§1.2. предел числовой последовательности

§1.2. предел числовой последовательности

1°. Определения. Примеры

Определение. Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.

Задать числовую последовательность значит задать отображение п —>х(п), т.е. бесконечный ряд чисел

х, =д:(1), х2 = х(2), *3 = дс(3),....

Числовую последовательность с членамиxvx2,... записывают коротко {хп}, п е N, или просто {хп}.

В основе всего здания математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности.

Определение. Число а называется пределом последовательности {хп}, если для любого положительного числа є существует такой номер п0 (зависящий, вообще говоря, от выбранного є ), начиная с которого все члены последовательности отличаются от а по модулю меньше, чем на е.

(Уе > 0)(3и0):м > п0 =>х„ -а\<е.

Если последовательность {хп} имеет предел а, то она называется сходящейся (к числу а) и мы пишем

\тх„=а. (1.1)

Заметим, что иногда вместо (1.1) пишут просто

хп^а

(словами: «х стремится к а при п —> оо »).

Таким образом, равенство (1.1) означает, что как бы ни было мало положительное число £, все члены последовательности, начиная с некоторого номера и0, удовлетворяют неравенству хп а < е. Проще говоря, числа хп с ростом п неограниченно приближаются к а.

Как известно, множество всех чисел х, удовлетворяющих условию | хп а < є (где є > 0), называется є окрестностью точки а. Это множество интервал (а є, а + є) (рис. 1.5). Согласно данному выше определению предела неравенство (1.1) означает, что какова бы ни была окрестность точки а, найдется такой номер «0, начиная с которого все члены последовательности будут содержаться в этой окрестности. Следовательно, вне є -окрестности может находиться лишь конечное число членов последовательности.

. . . ►

а-£ а а + е

Рис. 1.5

Пример 1.L Рассмотрим последовательность 1,

для которой хп = — (и = 1,2,...).Числа х неограниченно приблип 1 жаются к 0, поэтому естественно ожидать, что lim — = 0. Проверим, что такое предположение согласуется с формальным определением предела. Возьмем любое е> 0 (например, 0,001). Неравенство |jc<1-0|<f, или —<є, выполняется для всех и> —.

1 п є

Поэтому приняв за и0 ближайшее к — справа целое число (в нашем примере и0 = 1001), мы будем иметь для всех и > п0 неравенство хп 0) < є, следовательно, lim хп = 0.

Пример 1.2. Пусть х"„~*= ?^(п єN), покажем, что

П + 1

lim*n = l. Взяв произвольное є > 0, составим неравенство

л-юо

х„1| < £ и выясним, для каких и оно справедливо. Имеем:

п + 1

2 ,22

И + 1 £■ Є

2

Таким образом, приняв за я0 ближайшее к — -1 справа положительное целое число, будем иметь хп -1| < є для всех п > п0, что означает справедливость равенства lim xn = 1.

2°. Основные положения о пределах последовательности

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Действительно, предположим, рассуждая от противного, что некоторая последовательность {дгп} имеет два различных предела а и b, а * Ъ.

(//////«//////) (//////«//////О ►

Выберем столь малые окрестности точек а и b (рис. 1.6), чтобы они не имели общих точек. Поскольку lim х = а, то всед:и, начиная с некоторого номера и,, содержатся в выбранной окрестности точки а; точно так же из lim хп = b следует, что все хп, начиная с некоторого номера п2, содержатся в выбранной окрестности точки Ь. Положим л0 = тах{и,, и2}. Тогда числа хп с номерами и > и0 должны принадлежать как первой, так и второй окрестности, что невозможно, так как окрестности не имеют общих точек.

Сходящаяся последовательность всегда ограничена.

Напомним, что множество чисел X называется ограниченным, если существует такой отрезок [а, Ь] числовой оси, который содержит все числа из X. Или (что эквивалентно): множество X ограничено, если существует такое А > 0, что для всех чисел х из X имеем: х < А.

Доказательство положения 2) о пределах не составляет труда. Пусть lim х= а. Положим є = 1 и найдем номер и0, начиная с которого х„-а < 1, т.е. -1 < хп а < 1 для п > п0.

Отсюда следует а 1 < хП < а + 1 для всех п > л„. Заменим отрезок [а-1; а + 1] таким (быть может, большим) отрезком [А; В], чтобы в него попали не только числа дг, и > л0, но и все числа х2,хп . Тогда будем иметь xn е [А; В] для всех n eN, что означает ограниченность множества {*„}.

Если члены сходящейся последовательности {хя} удовлетворяют неравенству хп > 6, то и lim хп > Ь.

