Глава 5. транспортная задача

Глава 5. транспортная задача: Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения, Афанасьев Михаил Юрьевич, 2003 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта и содержит учебные материалы и методику решения широкого спектра экономических задач.

Глава 5. транспортная задача

Цели

В данной главе рассматривается задача транспортировки продукта, который в определенных количествах предлагается различными производителями. Известны потребности нескольких потребителей в этом продукте. Требуется определить, от каких производителей и в каких объемах должны получать продукт потребители. Поставки должны осуществляться таким образом, чтобы совокупные издержки на транспортировку продукта были минимальными.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь составлять и использовать для экономического анализа:

• замкнутую и открытую транспортные задачи;

• транспортную задачу с запретами;

• транспортную задачу с фиксированными перевозками;

• транспортную задачу с ограничениями на пропускную способность;

• транспортную задачу с фиксированными доплатами;

• транспортную таблицу.

Модели

Обозначения:

аi — величина предложения продукта в пункте i (i = 1, ..., n);

bj — величина спроса на продукт в пункте j (j = 1,..., т);

cij — затраты на транспортировку единицы продукта из пункта i в пункт j;

xij — количество продукта, перевозимого из пункта i в пункт j.

Модель транспортной задачи:

Здесь (1) — целевая функция (минимум затрат на транспортировку продукта);

(2) — ограничения по величине предложения в каждом пункте производства;

(3) — ограничения по величине спроса в каждом пункте потребления;

(4) — условия неотрицательности объемов перевозок.

1. Замкнутая транспортная задача. Общее предложение равно общему спросу:

Это необходимое и достаточное условие существования допустимого плана задачи (1)—(4).

2. Открытая транспортная задача.

а) — излишек продукта

Способ сведения к замкнутой задаче. Пусть bm+1 — величина избытка продукции, т.е. штраф за единицу продукта, не реализованного в пункте i; уi — количество продукта, не реализованного в пункте i.

Замкнутая транспортная задача имеет вид

б) — дефицит продукта.

Способ сведения к замкнутой задаче. Пусть аn+1 — величина дефицита продукции, т.е. штраф за единицу продукта, недопоставленного в пункт j; уj — количество продукта, недопоставленного в пункту.

Замкнутая транспортная задача имеет вид

3. Транспортная задача с запретами. Пусть Е — множество пар индексов (ij), таких, что из пункта i в пункт j допускается транспортировка продукта. Между любыми другими двумя пунктами транспортировка не допускается.

Пусть М— большое число, например

Тогда

В оптимальном плане { } транспортной задачи при ограничениях (2)—(4) xij = 0, если (i,j) Ï Е.

4. Транспортная задача с фиксированными перевозками. Если объем перевозок между пунктами i и j задан, то в задаче (1)—(4) вводится дополнительное ограничение: xij = vij, где vij — заданный объем перевозок.

5. Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность. Если объем перевозок из пункта i в пункт j ограничен величиной wij, то в задаче (1)—(4) вводится дополнительное ограничение: xij £ wij.

6. Транспортная задача с фиксированными доплатами. Предположим, что в открытой транспортной задаче имеет место дефицит продукта и для его устранения в пунктах i = п + 1, ..., k возможно создание новых мощностей di.

Пусть переменные zi = 1, если в пункте i (i = п + 1, ..., k) вводятся мощности di и zi = 0, если в пункте i мощности не вводятся. Издержки на ввод мощностей d, в пункте i (i = n + 1, ..., k) составляют иi.

С учетом возможности создания новых мощностей транспортная задача может быть записана в следующем виде:

Здесь (5) — целевая функция (минимум затрат на транспортировку и ввод мощностей);

(6) — ограничения по величине предложения в каждом существующем пункте производства;

(7) — ограничения по величине предложения в каждом новом пункте производства;

(8) — ограничения по величине спроса в каждом пункте потребления;

(9) — условия неотрицательности объемов перевозок.

Помимо непрерывных переменных xij в модель включены булевы переменные zi,. Задача (5)—(9) является задачей линейного программирования со «смешанными» переменными.

Все приведенные модели описывают транспортную задачу в виде задачи линейного программирования. В такой форме она может быть решена стандартными средствами линейного программирования, например симплекс-методом.

