Глава 11. нелинейное программирование

Глава 11. нелинейное программирование

Цели

В данной главе описываются оптимизационные задачи нелинейного программирования (НЛП), математические модели которых содержат нелинейные зависимости от переменных. Источники нелинейности относятся в основном к одной из двух категорий:

1) реально существующие и эмпирически наблюдаемые нелинейные соотношения, например: непропорциональные зависимости между объемом производства и затратами; между количеством используемого в производстве компонента и некоторыми показателями качества готовой продукции; между затратами сырья и физическими параметрами (давление, температура и т.п.) соответствующего производственного процесса; между выручкой и объемом реализации и др.;

2) установленные (постулируемые) руководством правила поведения или задаваемые зависимости, например: формулы или правила расчета с потребителями энергии или других видов услуг; эвристические правила определения страховых уровней запаса продукции; гипотезы о характере вероятностного распределения рассматриваемых в модели случайных величин; различного рода договорные условия взаимодействия между партнерами по бизнесу и др.

Решать линейные задачи значительно проще, чем нелинейные, и если линейная модель обеспечивает адекватность реальным ситуациям, то ее и следует использовать. В практике экономического управления модели линейного программирования успешно применялись даже в условиях нелинейности. В одних случаях нелинейность была несущественной и ею можно было пренебречь, в других — производилась линеаризация нелинейных соотношений или применялись специальные приемы, например строились так называемые линейные аппроксимационные модели, благодаря чему достигалась требуемая адекватность. Тем не менее имеется большое число ситуаций, где нелинейность является существенной и ее нужно учитывать в явном виде.

Далее приводятся общая модель задачи нелинейного программирования и классы задач НЛП, а также описываются условия оптимальности решения.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:

• целевую функцию;

• ограничения;

• допустимый план;

• множество допустимых планов;

• модель нелинейного программирования;

• оптимальный план.

Вы сможете также:

• определять, является ли функция выпуклой;

• строить функцию Лагранжа задачи НЛП;

• проверять оптимальность полученных решений.

Модели

В общем виде задача НЛП описывается с помощью следующей модели нелинейного программирования:

где х = (x1, х2, ..., хn) — вектор переменных задачи.

Задача (1)—(3) называется задачей нелинейного программирования в стандартной форме на максимум.

Может быть сформулирована также задача НЛП на минимум.

Вектор х = (x1, х2, ..., хn), компоненты хj которого удовлетворяют ограничениям (2) и (3), называется допустимым решением или допустимым планом задачи НЛП.

Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов.

Допустимое решение задачи НЛП, на котором целевая функция (1) достигает максимального значения, называется оптимальным решением задачи НЛП.

Возможное местонахождение максимального значения функции F(x) при наличии ограничений (2) и (3) определяется следующим общим принципом. Максимальное значение F(x), если оно существует, может достигаться в одной или более точках, которые могут принадлежать следующим множествам:

 — внутренняя точка множества допустимых планов, в которой все первые частные производные  

 — точка границы множества допустимых планов};

 — точка множества допустимых планов, в которой функция F(x) недифференцируема}.

В отличие от задач линейного программирования, любая из которых может быть решена симплекс-методом, не существует одного или нескольких алгоритмов, эффективных для решения любых нелинейных задач. Какой-то алгоритм может оказаться чрезвычайно эффективным для решения задач одного типа и неудачным для задач другого типа.

Эффективность алгоритма может даже существенно зависеть от постановки задачи, например от изменения масштабов измерения тех или иных переменных. Поэтому алгоритмы разрабатываются для каждого класса (типа) задач. Программы, ориентированные на решение определенного класса задач, как правило, не гарантируют правильность решения любых задач данного класса, и оптимальность решения рекомендуется проверять в каждом конкретном случае.

В экономических приложениях рассматриваются следующие классы задач НЛП.

1. Оптимизация нелинейной функции с ограничениями на неотрицательность значений переменных:

F(х) ® mах,

x ³ 0,

где х = (х1, х2,..., хn) — вектор переменных задачи.

