

Результаты расчетов представлены в следующей таблице:

Ожидаемое время выполнения проекта равно 8 месяцам.

Определим динамику совокупных затрат для графика выполнения проекта с наиболее ранним началом всех работ:

Определим динамику совокупных затрат для графика выполнения проекта с наиболее поздним началом всех работ:

Рис. 2

На рис. 2 показаны два графика. Выше проходит график совокупных затрат при наиболее раннем времени начала работ, ниже — при наиболее позднем времени начала работ. Если фактические затраты на выполнение проекта будут находиться внутри очерченной области, то проект может быть выполнен за 8 месяцев. Если фактические затраты окажутся за пределами очерченной области, то продолжительность проекта увеличится.

Таким образом, менеджер может контролировать фактические затраты по проекту. Если сметные затраты не выполнены или допущен перерасход, необходимо осуществлять корректирующие воздействия, сдвигая время начала отдельных работ и (или) сокращая их продолжительность путем привлечения дополнительных ресурсов.

Ответы: 1. Восемь месяцев. 2. 43 тыс. руб. 3. 30 тыс. руб. 4. 77 тыс. руб. 5. 59 тыс. руб.

Вопросы

Вопрос 1. Для определения минимальных затрат, необходимых для выполнения проекта за фиксированное время, следует использовать:

1) метод СРМ;

2) метод PERT;

3) модель линейного программирования;

4) модель транспортного типа;

5) все вышеперечисленное.

Вопрос 2. Пусть в графе, описывающем проект, т работ и п событий (вершин сети). Число переменных в модели линейного программирования для определения минимальных затрат, необходимых для выполнения проекта за фиксированное время, равно:

1) т;

2) п;

3) т+ п;

4) т– п;

5) т • п.

Вопрос 3. Какую формулу следует использовать для определения величины удельных затрат Кij на сокращение продолжительности работы (i, j)?

Варианты ответов:

Вопрос 4. Какое из указанных далее соотношений является верным?

Варианты ответов:

1) совокупные затраты при наиболее позднем времени начала работ превышают совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ;

2) совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ превышают совокупные затраты при наиболее позднем времени начала работ;

3) совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ равны совокупным затратам при наиболее позднем времени начала работ;

4) совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ превышают совокупные затраты при наиболее позднем времени начала работ на величину сметной стоимости проекта;

5) совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ и совокупные затраты при наиболее позднем времени начала работ постоянны.

Вопрос 5. Для осуществления контроля за расходованием средств на выполнение проекта используется:

1) метод СРМ;

2) метод PERT;

3) модель линейного программирования;

4) все вышеперечисленное;

5) метод PERT/COST.

Задачи

Задача 1. Рассмотрите следующую сеть проекта с показателями продолжительности работ (в неделях) и информацией о затратах на сокращение продолжительности работ (в тыс. руб.) за счет привлечения дополнительных финансовых средств:

Найдите критический путь и затраты на реализацию проекта при нормальном времени выполнения всех работ.

Предположим, что руководство хотело бы завершить проект в 10-недельный срок. Постройте модель линейного программирования, которую можно было бы использовать для того, чтобы определить минимальные затраты на сокращение времени выполнения проекта.

Вопросы:

1. Какова продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ?

2. Каковы затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ?

3. Чему равны минимальные затраты на выполнение проекта в 10-недельный срок?

4. Для какого количества работ необходимо сократить время выполнения, чтобы завершить проект за 10 недель?

Задача 2. В следующей таблице представлена информация о продолжительности работ проекта (в месяцах) и затратах на их выполнение (в тыс. руб.):

Найдите критический путь и продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ.

Вопросы:

1. Какова продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ?

2. Каковы затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ?

3. Чему равны минимальные затраты на выполнение проекта за один год?

4. За какое минимальное время может быть выполнен проект?

Задача 3. Отдел ЭВМ экономического факультета МГУ разработал предложения по внедрению новой компьютерной системы для нужд администрации факультета. В предложения включен перечень работ, которые необходимо выполнить, чтобы ввести систему в действие. Соответствующая информация представлена в следующей таблице (время — в неделях, затраты — в тыс. руб.):

Вопросы:

1. Какова продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ?