Для решения транспортной задачи могут быть использованы также и менее трудоемкие (по объему вычислений) алгоритмы, например метод потенциалов.

Большинство специальных алгоритмов решения транспортной задачи использует исходную информацию в форме транспортной таблицы:

Оптимальный план перевозок имеет вид

Примеры

Пример 1. Определение плана перевозок.

Компания, занимающаяся добычей железной руды, имеет четыре карьера. Производительность карьеров соответственно 170, 130, 190 и 200 тыс. т ежемесячно. Железная руда направляется на три принадлежащие этой компании обогатительные фабрики, мощности которых соответственно 250, 150 и 270 тыс. т в месяц.

Транспортные затраты (в тыс. руб.) на перевозку 1 тыс. т руды с карьеров на фабрики указаны в следующей таблице:

Определите план перевозок железной руды на обогатительные фабрики, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.

Вопросы:

1. Сколько руды следует перевозить с карьера 1 на обогатительную фабрику 2?

2. Сколько руды следует перевозить с карьера 4 на обогатительную фабрику 1?

3. Какой объем мощностей по добыче руды окажется неиспользованным?

4. Каковы минимальные совокупные транспортные издержки?

Решение. Транспортная таблица имеет следующий вид:

Ниже приведены результаты расчетов — объемы перевозок и остаток невывезенной руды (в тыс. т):

В следующей таблице до косой черты указаны объемы перевозок, после черты — соответствующие издержки:

Минимальные совокупные издержки составляют 2710 тыс. руб.

Ответы: 1.10 тыс. т. 2. 60 тыс. т.

3. 20 тыс. т. 4. 2710 тыс. руб.

Пример 2. Задача агрегированного планирования.

Компания «Родник» производит и реализует в России концентрат для приготовления фруктового напитка «Солнышко». Производство осуществляется на заводе в Самаре. Отдел сбыта компании «Родник» заключил договоры на поставку концентрата в следующем объеме: апрель — 55 т, май — 70 т, июнь — 75 т. При работе в две смены на собственном оборудовании компания может производить в месяц до 50 т концентрата. Если использовать сверхурочное время, можно увеличить объем производства на 5 т в месяц. В апреле начальный запас концентрата на складе составит 10 т.

Нетрудно видеть, что даже при использовании сверхурочного времени и складских запасов концентрата выполнить договоры не удастся. Поэтому в целях выполнения договорных обязательств принято решение арендовать оборудование акционерного общества «Волжанка». За счет аренды появляется возможность увеличить производство концентрата на 12 т в апреле, на 12 т в мае и на 10 т в июне.

Известно, что производство 1 т концентрата в регулярном режиме двухсменной работы оборудования обходится в 60 тыс. руб. При использовании сверхурочного времени издержки увеличиваются на 20 тыс. руб. за тонну.

Производство 1 т концентрата на арендованном оборудовании обходится в 90 тыс. руб. Издержки хранения 1 т концентрата в течение месяца — 1 тыс. руб.

Договоры предусматривают штрафные санкции в случае несвоевременной поставки концентрата. При задержке поставок на один месяц компания должна будет заплатить штраф в размере 3 тыс. руб. за тонну.

Составьте план использования собственных и арендуемых мощностей для компании «Родник» на каждый месяц второго квартала.

Вопросы:

1. Чему равно значение коэффициента транспортной таблицы, соответствующего регулярному использованию собственных мощностей компании в апреле для удовлетворения спроса на май?

2. Чему равно значение коэффициента транспортной таблицы, соответствующего регулярному использованию собственных мощностей компании в мае для удовлетворения спроса на апрель?

3. При каких минимальных издержках можно выполнить заключенные на второй квартал договоры?

4. Какое количество концентрата следует производить в апреле на арендуемом оборудовании?

5. Какой размер штрафных санкций за несвоевременную поставку концентрата предусмотрен планом?

6. Какая величина запаса концентрата на начало июня предусмотрена планом?

7. Чему равны издержки выполнения договоров на июнь?