Пусть F(x) — дифференцируемая функция.

Необходимые условия того, что в точке х0 достигается максимум функции F(x):

Это означает, что:

и

Если F(x) вогнутая функция (для задачи минимизации — выпуклая), то эти условия являются также достаточными.

Функция F(x) с числовыми значениями, определенная на выпуклом множестве точек К, называется вогнутой, если для любой пары точек х1, х2 и для всех чисел l, 0 £ l £ 1, выполняется неравенство

Если  то функция F(x) называется выпуклой. Если имеют место строгие неравенства, то говорят, что функция строго вогнута или строго выпукла.

Данное определение вогнутости (выпуклости) годится для любого типа функции. Практически, однако, применять его трудно.

Для дважды дифференцируемой функции F(x) имеет место следующий критерий. Дифференцируемая функция F(x) строго вогнута в некоторой окрестности точки  если выполняются следующие условия:

т.е. если знаки этих определителей чередуются указанным образом.

Здесь — частная производная второго порядка, вычисленная в точке х0.

Матрица размера п ´ п, составленная из элементов , называется матрицей Хессе (Hesse). По значениям ее главных миноров можно судить о выпуклости или вогнутости функции. Функция F(x) строго выпукла в малой окрестности точки х0, если все главные миноры ее матрицы Хессе строго положительны. Если имеют место нестрогие неравенства (³), то функция в окрестности точки х0 выпукла. Если при этом главные миноры матрицы Хессе от х не зависят, то функция всюду (строго) выпукла.

Весьма распространены относящиеся к данному типу модели квадратичного программирования, в которых целевая функция F(x) является квадратичной функцией переменных х1, х2, ..., хn. Существует большое число алгоритмов решения такого типа задач, в которых функция F(x) вогнутая (для задач минимизации — выпуклая).

2. Модели выпуклого программирования. К такого рода моделям относятся задачи НЛП (1)—(3), в которых F(x) — вогнутая (выпуклая) функция, a gi(x) — выпуклые функции. При данных условиях локальный максимум (минимум) является и глобальным.

Пусть F(x) и gi(x), i= 1,..., т, — дифференцируемые функции.

Необходимые и достаточные условия оптимальности решения — выполнение условий Куна — Таккера.

Рассмотрим задачу НЛП (1)—(3) и функцию Лагранжа L (х, l) =  

Условия Куна — Таккера оптимальности решения х0 для задачи максимизации F(x) имеют вид

где  — частная производная функции Лагранжа по переменной хj при х = х0 и l = l0. Пусть максимальное значение F(x) равно F(x0) = F0. Числа  связаны с F0 следующими соотношениями:

Из этих соотношений видно, что числа  характеризуют реакцию значения F0 на изменение значения соответствующего bi. Например, если < 0, то при уменьшении bi (в пределах устойчивости ) значение F0 увеличится, а = 0 указывает на несущественность соответствующего ограничения gi(х) £ bi, которое может быть без ущерба для оптимального решения из системы ограничений исключено.

3. Сепарабельное программирование. Специальный случай выпуклого программирования при условии, что F(x) и все gi(х) — сепарабельные функции, т.е.

Задачи данного вида сводятся к задачам линейного программирования.

4. Дробно-нелинейное программирование. Максимизировать (минимизировать) функцию F(x) = F1(x)/F2(x).

В частном случае, когда в числителе и знаменателе — линейные функции (так называемая задача дробно-линейного программирования), задача сводится к линейной.

5. Невыпуклое программирование. Функция F(x) и (или) какие-либо gi(x) не выпуклы. Надежных методов решения задач такого типа пока не существует.

Примеры

Пример 1. Сколько производить?

Предприятие располагает ресурсами двух видов сырья и рабочей силы, необходимыми для производства двух видов продукции. Затраты ресурсов на изготовление одной тонны каждого продукта, прибыль, получаемая предприятием от реализации тонны продукта, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице:

Стоимость одной тонны каждого вида сырья определяется следующими зависимостями: (9 + 0,0088r1) тыс. руб. для сырья 1 и (5 0,0086r2) тыс. руб. для сырья 2, где r1 и r2 — затраты сырья на производство продукции. Стоимость одного часа трудозатрат определяется зависимостью (1 0,0002r, где r — затраты времени на производство продукции.

