3.6. изокванты и изоклинали
3.6. изокванты и изоклинали
Изоквантой называется линия уровня в системе координат L0K. Функция изокванты определяется уравнением F (K, L ) = В = const.
Для мультипликативной производственной функции это уравнение (3.2).
На изокванте выпуск равен одному и тому же значению при различных значениях капитала K и труда L . Отсюда следует возможность взаимозаменяемости ресурсов.
Так как на изокванте F (K, L) = В = const, то дифференциал dF при перемещении по этой изокванте равен нулю, т.е.
dF dF dF =— dK + — dL = 0.
dK dL
Так как по второму свойству производственной функции — > 0; — > 0,
dKdL
то дифференциалы dK и dL имеют разные знаки.
Предельной нормой замены труда капиталом (фондами) SK называется общая производная от капитала по труду. Поскольку дифференциалы dK и dL имеют разные знаки, то эта производная отрицательная. Поэтому для удобства перед этой производной пишут знак «—», т.е. так, как показано ниже,
SK -dK . (3.6)
K dL dF/dK
Аналогично находят предельную норму SL замены капитала
(фондов) трудом как общую производную от труда по капиталу со знаком «—»:
SL --ddL-dFIdK.. (3.7)
L
dK dFj dL
Из двух последних формул видно, что SKSL -1, т.е. произведение предельной нормы замены труда капиталом и предельной нормы замены капитала трудом равно единице.
Для мультипликативной производственной функции имеем следующие значения для предельной фондоотдачи и предельной производительности труда:
dF dAK-'is-j AKa-L2 - Y_ dF_ Y
■ Сіл — Сіл , — Cl~)
Ал • — C-fo .
dK dKlK 1K dL 2 L
Отсюда следует, что предельную норму SK замены труда капиталом и предельную норму S L замены капитала трудом находят по формулам
dF/ dL - . S dFj dK _ aLL_ K dF/ dK a1 L ' L ~~ dFj dL ~ a2 K '
> Пример 3.3. Для мультипликативной производственной функция Y AKaLa2 найти эластичности замещения фондов трудовыми ресурсами и трудовых ресурсов фондами. Решение. Эластичность замещения фондов трудовыми ресурсами находят по формуле
EL K jdK ■L.
LK ' dL K
С учетом (3.6) эту формулу можно записать в виде: dFj dL L - a2 K L a2
dFj dKK a1 L K
Эластичность замещения трудовых ресурсов фондами с учетом (3.7) определяется соотношением
К ( дК L ~ dF/dL ' L ~ a2 К L ~ a2
Знак «—» перед эластичностями означает, что функция К (L)
является убывающей. Например, для эластичности замещения фондов трудовыми ресурсами при возрастании трудовых ресурсов на 1\% фонды сократятся на — \%. Следует иметь в виду,
что выпуск при этом не изменяется. Л
Изоклиналью называется линия наибольшего роста производственной функции. Изоклиналь является линией, в каждой точке которой касательной является направление градиента функции Y = F (К, L). Градиентом функции является вектор, имеющий вид:
lr, dF grad F = — і + і ,
dL дК
где і и j екции градиента на эти оси.
dF dF
орты осей 0L и 0К соответственно; — и — проdL дK
Можно показать, что градиент ортогонален линиям уровня. Поэтому изоклинали ортогональны изоквантам. На рис. 3.2 показан график изоклинали и градиент функции Y = F (К, L).
0
Рис. 3.2. График изоклинали и градиент функции
Из геометрии этого графика следует соотношение
AK ^ 8F/ 8K AL ~ 8Fj 8L '
Переходя к дифференциалам и произведя необходимые преобразования, получим уравнение для изоклинали:
dK dL
8F/8K 8F/8L
Для мультипликативной производственной функции уравнение изоклинали имеет вид:
KdK LdL
aj a2
Решение этого дифференциального уравнения можно представить в виде:
— = — + С, (3.8)
aj a2
где С — постоянная интегрирования.
При прохождении изоклинали через любую точку с координатами (К0, L0) постоянная интегрирования определяется формулой
C = Ko _ lll
Подставив последнюю формулу в (3.8), получим выражение для функции изоклинали
K (e _L2)+K0 ■
Изоклиналь, проходящая через начало координат, определяется формулой
K = ,
aj
т.е. является прямой линией с тангенсом угла наклона, равным I— .
Пример графиков изоквант и изоклиналей показан на рис. 3.3.
K
Обсуждение Макроэкономика
Комментарии, рецензии и отзывы