Решение. Для составления плана используем модель транспортной задачи. Транспортная таблица в этом случае имеет следующий вид:

Например, значение 1 коэффициента в первой строке транспортной таблицы (при использовании начального запаса для удовлетворения спроса в мае) показывает, что издержки хранения 1 т концентрата в течение месяца (апрель) составят 1 тыс. руб.

Значение 2 коэффициента в первой строке (при использовании начального запаса для удовлетворения спроса в июне) показывает, что издержки хранения 1 т концентрата в течение двух месяцев (апрель, май) составят 2 тыс. руб.

Значение 60 коэффициента во второй строке матрицы (при регулярном использовании собственных мощностей в апреле для удовлетворения спроса в апреле) соответствует производственным издержкам — 60 тыс. руб./т.

Значение 66 коэффициента в восьмой строке матрицы (при регулярном использовании собственных мощностей в июне для выполнения договоров, заключенных на апрель) превышает производственные издержки (60 тыс. руб./т) на величину штрафных санкций (6 тыс. руб./т) за несвоевременную (с опозданием на два месяца) поставку каждой тонны концентрата.

Используя приведенную выше транспортную таблицу, получаем следующее решение задачи:

В соответствии с этим решением из 50 т концентрата, произведенного на регулярных мощностях в апреле, 45 т следует использовать при выполнении договоров, заключенных на апрель, 5т— при выполнении договоров, заключенных на май.

В апреле на арендуемых мощностях следует произвести 3 т концентрата. При этом резерв мощности составит 9 т.

В мае арендуемые мощности следует использовать полностью (12 т). При этом 2 т из этих 12 следует использовать для выполнения договоров, заключенных на май, а 10 т — для выполнения договоров, заключенных на июнь.

В следующей таблице минимальные совокупные издержки (12 473 тыс. руб.), соответствующие оптимальному плану использования мощностей, специфицированы по различным статьям расходов:

Окончание таблицы

При использовании регулярных мощностей удельные производственные издержки составляют 60 тыс. руб./т.

В случае регулярного использования собственных мощностей в апреле для выполнения договоров, заключенных на май, значение коэффициента транспортной таблицы превышает производственные издержки (60 тыс. руб./т) на величину удельных затрат на хранение концентрата (1 тыс. руб./т). Значение коэффициента равно 61 тыс. руб./т.

В случае регулярного использования собственных мощностей в мае для выполнения договоров, заключенных на апрель, значение коэффициента транспортной таблицы превышает производственные издержки (60 тыс. руб./т) на величину штрафных санкций (3 тыс. руб./т) за несвоевременную (с опозданием на один месяц) поставку каждой тонны концентрата. Значение коэффициента равно 63 тыс. руб./т.

Ответы: 1. 61 тыс. руб./т. 2. 63 тыс. руб./т. 3. 12 473 тыс. руб. 4. 3 т. 5. 0 руб. 6. 10 т. 7. 5210 тыс. руб.

Вопросы

Вопрос 1. Транспортная задача является частным случаем задачи:

1) линейного программирования;

2) регрессионной;

3) статистической;

4) имитационной;

5)о назначениях.

Вопрос 2. Рассматривается открытая транспортная задача, в которой суммарные запасы M поставщиков больше, чем суммарные потребности N потребителей. На сколько увеличится число переменных задачи после приведения ее к замкнутому виду?

Варианты ответов:

2) на N; 2) на М; 3)на N+M; 4) на N × М; 5) останется без изменения.

Вопрос 3. Рассматривается транспортная задача, сформулированная как задача линейного программирования. Объемы перевозок измеряются в тоннах, значение целевой функции — в рублях. В каких единицах измеряется значение коэффициента целевой функции?

Варианты ответов:

1) руб.; 2) руб./т; 3) т/руб.; 4) т; 5) безразмерная величина.

Вопрос 4. Рассматривается открытая транспортная задача, в которой суммарные запасы M поставщиков меньше, чем суммарные потребности N потребителей. На сколько увеличится число переменных задачи после приведения ее к замкнутому виду?

Варианты ответов:

1) на N; 2)на М; 3) на N+M; 4) на N × М; 5) останется без изменения.

Вопрос 5. В открытой транспортной задаче:

1) величина совокупного предложения больше величины совокупного спроса;

2) величина совокупного предложения меньше величины совокупного спроса;

3) величина совокупного предложения равна величине совокупного спроса;

4) величина совокупного предложения не равна величине совокупного спроса;

5) ограничения сформулированы в виде неравенств.