Вопросы:

1. Сколько продукта 1 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?

2. Сколько продукта 2 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?

3. Какова максимальная прибыль?

Решение. Пусть x1 — объем выпуска продукта 1 (в тоннах), х2 — объем выпуска продукта 2 (в тоннах). Тогда задача может быть описана в виде следующей модели нелинейного программирования:

При использовании программы GINO исходную информацию для решения этой задачи представляем в следующем виде:

Получаем следующий результат:

Ответы: 1. 16,67т. 2.13,89т. 3. 507,407 тыс. руб.

Пример 2. Формирование портфеля ценных бумаг.

Клиент поручил брокерской конторе купить для него на 1 млн руб. акции трех известных ему компаний. Сделка заключается на год. Клиент заинтересован, с одной стороны, в максимизации средней прибыли на вложенный капитал, а с другой — в минимизации риска, поскольку прибыль, получаемая в конце года от акции каждой компании, является величиной случайной. Известно, что чем прибыльнее акция, тем выше связанный с ней риск, поэтому названные критерии являются противоречивыми. Клиенту это обстоятельство разъяснили и попросили его указать относительную значимость («вес») критериев. Клиент, будучи человеком осторожным, высказал пожелание, чтобы риск учитывался с весом втрое большим, чем прибыль. Получив такие указания, сотрудники брокерской конторы сформулировали следующую модель нелинейного программирования:

где хj — объем средств, затраченных на покупку акций типа j (тыс. руб.);

mj — математическое ожидание процента прибыли от вложения 1 тыс. руб. в акции типа j;

sjj — дисперсия указанного выше процента прибыли;

sij — ковариация между процентами прибыли от вложения 1 тыс. руб. в акции типа i и j (i ¹ j).

Первая сумма в критерии — ожидаемое значение прибыли, обеспечиваемой пакетом акций, вторая — дисперсия прибыли пакета акций, взятая с «весом» 3. Дисперсия прибыли пакета акций служит мерой риска.

Пусть средние значения процентов годовой прибыли от акций компаний составляют соответственно 8, 10 и 13\%. Дисперсии s11 = 0,1, s22 = 0,15, s33 = 0.19. Ковариации s12 = 0,01, s13 = 0,02, s23 = 0,03.

Вопросы:

1. Является ли целевая функция строго вогнутой?

2. Какую сумму следует вложить в покупку акций типа 1?

3. Какую сумму следует вложить в покупку акций типа 3?

Решение. Модель нелинейного (в данном случае — квадратичного) программирования имеет вид

Рассчитав значения соответствующих определителей (главных миноров матрицы Хессе), можно убедиться, что выполняются условия (4), откуда следует, что целевая функция строго выпукла для любых значений х1, х2, х3 (значения определителей не зависят от значений переменных).

Используя программу GINO, исходную информацию для решения этой задачи представляем в следующем виде:

Получаем следующий результат:

Непосредственной подстановкой полученного решения в условия (5)—(8) можно убедиться, что условия Куна — Таккера выполняются, причем решение обеспечивает глобальный максимум целевой функции, поскольку F строго вогнута.

Ответы: 1. Да, является (при любых значениях переменных).

2. 496,8 тыс. руб. 3. 197,93 тыс. руб.

Пример 3. Производство молочных продуктов.

Молокозавод производит для местного рынка три вида продуктов: сметану, творог и сыр. Молоко поступает ежедневно из двух ферм. Технологические и экономические данные о производимых продуктах приведены в следующей таблице:

Затраты, связанные с приобретением сырья (молока), являются кусочно-линейной функцией закупаемого количества:

а) для фермы 1

б) для фермы 2

Вопросы:

1. Какова максимальная ежедневная прибыль молокозавода?

2. Сколько молока следует закупать на ферме 1?