Доказательство. Пусть \тхп = а. Предположим,рассуждая от противного, что а < Ь. Выберем окрестность точки а (рис. 1.7) так, чтобы все числа из этой окрестности были строго меньше числа Ь. В этой окрестности, по определению предела, должны содержаться все числа хп, начиная с некоторого номера л0. Но это невозможно, ибо все эти числа по условию > Ъ. Получили противоречие.

—(//////'//////) • ►

а Ь Рис. 1.7

Замечание. Пусть все хп удовлетворяют строгому неравенству хп > Ъ. Напрашивается вывод, что и lim xn > Ь. Это не всегда так; можно лишь утверждать, что limхп> ь ■

Пример: для последовательности *„ =~(п » все члены которой строго больше 0, предел равен 0.

Если члены двух сходящихся последовательностей {хп} и {уп} связаны неравенствами х„ > у„{п = 1,2,...,), то и Іітхп>1ітуя.

Доказательство проведите самостоятельно.

Если члены трех последовательностей {хп}, {уп}, {zn} связаны неравенствами ха > уп > z„(n = 1,2,...) и при зтом последовательности {xj и {zn} имеют один и тот же предел а, то и последовательность {уп} имеет предел а.

Это свойство пределов иногда называют «леммой о двух милиционерах» (сообразите, с каким сюжетом связано такое название).

Доказательство. Выберем любую окрестность точки а. Существует номер nv начиная с которого все числа хп принадлежат этой окрестности, и номер п2, начиная с которого все zn принадлежат той же окрестности. Ввиду того, что хп > уп > zn, все числа уп, начиная с номера nQmax {и,, «2}, также принадлежат выбранной окрестности. Это и доказывает, что lim уп = а.

ъ (ь ЪЬЛ

иметь уп>~2 {достаточно рассмотреть окрестность \<2,~2J точки Ь), следовательно, Ъу> ^-. Оценим теперь разность между—и предполагаемым пределом ^. При п > л, будем иметь

Уп

2

_L_I Уп ъ

Пусть теперь £•> 0 произвольное положительное число. Поло-жим є' — є и, пользуясь определением предела, найдем такой номер и2, начиная с которого [ynЬ < є'. Тогда для любого номера и, большего чем и, и и2, будем иметь

Ь2/2

J__i Уп ь

3 Общие правила нахождения пределов

Кроме рассмотренных выше положений 1) 5) о пределах, имеется несколько правил, постоянно применяемых при нахождении пределов. Перечислим эти правила.

Пусть lim хп= а и lim^n= Ъ. Тогда:

1іт(дс„+ у„) = а + Ь

(словами: «предел суммы равен сумме пределов»);

lim(xn уп) = аЪ

(словами: «предел произведения равен произведению пределов»);

Hm-UI,

Уп ь

если все числа уп, а также и сам предел Ь, отличны от нуля;

если все уп, а также Ь, не равны нулю.

Ограничимся доказательством только правила 3, предоставив правила 1, 2, 4 доказать читателю самостоятельно. Пусть, для определенности, Ь>0. Начиная с некоторого номера и,, будем

16

Отсюда следует, что lim — =

Уп ь

4*. Монотонные последовательности

и их пределы

Определение. Последовательность {хп} называется: возрастающей, если хп<хп+1 для всех п, неубывающей, если хп< хп+1 для всех п, убывающей, если хп>хп+1 для всех п, неубывающей, если хп> хп+і для всех п.

Все такие последовательности называются монотонными. Справедлива следующая фундаментальная

Теорема 1.1. Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

Разумеется, в случае возрастающей (или неубывающей) последовательности ограниченность означает фактически ограниченность сверху, т.е. существование такого числа А, что все хп<А. Действительно, ограниченность такой последовательности снизу очевидна (все хп > *,). Точно так же в случае убывающей (невоз-растающей) последовательности ограниченность означает ограниченность снизу.

О—1442 1 7

Строгое доказательство теоремы требует уточнения самого понятия действительного числа (заниматься этим мы здесь не будем). Геометрический же смысл теоремы весьма прост: если, например, последовательность {jtn} возрастает (рис. і .8) и при этом ограничена сверху, то это означает, что с ростом п точки хп на числовой оси смещаются вправо, но при этом не переходят через некоторый рубеж А. Геометрически ясно, что в этом случае числа хп должны накапливаться к некоторому числу а, которое и будет, таким образом, пределом последовательности {хп}.

х—х х х х • 1 ^.