2. Каковы затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ?

3. Чему равны минимальные затраты на выполнение проекта за 26 недель?

4. За какое минимальное время может быть выполнен проект?

Задача 4. Конструкторское бюро Московского часового завода (МЧЗ) разработало новый настольный радиобудильник. По мнению проектировщиков, запуск в серию нового продукта позволит расширить рынок сбыта и получить дополнительную прибыль.

Руководство МЧЗ решило изучить возможности реализации нового продукта. Результатом исследования должны стать рекомендации относительно действий, которые следует предпринять для организации производства и сбыта нового продукта.

Перечень работ, время, необходимое для их выполнения (в неделях), и затраты (в тыс. руб.) указаны в следующей таблице:

Определите критический путь для данного проекта, наиболее раннее и наиболее позднее время начала каждой работы. Определите динамику роста общих затрат на проект, основанную на данных о наиболее раннем и наиболее позднем времени начала работ.

Используйте полученные оценки сметных расходов для контроля за фактическим расходованием средств. Предполагается, что все работы финансируются пропорционально времени их выполнения.

Вопросы:

1. За какое минимальное время может быть выполнен проект?

2. Чему равно максимальное значение совокупных затрат на конец пятой недели, при котором проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критического пути?

3. Чему равно минимальное значение совокупных затрат на конец пятой недели, при котором проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критического пути?

4. Какова величина недостатка или перерасхода средств в конце пятой недели, если фактические затраты в этот момент составили 100 тыс. руб.?

5. Какова величина недостатка средств в конце десятой недели, если фактические затраты в этот момент составили 230 тыс. руб.?

Задача 5. Ниже представлена сеть проекта, а также данные о времени выполнения работ (в неделях) и затратах (в тыс. руб.):

Определите критический путь для данного проекта, наиболее раннее и наиболее позднее время начала каждой работы. Определите динамику роста общих затрат на проект, основанную на данных о наиболее раннем и наиболее позднем времени начала работ.

Используйте полученные оценки сметных расходов для контроля за фактическим расходованием средств. Предполагается, что все работы финансируются пропорционально времени их выполнения.

Вопросы:

1. За какое минимальное время может быть выполнен проект?

2. Чему равно максимальное значение совокупных затрат на конец четвертой недели, при котором проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критического пути?

3. Чему равно минимальное значение совокупных затрат на конец четвертой недели, при котором проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критического пути?

4. Какова величина недостатка или перерасхода средств в конце четвертой недели, если фактические затраты в этот момент составили 35 тыс. руб.?

5. Какова величина недостатка средств в конце восьмой недели, если фактические затраты в этот момент составили 90 тыс. руб.?

Ситуации

Ситуация 1. Компания «Космо».

В рамках подготовки старта космического корабля по программе совместных исследований с Национальным бюро аэронавтики (НБА) США российская компания «Космо» готовит к подписанию проект модернизации ракетного стартового комплекса на космодроме Байконур. Этот контракт предусматривает строительство центрального здания телеуправления (ЦЗТ). Финансирует проект американская сторона.

Первоначальный граф проекта строительства ЦЗТ приведен на рис. 3 (на схеме работы, лежащие на критическом пути, отмечены полужирной стрелкой).

Рис.3

Руководитель проекта менеджер компании «Космо» Владимир Алексеев определил время выполнения и сметные затраты для каждой работы проекта:

Оказалось, что критический путь для данного проекта составляют работы A, D и G. При нормальном времени выполнения всех работ проект может быть реализован за 12 недель. Сметная стоимость проекта в этом случае составляет 61 тыс. долл.

Заказчика работ предлагаемый компанией «Космо» срок не устраивает. Все работы необходимо завершить за 9 недель. При этом бюджет проекта не должен превысить 80 тыс. долл. Проведя дополнительные расчеты, Владимир Алексеев оценил минимальное время на выполнение каждой работы (в неделях) и затраты при минимальном времени выполнения (в тыс. долл.):

Используйте метод PERT/COST для анализа продолжительности проекта и затрат на его реализацию.

Задания

1. Определите, можно ли выполнить проект за 9 недель. Если да, то с какими минимальными затратами? Сколько критических путей будет в этом случае и какие работы будут критическими?