3. Сколько молока следует закупать на ферме 2?

4. Как изменится максимальная прибыль, если максимальное суточное производство сметаны увеличить на 1 кг?

5. Как изменится максимальная прибыль, если максимальное суточное производство творога уменьшить на 2 кг?

Решение. Задача может быть описана с помощью модели линейного программирования.

Пусть x1 — количество молока, закупаемого на ферме 1, х2 — количество молока, закупаемого па ферме 2. Представим х1 и х2 в следующем виде:

Тогда стоимость молока, закупаемого на ферме 1, описывается функцией

а стоимость молока, закупаемого на ферме 2, — функцией

Окончательно модель линейного программирования имеет вид

Структура матрицы задачи линейного программирования показана в следующей таблице:

Используя для решения этой задачи программу POMWIN, получаем следующий результат:

Далее представлена таблица, содержащая границы устойчивости по коэффициентам целевой функции:

Границы устойчивости по правым частям ограничений:

Ответы: 1. 8275 руб. 2. 312,5 кг. 3. 218,75 кг. 4. Увеличится на 45 руб. 5. Уменьшится на 80 руб.

Вопросы

Вопрос 1. Дана действительная функция f(х), определенная на отрезке действительных чисел S = [0, 100]. Пусть х1 и х2 — точки этого отрезка и 0 £ l £ 1.

Какое из нижеприведенных неравенств является условием выпуклости функции?

Варианты ответов:

Вопрос 2. Дана действительная функция f(x), определенная на отрезке действительных чисел S=[0, 100]. Пусть x1 и x2 — точки этого отрезка и 0 £ l £ 1.

Какое из нижеприведенных неравенств является условием строгой вогнутости функции?

Варианты ответов:

Вопрос 3. Функция

1) выпуклая;

2) строго выпуклая;

3) вогнутая;

4) строго вогнутая;

5) выпуклая и вогнутая.

Вопрос 4. Функция

1) выпуклая;

2) ни выпуклая, ни вогнутая;

3) вогнутая;

4) строго вогнутая;

5) выпуклая и вогнутая.

Вопрос 5. Функция  всюду:

1) выпуклая;

2) ни выпуклая, ни вогнутая;

3) строго выпуклая;

4) вогнутая:

5) выпуклая и вогнутая.

Вопрос 6. Новая модель скоростного мотоцикла «Улитка» продается предприятием по цене (30 – 2x) тыс. долл. за штуку, где х —количество проданных мотоциклов. Переменные производственные затраты составляют 6 тыс. долл. за штуку, фиксированные затраты — 30 тыс. долл. Максимизируйте прибыль предприятия за неделю.

Предположим, что в результате изменения ставки налога с продаж последний (налог) составил дополнительно 4 тыс. долл. на каждый проданный мотоцикл.

Как изменится оптимальный выпуск мотоциклов по сравнению с начальной ситуацией?

(Решить, используя функцию Лагранжа.)

Варианты ответов:

1) увеличится на 2; 2) уменьшится на 2;

3) не изменится; 4) увеличится на 1;

5) уменьшится на 1.

Вопрос 7. Предположим, что у вас есть 2 недели (14 дней) отпуска, которые вы можете провести на Канарских островах и в Ницце. Пусть ваша функция полезности имеет вид 2KN – 3К2 – 4N2, где К и N — количество дней, которое вы проводите на Канарских островах и в Ницце соответственно.

Сколько дней вы должны провести в Ницце, чтобы максимизировать свою функцию полезности?

(Для решения использовать функцию Лагранжа. Результат округлить до ближайшего целого. Проверить, выполняются ли условия оптимальности Куна — Таккера.)

Варианты ответов:

1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 6; 5) 7.

Вопрос 8. Для задачи вопроса 7 найдите значение двойственной оценки ограничения.

(Результат округлить до ближайшего целого.)

Варианты ответов:

1) 41; 2) 34; 3) 29; 4) 39; 5) 44.