Задачи

Задача 1. Фирма по прокату автомобилей «Золотое кольцо России» собирает заявки на аренду во всех городах центра России. Клиент имеет возможность получить автомобиль в любом удобном для него населенном пункте и оставить его в любом месте, где он заканчивает путешествие, в том числе и в своем родном городе. Работники фирмы забирают оставленные автомобили и перегоняют их для передачи новым клиентам.

Сейчас 4 автомобиля компании оставлены в Клину, 3 — в Ростове Великом, 6—в Ярославле и 1 — в Серпухове.

Имеются заказы на 5 автомобилей во Владимире, на 3 автомобиля в Санкт-Петербурге и на 6 автомобилей в Москве.

Расстояния между городами (в км) приведены в следующей таблице:

Составьте план, по которому следует перегонять автомобили новым клиентам. Ориентируйтесь на минимизацию расстояния, которое пройдут все перегоняемые автомобили.

Вопросы:

1. Чему равно минимальное расстояние, которое должны пройти все автомобили?

2. Сколько автомобилей следует перегнать в Москву из Ярославля?

3. На сколько увеличится минимальное расстояние, которое должны пройти все автомобили, если дополнительно стало известно, что еще один автомобиль оставлен в Серпухове и еще один клиент появился в Москве?

Задача 2. Компания «Уют» производит пластмассовую мебель для отдыха на открытом воздухе. Основной продукт компании — стулья. Производство находится в Можайске, Наро-Фоминске и Туле. Сейчас на складе в Можайске находятся 7250 стульев, в Наро-Фоминске — 10 150, в Туле — 4350.

Основными потребителями продукции компании «Уют» являются фирмы по оптовой продаже в Москве, Санкт-Петербурге, Минске и Воронеже. Сейчас эти фирмы готовы закупить соответственно 8800, 5800, 2900 и 2100 стульев.

Удельные затраты на перевозку стульев (в руб./шт.) указаны в следующей таблице:

Помогите компании «Уют» составить план транспортировки стульев потребителям.

Вопросы:

1. Чему равны минимальные издержки на перевозку всех стульев?

2. Сколько стульев компания должна перевозить в Москву из Можайска?

3. Какое количество стульев останется на складе в Туле?

4. Стало известно, что для сбыта в Москве не годятся стулья, сделанные в Туле, а для сбыта в Санкт-Петербурге — стулья из Наро-Фоминска. Не подходит цвет стульев. Составьте новый план перевозок с учетом этих условий. На сколько рублей увеличатся при этом совокупные транспортные издержки?

Задача 3. Компания, занимающаяся добычей железной руды, имеет четыре карьера С1 ¸ С4 (см. пример 1). Производительность карьеров соответственно 170, 150, 190 и 200 тыс. т ежемесячно. Железная руда направляется на три принадлежащие этой компании обогатительные фабрики S1 ¸ S3, мощности которых соответственно 250, 150 и 270 тыс. т в месяц.

Транспортные затраты (в тыс. руб.) на перевозку 1 тыс. т руды с карьеров на фабрики указаны в следующей таблице:

Вопросы:

1. Сколько руды следует перевозить с карьера С1 на обогатительную фабрику S2?

2. Сколько руды следует перевозить с карьера С4 на обогатительную фабрику S3?

3. Какова общая минимальная стоимость перевозок?

4. Стало известно, что поставки с карьера С1 на обогатительную фабрику S2 нужно ограничить объемом 50 тыс. т. К тому же из-за плохого состояния дороги перевозки с карьера С4 на обогатительную фабрику S3 невозможны. Определите новый план перевозок, учитывающий эти условия. На сколько возрастет стоимость перевозок?

5. Сколько руды следует перевозить с карьера С4 на обогатительную фабрику S2 с учетом дополнительной информации?