2. Определите, можно ли выполнить проект за 7 недель. Если да, то с какими минимальными затратами?

Ситуация 2. Строительная компания Хоупа.

Строительная компания Хоупа активно занимается подготовкой нового проекта строительства фабрики для корпорации SBPA. Пару лет назад президенту корпорации SBPA Эрику Кляйну понравился предварительный план проектирования и строительства фабрики, подготовленный Хоупом, и он решил отдать предпочтение его строительной компании.

Хоуп поручил начальнику проектного отдела Деврону Вильямсу провести сетевой анализ работ в рамках проекта с учетом предполагаемых издержек. Вильяме дал указание своим сотрудникам разделить проект строительства фабрики на отдельные работы и установить их взаимосвязь. Для каждой работы следовало определить нормальное время ее выполнения и соответствующие затраты. Требовалось также оценить минимальное время выполнения работы и соответствующие этому времени затраты.

Результаты, представленные сотрудниками отдела, приведены в таблице (время выполнения работ указано в неделях, затраты — в тыс. долл.):

Окончание таблицы

Результаты анализа взаимосвязи работ представлены Вильямсу в следующем докладе:

1. Начальная работа А — спроектировать фабрику.

2. После выполнения проектных изысканий следуют работы В — подготовить спецификацию машин и оборудования для строительных работ, С — организовать бригаду строителей и D — закупить стандартные блоки заводских конструкций.

3. После завершения работ В и С строительной бригаде необходимо выполнить работу Е — подготовить место для строительства здания фабрики. В то же время, пока ведется подготовка места для строительства, можно приступить к работам F— закупке фабричного оборудования и G — строительству фундамента фабрики.

4. После подготовки места для строительства необходимо выполнить работу H — подготовить зону парковки.

5. Работу I — возведение здания фабрики — можно выполнить после того, как будут закуплены стандартные блоки заводских конструкций, подготовлено место для строительства, закуплено фабричное оборудование и построен фундамент фабрики.

6. После завершения строительства здания фабрики и подготовки зоны парковки компания Хоупа может приступить к работе J — проведению испытания всех систем. Затем проводится уборка (работа К) и фабрика передается корпорации SBPA.

Корпорация SBPA крайне заинтересована в том, чтобы строительство фабрики было завершено как можно быстрее. По предложению Эрика Кляйна в контракт включен пункт, предусматривающий премию в 25 тыс. долл. за каждую неделю сокращения срока выполнения проекта по сравнению с годом. В то же время контрактом предусмотрен штраф в 25 тыс. долл. за каждую неделю превышения срока выполнения проекта по сравнению с годом.

После подписания контракта Хоуп озабочен тем, чтобы завершить проект как можно раньше. По его указанию расчетный отдел провел калькуляцию накладных расходов. Первый тип накладных расходов — обычные накладные расходы в размере 22,5\% от прямых затрат на выполнение работ. Накладные расходы второго типа зависят от продолжительности проекта в целом. Эти накладные расходы увеличиваются на 1500 долл. каждую неделю. Например, сокращение продолжительности проекта на 10 недель означает сокращение накладных расходов второго типа на 15 тыс. долл.

Прибыль строительной компании оценивается в размере 10\% от стоимости контракта. В стоимость контракта включаются прямые затраты на выполнение работ, премиальные и штрафные санкции и накладные расходы двух типов.

Задания

1. Нарисуйте сетевой график проекта, найдите критический путь и общую стоимость контракта при нормальной продолжительности работ.

2. Определите продолжительность выполнения проекта, при которой прибыль строительной компании оказывается максимальной. Сроки выполнения каких работ следует сократить по сравнению с нормальными?

3. Ответьте на вопросы предыдущего пункта, если при определении стоимости контракта не учитываются накладные расходы второго типа.

4. Определите, за какое минимальное время можно выполнить проект.

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—3, 2 — 3, 3 — 1, 4 — 2, 5 — 5.

Задача 1. Решение.

Найдем критический путь при нормальном времени выполнения работ. Используем для этого метод СРМ.

