Краткие выводы

Краткие выводы

К числу основных факторов, препятствующих рыночному механизму устанавливать Парето-эффективное состояние в общественном хозяйстве, относятся усиливающаяся с развитием технического прогресса тенденция к монополизации производства отдельных видов продукции, существование внешних эффектов при производстве и потреблении частных благ, специфика потребительских свойств общественных благ, асимметричность распространения рыночной информации между экономическими субъектами. Поэтому в рыночном хозяйстве экономическая роль государства не ограничивается дистрибутивной функцией. Аллокативная роль государства состоит в том, чтобы предотвращать монополизацию производства и регулировать деятельность естественных монополий, способствовать выпуску оптимальных объемов смешанных благ путем введения санкции за производство отрицательных внешних эффектов и поддержки производителей положительных внешних эффектов, а также за счет закрепления прав собственности на производство внешних эффектов, производить оптимальный объем общественных благ, содействовать распространению достоверной информации о факторах, влияющих на результаты рыночных сделок.

Математическое приложение 1: Определение оптимального объема производства общественных благ

В хозяйстве, состоящем из двух индивидов (I, II), производится один вид частного (A) и один вид общественного (Z) благ. Известны индивидуальные функции полезности: UI = UI(QAI, QZ); UII = = UII( Qaii, Qz), где QAi — количество частного блага, потребляемого i-м потребителем; QZ — количество общественного блага, одинаковое для каждого потребителя. Технология производства обоих благ представлена трансформационной функцией1: T(QA,QZ) = 0.

Производство общественного блага является оптимальным по Па-рето, если при заданном значении функции полезности II индивида функция полезности I достигает максимума, так как в этом случае нельзя повысить благосостояние одного из индивидов, не снижая благосостояние другого:

Ui = Ui( Qai, Qz) max є U„( Qaii, Qz) = и T( Qa, Qz) = 0.

Функция Лагранжа в данном случае принимает вид

Ф = Ui(Qai,Qz) -X[U„(Qaii,Qz) -] Ц[T(Qa,Qz) -0],

где X, ц — сомножители Лангранжа.

(1) (2) (3)

(4)

Условия ее максимизации:

ЭТ

-ц,

U

ЭQAT ЭQAT

цЭТ

QA X QA

Разделим равенство (2) на равенство (1):

U U U T T T

— 1—= х^/ц +— '

ЭQ^ ЭQAт ЭQZ| ЭQ^ ЭQAтт

С учетом равенства (3) выражение (4) можно представить в следующем виде:

U U + U U = T T

ЭQz/ ЭQA ЭQz/ ЭQAтт ЭQz/ ЭQA что соответствует равенству MRSZ,A+MRSZ ,A=MRPTZ,A.

Математическое приложение 2: Модель «принципал — агент»

При имеющемся у принципала капитале результаты хозяйственной деятельности являются стохастической функцией количества затрачиваемого агентом труда:

Q = aL + v,

где a — показатель производительности; v — стохастическая переменная с нулевым ожиданием.

Денежный эквивалент своих физических и умственных затрат агент оценивает по формуле

H = bL2; 0 < b < 1.

Оплата труда агента состоит из двух частей: фиксированной суммы, не зависящей от количества труда и выпуска (m), и доли (8) конечного результата хозяйственной деятельности

M(r, 8, v) = m + 8Q.

Агент согласен трудиться, если M > H.

Вариант 1. Агент безразличен к риску и его усердие неконтролируемо.

В этом случае М = M(r, 8). Функция полезности агента имеет вид £/аг = m + 8aL bL2, (1)

а принципала —

£/пр = Q M = aL m 8aL. (2) Отсюда функция общественного благосостояния: W = иаг + ипр = aL bL2.

Она достигает максимума при a = 2bL = L* = a/2b. Таков оптимальный объем использования труда.

(3)

Фактическое предложение труда определяется из условия максимизации функции (1):

^ = 8а-2bL =0 = LS =^

dL 2b

Следовательно, чтобы LS = L*, требуется 8 = 1, т.е. весь результат хозяйственной деятельности нужно передать агенту.

Цель принципала — максимизировать функцию (2) при ограничении (3) и равенстве M = H:

m + 8aL = bL2 = m = bL2 8aL.

(4)

Подставим выражение (4) в функцию (2)

ипр = aL bL2 + 8aL 8aL = aL bL2 и заменим L его значением в выражении (3)

8a2 (a8)2

UnP 1h

2b 4b

Функция полезности принципала достигает максимума при

dUnp a2 28a2 „ a2 8a2 . ,

= = 0 — >8 = 1.

d8 2b4b 2b2b

Таким образом и в интересах принципала передать весь результат агенту. В этом случае LS = a/2b = L*. Подставив это значение в условие (4), найдем

a2

m = .

4b

Отрицательное значение фиксированной части оплаты труда агента означает, что с него надо брать арендную плату. Подставим значения арендной платы, LS и 8 = 1 в функцию полезности агента

2 2,2

U = a +a ba аг = 4b 2b ~4b"

Таким образом, агент «остался при своих» и вся польза сотрудничества досталась принципалу.

Вариант 2. Агент склонен избегать риска и его усердие контролируемо.

Отобразим неприязнь агента к риску тем, что предельная полезность дохода от конечного результата для него убывает, т.е.

£/аг = m + 8(aL)0,5 bL2. (5)

Функция полезности принципала остается прежней. Поэтому функция общественной полезности имеет вид

W = 8[(aL)0,5 aL] + aL bL2.

Теперь общественное благосостояние зависит не только от количества затрачиваемого труда, но и от пропорции распределения экономического результата. Так как разность в квадратной скобке отрицательна, то общественное благосостояние достигает максимума при 8 = 0, т.е. весь результат должен остаться у принципала. В этом случае W = aL bL2 и оптимальный объем использования труда по-прежнему LL = a/2b, а найденная из выражения (4) автономная часть оплаты m = bL2. Поскольку принципал может контролировать количество и качество труда, то система его оплаты такова:

{

bLL при L = LL = a / 2b; 0 при L < a /2b.

Вариант 3. Агент склонен избегать риска и его усердие неконтролируемо.

dU,

Количество предлагаемого агентом труда определяется из условия максимизации его функции полезности (5)

(6)

* ґ * 2/3

-2Ы = 0:

dL l^aL [ Ab4a

Теперь равенство М = Н, определяющее нижнюю границу оплаты труда агента, имеет вид

m + 8(aL)0,5 = bL2 => m = bL2 8(aL)0,5. (7)

23

b

Заменив в функции полезности принципала (2) L и r на их значения в выражениях (6) и (7), получим

у3

U

-a (1 -8)

пр

4a~

Absfa

Л4/3 / +8a

4a~

Примем а = 9; b = 0,25. В этом случае максимум полезности принципал получает при 8 = 0,69 (см. рисунок).