Задача 4. Фирма «Мойдодыр» оценила спрос на производимый ею лосьон для каждого из четырех следующих месяцев: 100 ящиков в июне, 140 — в июле, 170 — в августе и 90 — в сентябре. Без использования сверхурочного времени фирма может производить до 125 ящиков лосьона в месяц. В сверхурочное время может быть произведено еще 25 ящиков в месяц, но производство каждого ящика обойдется при этом на 1 тыс. руб. дороже. Хранение одного ящика в течение месяца обходится в 100 руб.

Используя модель транспортной задачи, определите, сколько ящиков лосьона следует производить в каждый из этих месяцев, чтобы удовлетворить спрос с минимальными совокупными затратами.

Вопросы:

1. Сколько ящиков лосьона следует произвести в июне?

2. Сколько часов сверхурочного времени следует использовать в сентябре?

Задача 5. Фирма «Время — вперед» хочет разработать план сборки компьютеров. Прогноз спроса на компьютеры для каждого квартала следующего года показан в таблице:

При работе в одну смену фирма может каждый квартал собирать 1200 компьютеров. Издержки по сборке одного компьютера составляют 10 тыс. руб. Если ввести вторую смену, то ежеквартально можно собирать еще 800 компьютеров. Однако сборка каждого компьютера во вторую смену обходится дороже — 11 тыс. руб. Компьютер может быть произведен в одном квартале, а сбыт — в любом из последующих кварталов. В этом случае хранение каждого компьютера обходится в 500 руб. за квартал.

Составьте план производства, используя модель транспортной задачи.

Вопросы:

1. Сколько компьютеров следует собрать в первом квартале, чтобы удовлетворить спрос с минимальными совокупными затратами?

2. На сколько процентов следует использовать мощности второй смены в первом квартале?

3. Сколько компьютеров следует собрать во втором квартале?

4. Сколько компьютеров следует собрать во втором квартале во вторую смену для сбыта в третьем квартале?

5. Каковы минимальные издержки?

Ситуации

Ситуация 1. «Фургоны под жилье».

Фирма «Фургоны под жилье», возглавляемая Тони Риццо, занимается переделкой стандартных фургонов в бунгало для жилья. В зависимости от объема работы такая переделка обходится заказчику от 1000 до 5000 долл. За последние четыре года Тони Риццо расширил свое небольшое дело в Гери, Индиане и открыл филиалы в Чикаго, Милуоки, Миннеаполисе и Детройте.

Нововведения — основной фактор, позволивший добиться успеха в превращении маленькой фирмы в процветающее предприятие. Тони удалось придумать и создать множество приспособлений, пользующихся повышенным спросом у покупателей фургонов под жилье, например душевую кабину, сконструированную Тони через шесть месяцев после того, как была создана фирма. Эта кабина занимает вдвое меньше места, чем обычная, и может быть размещена не только в фургонах любого типа, но и в других местах рядом с фургоном. Душевая кабина сделана из фибергласа и снабжена вешалкой для полотенец, встроенным душем и держателем для шампуня. На производство каждой душевой кабины уходит два галлона фибергласа и три часа рабочего времени.

Большинство душевых кабин производилось в Гери, где была основана фирма. Фабрика в Гери может выпускать до 300 душевых кабин в месяц, но этого количества всегда было недостаточно. Все четыре магазина фирмы выражали недовольство недостаточным объемом поставок душевых кабин. К тому же Тони отдавал трем магазинам преимущество в снабжении по сравнению с четвертым в Миннеаполисе, так как последний находился дальше всех от Гери. Это приводило в бешенство менеджера фирмы в Миннеаполисе, и после длительных дискуссий Тони решил открыть другую фабрику по производству душевых кабин в Форт Вайне. Эта фабрика способна производить 150 душевых кабин в месяц. Новая фабрика в Форт Вайне все же не смогла полностью обеспечить спрос на душевые кабины. Тони знал, что в ближайшие годы спрос на них может только увеличиваться. После консультаций со своим адвокатом и банкиром Тони принял решение как можно скорее открыть две новые фабрики. Каждая из них должна иметь такую же производительность, как фабрика в Форт Вайне. Был проведен предварительный анализ возможных мест расположения новых фабрик, и Тони решил, что две новые фабрики могут быть размещены в одном из трех мест: Детройте (штат Мичиган), Рокфорде (штат Иллинойс) или Мэдисоне (штат Висконсин). Тони знал, что выбрать место для расположения новых фабрик непросто. Важно учесть транспортные издержки для каждого возможного варианта размещения. Магазином в Чикаго управлял Билл Барч. Этот фирменный магазин был первым филиалом, открытым Тони, и его возможности превосходили возможности других магазинов. Фабрика в