Вопрос 9. Монополист планирует программу производства и реализации продукции на следующий период. Цены: р1 = 14 – 0,25x1 (на продукт 1); р2 = 14 – 0,5х2 (на продукт 2), где x1 и х2 — объемы реализации продуктов. Предположим, что вся произведенная продукция реализуется. Максимальный суммарный объем сбыта — 57.

Каков оптимальный выпуск продукта 2?

Варианты ответов:

1) 36,4; 2) 30,7; 3) 26,3; 4) 20,6; 5) 41,8.

Вопрос 10. Владелец небольшого предприятия располагает на ближайший месяц 100 тыс. руб., которые он может потратить на увеличение основных фондов К (закупку оборудования) по цене 1 тыс. руб за единицу либо на покупку дополнительной рабочей силы L по цене 50 руб./ч. Увеличение готовой продукции, которая может быть продана по 10 тыс. руб. за единицу, определяется производственной функцией F(K, L)= L2/7 К2/5.

Сколько средств следует потратить на увеличение основных фондов?

Варианты ответов:

1) 74,36 тыс. руб.; 2) 58,33 тыс. руб.; 3) 63,44 тыс. руб.;

4) 45,66 тыс. руб.; 5) 39,77 тыс. руб.

Задачи

Задача 1. Компания «Комуойл» производит на одном из своих заводов три марки неэтилированного бензина А-88, А-92 и А-95 из нефти, добываемой на трех месторождениях: на двух сибирских — тюменском и самотлорском — и на башкирском. Причем из Сибири нефть поступает по трубопроводу в смеси в количестве 250 т в сутки.

Данные о нефти представлены в следующей таблице:

Требуемые характеристики бензина:

Предположим, что других затрат, кроме затрат на покупку сырой нефти, нет. Определите оптимальную (с точки зрения максимума прибыли) суточную производственную программу завода.

Вопросы:

1. Какова максимальная прибыль завода?

2. Каков оптимальный выпуск бензина А-88?

3. Какова доля тюменской нефти в смеси, поступающей из Сибири?

4. Каковы общие затраты?

Задача 2. На кондитерской фабрике «Десерт» вследствие уменьшения спроса на ряд ее изделий освободилась часть производственных мощностей. Чтобы избежать сокращения численности работающих, специалисты фабрики разработали технологию производства двух новых видов шоколадных конфет: шоколадных бочонков с коньяком, получивших название «Братец Иванушка» (БИ), и шоколадных шариков с вишней, названных «Сестрица Аленушка» (СА). Для изготовления любого нового вида конфет должны быть задействованы три производственные линии: производство шоколада, непосредственное изготовление конфет, упаковка и контроль. Первая и третья линии — общие для конфет обоих наименований. Доля шоколада в общем весе одной конфеты БИ составляет 70\%, а в конфете СА — 80\%. Максимальная мощность линии по изготовлению шоколада (для новой продукции) составляет 250 кг в сутки. Производительность линии по изготовлению конфет БИ — 170 кг в сутки, конфет СА — также 170 кг. Удельные переменные затраты составляют: для конфет БИ — 180 руб./кг, для конфет СА — 150 руб./кг. Предполагается, что все изготовленные в течение суток конфеты будут проданы. В силу своей исключительности новые изделия не испытывают внешней конкуренции, однако они конкурируют друг с другом. В результате проведенного исследования были получены следующие зависимости объемов сбыта от цен:

где x1 — произведенное (проданное) в течение суток количество конфет БИ, кг;

х2 — произведенное (проданное) в течение суток количество конфет СА, кг;

р1 — цена конфет БИ, руб./кг;

р2 — цена конфет СА, руб./кг.

Определите производственную программу, при которой суточная прибыль фабрики от производства новой продукции максимальна.

Вопросы:

1. Какова максимальная прибыль фабрики?

2. Каков оптимальный выпуск конфет БИ?

3. Каков оптимальный выпуск конфет СА?

4. Какова оптимальная цена конфет БИ?

5. Какова оптимальная цена конфет СА?