Введем в программу POMWIN исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ:

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Отсюда видно, что при нормальной продолжительности работ длина критического пути составляет 14 недель. На критическом пути находятся работы А, С,Е.

Для того чтобы определить затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ, достаточно просуммировать затраты, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных, — в результате получаем 8400 тыс. руб.

Чтобы определить минимальные дополнительные издержки на сокращение продолжительности проекта до 10 недель, построим модель линейного программирования. Для этого на основании данных о непосредственно предшествующих работах построим графическое представление проекта (рис. 4).

Рис. 4

Используя исходные данные, определяем удельные затраты Кij на сокращение продолжительности работ. Получаем следующие результаты:

Используя обозначения xi — время наступления события i; уij — величина сокращения времени работы (i, j), получаем следующую модель линейного программирования для определения минимальных издержек на сокращение продолжительности проекта с 14 до 10 недель:

при условиях

Для решения этой задачи используем программу POMWIN:

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Итак, минимальные затраты на сокращение продолжительности проекта с 14 до 10 недель составляют 2200 тыс. руб. Продолжительность работ (2, 4) и (4, 6) сокращается на 2 недели. Продолжительность работы (3, 4) сокращается па неделю.

Ответы: 1. 14 недель. 2. 8400 тыс. руб. 3. 6200 тыс. руб. 4. Для трех работ.

Задача 2. Решение.

Найдем критический путь при нормальном времени выполнения работ. Используем для этого метод СРМ.

Введем в программу POMWIN исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ:

Окончание таблицы

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Отсюда видно, что при нормальной продолжительности работ длина критического пути составляет 15 месяцев. На критическом пути находятся работы А, D, С. Для того чтобы определить затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ, достаточно просуммировать затраты, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных, — в результате получаем 345 тыс. руб.

Чтобы определить минимальные дополнительные издержки на сокращение продолжительности проекта до 12 месяцев, построим модель линейного программирования. Для этого на основании данных о непосредственно предшествующих работах построим графическое представление проекта (рис. 5).

Рис.5

Используя исходные данные, определяем удельные затраты Кij на сокращение продолжительности работ. Получаем следующие результаты:

Используя обозначения хi — время наступления события i; уij — величина сокращения времени работы (i,j), получаем следующую модель линейного программирования для определения минимальных издержек на сокращение продолжительности проекта с 15 до 12 месяцев:

при условиях

Для решения этой задачи используем программу POMWIN:

Окончание таблицы

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Итак, минимальные затраты, необходимые для того, чтобы сократить продолжительность проекта с 15 до 12 месяцев, составляют 26 тыс. руб.

Продолжительность работы (1,2) сокращается на месяц.

Продолжительность работы (4, 5) сокращается на 2 месяца.

Определим, за какое минимальное время может быть выполнен проект

Для этого используем следующую модель линейного программирования:

при условиях

Для решения этой задачи используем программу POMWIN:

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Следовательно, минимальная продолжительность проекта равна 9 месяцам. Для того чтобы сократить продолжительность проекта до 9 месяцев, продолжительность работ (1, 2), (2, 4) и (4, 5) следует сократить на 2 месяца, работы (1, 3) — на 3, а работы (2, 3) — на месяц.

Ответы: 1. 15 месяцев. 2. 345 тыс. руб. 3. 319 тыс. руб. 4. За девять месяцев.

Задача 3. Решение.

Найдем критический путь при нормальном времени выполнения работ. Используем для этого метод СРМ.

Введем в программу POMWIN исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ:

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Отсюда видно, что при нормальной продолжительности работ длина критического пути составляет 31 неделю. На критическом пути находятся работы А, В, С, F.

Для того чтобы определить затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ, достаточно просуммировать затраты, указанные в шестом столбце таблицы исходных данных, — в результате получаем 400 тыс. руб.

Чтобы определить минимальные дополнительные издержки на сокращение продолжительности проекта до 26 недель, построим модель линейного программирования. Для этого на основании данных о непосредственно предшествующих работах построим графическое представление проекта (рис. 6).