Гери поставляла туда 200 душевых кабин в месяц, в то время как Билл знал, что может продать 300 кабин. Издержки на транспортировку одной душевой кабины из Гери в Чикаго составляют 10 долл., и, несмотря на то что удельные транспортные издержки от Форт Вайна вдвое выше, Билл всегда хотел добиться от Тони поставки оттуда 50 кабин. Две новые фабрики могли бы обеспечить Биллу поставку тех 100 кабин, которых ему недоставало. Транспортные издержки, разумеется, будут зависеть от того, где Тони откроет фабрики. Для Детройта удельные транспортные издержки составят 30 долл., для Рокфорда — 5 долл., а для Мэдисона — 10 долл.

Вилма Джексон, менеджер фирменного магазина в Милуоки, выражала недовольство недостаточным объемом поставок душевых кабин. В настоящее время спрос составлял 100 кабин и лишь наполовину удовлетворялся поставками с фабрики Форт Вайна. Она не могла понять, почему Тони не присылает ей все 100 кабин из Гери. Удельные транспортные издержки для Гери составляют 20 долл., в то время как для Форт Вайна — 30 долл. Вилма надеялась, что одним из мест размещения новой фабрики станет Мэдисон. Тогда она сможет получать необходимое количество душевых кабин при транспортных издержках всего 5 долл. Если не Мэдисон, то новая фабрика в Рокфорде тоже может удовлетворять потребности ее магазина. Правда, транспортные издержки в этом случае вдвое выше, чем для Мэдисона. Вилма не питает надежды на поставки из Детройта. Если новую фабрику откроют там, то транспортные издержки составят 40 долл.

Управляющим фирменным магазином в Миннеаполисе был Том Пански. Он получал 100 душевых кабин из Гери. Спрос составлял 150 шт. Том имел наибольшие удельные транспортные издержки. Для Гери они составляли 40 долл. Если бы душевые кабины транспортировались из Форт Вайна, удельные транспортные издержки были бы на 10 долл. больше. Том надеялся, что в Детройте новой фабрики не будет, так как в этом случае транспортные издержки составили бы 60 долл. за одну кабину. Для Рокфорда и Мэдисона они будут 30 и 35 долл. соответственно.

Положение магазина в Детройте было таким же, как в Милуоки, только спрос удовлетворялся всего наполовину. Все 100 душевых кабин, которые получает Детройт, поступают из Форт Вайна. Для Форт Вайна транспортные издержки составляли 15 долл. за штуку, а для Гери — 25 долл. Дик Лопес, менеджер магазина в Детройте, высоко оценивал шансы строительства новой фабрики в Детройте. Она размещалась бы в пригороде, и удельные транспортные издержки составили бы всего 2 долл. Он мог бы получать 150 душевых кабин с новой фабрики в Детройте, а оставшиеся 50 кабин — из Форт Вайна. Два других места размещения фабрики представлялись ему неудачными. Рокфорд имел удельные транспортные издержки 35 долл., а Мэдисон — 40 долл.

Перед тем как созвать на совещание менеджеров своих магазинов, Тони несколько недель размышлял о том, где разместить новые фабрики. Проблема была комплексной, но цель ясна — минимизация общих издержек. Совещание, на котором присутствовали все менеджеры, кроме Вилмы, состоялось в Гери.

Тони: Благодарю за то, что приехали. Как вам известно, я решил открыть две новые фабрики в Рокфорде, Мэдисоне или Детройте. Это, разумеется, изменит положение, и вы сможете получить недостающее количество душевых кабин. Я знаю, что вы могли бы продавать больше, чем сейчас, и чувствую себя ответственным за эту ситуацию.

Дик: Тони, я много размышлял над этой проблемой и считаю, что местом размещения одной из новых фабрик должен стать Детройт. Сейчас я получаю лишь половину того количества кабин, которое могу продать. Мой брат Леон очень заинтересован в пуске фабрики, и я думаю, он хорошо справился бы с этой работой.