Задача 3. На молочном комбинате помимо других продуктов производится также сырковая масса трех наименований: «Изюминка», «Ваниль» и «Орешек» — жирности соответственно 6, 5 и 3\%. В качестве основных исходных продуктов используются творог жирности 8, 7 и 2\%, объемы суточных поставок которого составляют по 200 кг каждого вида, и сахар, имеющийся в количестве 70 кг в сутки.

По технологии для получения 1 кг сырковой массы «Изюминка» требуется 30 г сахара, для «Ванили» — 40 г и для «Орешка» — 60 г. Цена сырковой массы «Изюминка» равна 36 руб./кг, «Ванили» — 35 руб./кг, «Орешка» — 33 руб./кг.

Закупочная цена творога 8\%-й жирности определяется зависимостью (29 – 0,003x) руб./кг, где х — объем закупки (в кг). Аналогичные зависимости для творога 7\%-й жирности (27 – 0,008x) руб./кг и 2\%-й жирности (26 – 0,005x) руб./кг.

Минимальный выпуск для «Изюминки» 100 кг, «Ванили» 50 кг, «Орешка» 50 кг.

Постройте производственную программу, максимизирующую общую суточную прибыль.

Вопросы:

1. Какова максимальная прибыль?

2. Каков оптимальный объем производства сырковой массы «Орешек»?

3. Каков оптимальный объем производства сырковой массы «Ваниль»?

Задача 4. Горно-обогатительная фабрика получает из руды, поступающей из двух месторождений, никель, медь и серебро. Данные о количестве ценных металлов, получаемых из одной тонны руды каждого месторождения, приведены в следующей таблице:

В течение месяца фабрика перерабатывает не более 1000 т руды. За счет увеличения (уменьшения) затрат можно изменить доли выхода металлов в пределах ±10\% по сравнению с приведенными в таблице. Предположим, что удельные затраты после изменения средних (приведенных в таблице) коэффициентов выхода металлов определяются зависимостью с = (2k – 1) с0, где k показывает, во сколько раз изменяется средний выход металла из 1 т руды, а с0 — средние удельные затраты. При этом предполагается, что общие затраты, связанные с изменением нескольких коэффициентов, аддитивны.

Постройте модель нелинейного программирования с учетом возможности изменения коэффициентов выхода металлов. Определите оптимальные значения коэффициентов, обеспечивающих максимум прибыли фабрики.

Вопросы:

1. Какова максимальная прибыль?

2. Каково оптимальное значение коэффициента выхода никеля из руды месторождения 2?

3. Каково оптимальное значение коэффициента выхода меди из руды месторождения 1?

4. Какое количество руды месторождения 2 следует использовать в производстве?

Задача 5. Завод производит два вида высококачественного паркета из дуба, отличающиеся формой и толщиной деталей. Дефицитными ресурсами служат дубовая доска и специальная жидкость для пропитки деталей. Для производства 1 м2 паркета первого вида требуется 0,01 м3 дубовой доски и 0,05 кг жидкости для пропитки. Для производства 1 м2 паркета второго вида потребности в ресурсах составляют соответственно 0,02 м3 и 0,15 кг. Максимальное количество ресурсов за месяц: 20 м3 дубовой доски и 150 кг жидкости для пропитки.

Затраты на единицу первого ресурса (на 1 м3 дубовой доски) составляют (1000 – 3r1) руб./м3, где r1 — объем дубовых досок, использованных в производстве паркета. Затраты на единицу второго ресурса (на 1 кг жидкости для пропитки) составляют (500 – 0,5r2) руб./кг, где r2 — количество использованной в производстве паркета жидкости для пропитки. Предполагается, что других затрат нет. Оба вида паркета могут частично заменять друг друга, поэтому величины спроса на них взаимозависимы. Цена 1 м2 паркета первого вида (руб./м2) определяется зависимостью p1 = 100 – 0,04x1 — 0,01x2, а цена 1 м2 паркета второго вида — зависимостью p2 = 210 – 0,008x1 – 0,03x2, где x1, х2 — объемы производства (м2) паркета соответственно первого и второго вида.