Рис. 6

Используя исходные данные, определяем удельные затраты Кij на сокращение продолжительности работ. Получаем следующие результаты:

Используя обозначения хi — время наступления события i; yij — величина сокращения времени работы (i,j), получаем следующую модель линейного программирования для определения минимальных издержек на сокращение продолжительности проекта с 31 до 26 недель:

при условиях

Для решения этой задачи используем программу POMWIN:

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Итак, минимальные затраты на сокращение продолжительности проекта с 31 до 26 недель составляют 102 тыс. руб. Продолжительность работ (1, 2) и (2, 4) сокращается на 2 недели, работ (4, 5), (2, 3) и (3, 5) — на неделю.

Определим, за какое минимальное время может быть выполнен проект. Для этого используем следующую модель линейного программирования:

при условиях

Для решения этой задачи используем программу POMWIN:

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Окончание таблицы

Следовательно, минимальная продолжительность проекта равна 25 неделям. Для того чтобы сократить продолжительность проекта с 31 до 25 недель, продолжительность работ (1, 2), (2, 4), (4, 5) и (3, 5) следует сократить на 2 недели, работы (2, 3) — на неделю.

Ответы: 1.31 неделя. 2. 400 тыс. руб. 3. 502 тыс. руб. 4. За 25 недель.

Задача 4. Решение.

Определим минимальное время выполнения проекта. Найдем критический путь, воспользовавшись методом СРМ.

Введем в программу POMWIN информацию о предшествующих работах и времени их выполнения:

Результаты расчетов представлены в следующей таблице:

Ожидаемое время выполнения проекта — 15 недель.

Суммируя затраты на выполнение всех работ проекта, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных, получаем 313 тыс. руб.:

Определим удельные затраты на выполнение работ:

Окончание таблицы

Определим динамику роста совокупных затрат для наиболее раннего времени начала всех работ:

Определим динамику роста совокупных затрат для наиболее позднего времени начала всех работ:

Проведем анализ фактических затрат.

Если в конце пятой недели фактические затраты будут находиться в интервале от 90 тыс. до 106 тыс. руб., то проект может быть выполнен за 15 недель. Фактические затраты на конец пятой недели составляют 100 тыс. руб. и удовлетворяют этому условию. Недостатка или перерасхода средств на этот момент времени нет.

Если в конце десятой недели фактические затраты будут находиться в интервале от 234 тыс. до 257 тыс. руб., то проект может быть выполнен за 15 недель. Фактические затраты на конец десятой недели составляют 230 тыс. руб. Это означает, что недостаток средств на конец десятой недели составляет 4 тыс. руб. и время выполнения проекта может возрасти.

Ответы: 1. 15 недель. 2. 106 тыс. руб. 3. 90 тыс. руб. 4. Недостатка или перерасхода средств в конце пятой недели нет. 5. 4 тыс. руб.

Задача 5. Решение.

Определим минимальное время выполнения проекта. Найдем критический путь, воспользовавшись методом СРМ.

Введем в программу POMWIN информацию о проекте, содержащуюся в первом, втором и третьем столбцах таблицы исходных данных.

Результаты расчетов представлены в следующей таблице:

Ожидаемое время выполнения проекта — 14 недель. Суммируя затраты на выполнение всех работ проекта, получаем 124 тыс. руб.

Определим удельные затраты на выполнение работ:

Окончание таблицы

Определим динамику роста совокупных затрат для наиболее раннего времени начала всех работ:

Определим динамику роста совокупных затрат для наиболее позднего времени начала всех работ:

Проведем анализ фактических затрат.

Если в конце четвертой недели фактические затраты будут находиться в интервале от 27 тыс. до 41 тыс. руб., то проект может быть выполнен за 14 недель. Фактические затраты на конец четвертой недели составляют 35 тыс. руб. и удовлетворяют этому условию. Недостатка или перерасхода средств на этот момент времени нет.

Для того чтобы проект был выполнен за 14 недель, фактические затраты в конце восьмой недели должны равняться 93 тыс. руб. Так как они равны 90 тыс. руб., то на конец восьмой недели имеет место недостаток средств 3 тыс. руб. и время выполнения проекта может возрасти.

Ответы: 1.14 недель. 2. 41 тыс. руб. 3. 27 тыс. руб. 4. Недостатка или перерасхода средств в конце четвертой недели нет. 5. 3 тыс. руб.