Том: Дик, я убежден, что Леон был бы на высоте, и я знаю, какие у вас проблемы из-за спада в автомобильной промышленности. Однако нам следует принимать во внимание издержки, а не персоналии. Я убежден, что новые фабрики надо открыть в Рокфорде и Мэдисоне. Мой магазин слишком удален от других фабрик, и такое размещение позволит существенно снизить транспортные издержки.

Дик: Может быть, это и верно, но надо учитывать другие факторы. Детройт — один из основных потребителей фибергласа, и я интересовался ценами на него. Новая фабрика в Детройте сможет получать фиберглас на 2 долл. дешевле, чем в любом другом месте.

Том: В Мэдисоне прекрасная рабочая сила благодаря студентам Мэдисонского университета. Студенты — отличные рабочие, и они согласятся получать на 1 долл. в час меньше.

Билл: Хватит спорить. Ясно, что так мы не договоримся о том, где размещать новые фабрики. Давайте проголосуем и выберем два города.

Тони: Не думаю, что голосование — лучший способ выбора. К тому же Вилма не смогла приехать. Нам следовало бы учесть все эти факторы формальным образом.

Задания

1. Оцените избранную Тони стратегию поставок при двух действующих фабриках в предположении, что существующий объем поставок душевых кабин в магазины фирмы не может быть уменьшен. Обеспечивает ли она минимальные транспортные издержки?

2. Разработайте модель математического программирования, учитывающую все факторы, влияющие на принятие решения.

3. Проведите расчеты и определите наилучшие места для размещения новых фабрик. Обоснуйте ваши выводы результатами расчетов.

(Переработано из: Render В., Stair R. Quantitative Analysis for Management. 4th ed. — Boston: Allyn and Bacon, 1991)

Ситуация 2. «Мечта автомобилиста».

Фирма «Мечта автомобилиста» изготовляет сменные стекла для всех типов российских автомобилей. Фирма разработала и внедрила сложную систему прогнозирования спроса, использующую данные за последние годы для определения фактора сезонности и долгосрочных трендов. В таблице представлен агрегированный (для всех видов стекол) понедельный прогноз спроса на текущий год (в кг):

Фирма «Мечта автомобилиста» использует прогнозы спроса для планирования объемов производства. При составлении плана производства фирма должна учесть издержки найма или увольнения рабочих, оплату сверхурочных, субподряда, издержки хранения готовой продукции.

Издержки хранения составляют 0,12 руб. за 1 кг в неделю. Согласно смете производственные издержки в настоящее время равны 20 руб. за 1 кг в неделю. Сумма затрат на каждого нанимаемого рабочего, приходящаяся на 1 кг продукции, составляет 5,63 руб. (данные издержки рассчитываются на основе затрат на обучение и средней производительности труда одного рабочего). Сумма затрат на каждого увольняемого, приходящаяся на 1 кг продукции, составляет 15,73 руб. (рассчитывается исходя из размера компенсационных выплат при увольнении и с учетом уменьшения престижа фирмы). При нормальном режиме работы (без сверхурочных) фирма может производить до 1900 кг стекла в неделю. Кроме того, может быть произведено до 100 кг при использовании субподряда, и еще 250 кг стекла в неделю «Мечта автомобилиста» может произвести на своих мощностях сверхурочно. Издержки для стекла, производимого сверхурочно, на 8 руб. за 1 кг больше, чем для производимого в обычное время. Издержки производства по субподряду на 2 руб. за 1 кг больше, чем при производстве сверхурочно (т.е. на 10 руб. за 1 кг выше, чем при производстве в обычном режиме).

В настоящее время запасы стекла на складе составляют 73 кг. Производство работает на полную мощность, выпуская 1900 кг продукции в неделю.

Задание

Составьте агрегированный план производства для фирмы «Мечта автомобилиста» в целях минимизации совокупных издержек. Примите во внимание различные предположения и варианты реализации производственной политики и покажите, как эти различия отразятся на вариантах планов.

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—1, 2 — 2, 3—2, 4 — 1, 5—4.

Задача 1. Решение.

С учетом исходной информации транспортная таблица имеет вид