В предположении, что весь паркет может быть продан, определите производственную программу завода, обеспечивающую максимум прибыли.

Вопросы:

1. Какова максимальная прибыль предприятия?

2. По какой цене следует продавать паркет первого вида?

3. По какой цене следует продавать паркет второго вида?

4. Какое количество жидкости для пропитки используется в производстве?

5. Каков оптимальный выпуск паркета второго вида?

Задача 6. Данная задача является одним из вариантов задачи формирования портфеля ценных бумаг (см. пример 2).

Клиент поручил брокерской конторе купить для него на 3 млн руб. акции четырех известных ему компаний. Сделка заключается на год. Клиент заинтересован в минимальном риске при условии, чтобы средний процент прибыли, обеспечиваемый портфелем акций к концу года, был не менее 9\%. Известно, что средние значения процентов годовой прибыли от акций компаний составляют соответственно 8,5; 13; 9 и 10\%.

Дисперсии процентов прибыли: s11 = 0,1, s22 = 0,19, s33 = 0,13, s44 = 0,14.

Ковариации: s12 = 0,05, s13 = 0,02, s14 = 0,03, s23 = 0,04, s24 = 0,03, s34 = 0,01.

Вопросы:

1. Чему равна средняя годовая прибыль?

2. На какую сумму следует купить акции компании 1?

3. На какую сумму следует купить акции компании 2?

4. Какова минимальная дисперсия портфеля акций?

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—4, 2 — 1, 3—4, 4 — 5, 5—2, 6—5, 7—4, 8—2, 9—4, 10—2.

Задача 1. Решение.

Введем обозначения:

(Количество нефти измеряется в килограммах.)

В данных обозначениях оптимизационная модель нелинейного программирования имеет вид

все переменные неотрицательны.

Модель и результаты решения в представлении программы GINO имеют вид

Окончание таблицы

Ответы: 1.86 761,9 долл. 2.205,7т. 3.0,66. 4.109 167 долл.

Задача 2. Решение.

Модель имеет вид

Модель и результаты решения в представлении программы GINO имеют вид

Получаем следующее решение:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 93003.779091

Ответы: 1. 93 тыс. руб. 2. 163 кг. 3. 170 кг. 4. 429 руб. 5. 459 руб.

Задача 3. Решение.

Введем обозначения:

(Количество сырковой массы и творога измеряется в килограммах.)

В указанных обозначениях модель имеет вид

все переменные неотрицательны.

Модель и результаты решения в представлении программы GINO имеют вид

Получаем следующее решение:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 6175.062247

Ответы: 1. 6175 руб. 2. 50 кг. 3. 61,5 кг.

Задача 4. Решение.

Введем обозначения:

Выручка от переработки руды первого месторождения:

Выручка от переработки руды второго месторождения:

Затраты, связанные с использованием руды первого месторождения:

Затраты, связанные с использованием руды второго месторождения:

Прибыль, получаемая в результате переработки руды первого месторождения:

Прибыль, получаемая в результате переработки руды второго месторождения:

Модель нелинейного программирования имеет вид

Модель и результаты решения в представлении программы GINO имеют вид

Получаем следующее решение:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 95.109092

Окончание таблицы

Ответы: 1. 95,1 тыс. руб. 2. 1,1. 3. 0,973. 4. 545,5 т.

Задача 5. Решение.

Модель и результаты решения в представлении программы GINO имеют вид

Получаем следующее решение:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 99073.977899

Ответы: 1. 99 074 руб. 2. 82,78 руб./м2. 3. 181.44 руб./м2. 4. 144,84 кг. 5. 897 м2.

Задача 6. Решение.

Пусть xj — объем средств, затраченных на покупку акций типа j (тыс. руб.), sij = sji, для i ¹ j. В указанных обозначениях модель имеет вид

Модель и результаты решения в представлении программы GINO имеют вид

Получаем следующее решение:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 475780.187947

Ответы: 1. 282 тыс. руб. 2. 1043 тыс. руб. 3. 240 тыс. руб. 4. 475 780.