х х2 хг а А

Рис. 1.8 §1.3. Число е

Рассмотрим последовательность, состоящую из чисел

хи=(і + і)",и = 1А.... (1.2)

Нижеследующая таблица дает представление о некоторых из чисел хп:

5 Бесконечные пределы

Определение. Говорят, что последовательность {хп} имеет своим пределом +<х>, если для любого (сколь угодно большого) числа А > О существует такой номер п0, начиная с которого все числа хп больше А:

(VA>0)(3n0),n>nQ^xn> А. В этом случае пишут: lim хл +оо.

л-юо

Например, каждая из последовательностей

имеет пределом +00 (докажите).

Аналогично определяется предел -оо: запись lim хп = -со означает, что

(VA>Q)(3n0),n>nQ^ х„ <-А.

Очевидно, если lim хп=+са или lim хп= оо, то lim— = 0 (предполагается, что все хп* 0). Х"

Пределы +со я -оо называются бесконечными (или несобственными) пределами.

Видно, что числа хп растут, но этот рост постепенно замедляется. Напрашивается предположение, что последовательность {хп} сходится.

Для доказательства сходимости рассмотрим другую последовательность

и установим, что:

а) последовательность {уJ убывает;

б) последовательность {yj ограничена снизу числом 2, т.е.

уп > 2 для всех п.

Предварительно докажем так называемое Неравенство Б ер нуля и. Для любого а >-1 и натурального р справедливо неравенство

(l+af>+pa. (1.3)

Доказательство. Убедимся, что если неравенство (1.3) верно для некоторого показателя степени р, то оно верно и при показателе р + 1. Имеем

(1+ оГ=(1+ af(l+ а)>(1 + ра)(+ а) = = 1 + (р+1)+/?а2>1 + (р+1)а.

Далее заметим, что неравенство (1.3) безусловно верно для р = 1; в силу доказанного выше оно будет тогда верно и для р = 2, затем для р = 3 и т.д. Значит, неравенство (1.3) верно при любом натуральном р.

Теперь легко получаем неравенство уп > 2:

у=Гі + іУ+І >1+Л±! = 1 + 1 + 1>2.

,я ч п) л л

§1.4. Предел функции

Осталось доказать, что числа уп убывают. Оценим для этого

Уп .

отношение

Упп+1 / ,и+1

Уп Уп 

,+„4 ,-4

Л /V л

и, поскольку из неравенства Бернулли следует, что 1 + и'~т-(і + ~т] , то имеем

Л V Л '

_У

Уп-1

Отсюда вытекаету„<уп_1 при любом л, т.е. числауп убьшают. Итак, последовательность {уп} убывает и ограничена снизу (числом 2). По теореме из параграфа 1.2 отсюда следует, что

существует число lim>>n. Учитывая, что хп ^" , можем записать

1 + hmx„ = lim rany„ = lmy„,

1 + -n

т.е. предел xn существует и совпадает с пределом уП. Определение. Числом е называется предел

limfl+ 1

л-»<юЧ Л

Подсчитано, что начальный отрезок десятичного разложения для е имеет вид 2,718281828.

1*. Определение и примеры

Пусть функциях*) определена в некоторой окрестности точки х0, исключая, быть может, саму точку xQ. Поскольку такая ситуация будет встречаться у нас многократно, введем для нее подходящее название. Окрестность (*„-£•; х0 + є ) точки xQ, из которой исключена сама точка х0 (т.е. фактически множество (д:0є; х0) и (дс0; х0 + є )) назовем проколотой окрестностью точки xQ. Итак, пусть j{x) определена в проколотой окрестности х0.

Выберем в этой окрестности какую-нибудь последовательность xv х2, ... , сходящуюся к точке xQ: \тх„ = х0 Значения

функции в выбранных точках образуют последовательность Дх,),

J(x2),... и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.

Определение. Число а называется пределом функции Дх) в точке х0 (или пределом при х —> х^), если для любой сходящейся к xQ последовательности значений аргумента, отличных от х0, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу а, т е.

lim хп= х0(хп * х0) => lim j{xn) = а. В этом случае пишут:

lim/(*) = <». (1.4)

х-*ха

Пример 1.3. Постоянная функция j{x) = с имеет предел в любой точке *0, причем этот предел равен с. Действительно, в этом случае все числа j[x), Дх2), ... равны с, поэтому limjt*,,) = с.

Пример 1.4. Функция ftx) = x в произвольной точке х0 имеет предел xq. Действительно, пусть последовательность {х } сходится к д;0. Последовательность {/(*„)} совпадает с {дсп}, поэтому ее предел также равен xQ.

Пример 1.5. Пусть fix) = х2. Тогда іт/(х) = х^. Дейх-*хй

ствительно, пусть {хП} сходится к х0. Соответствующая последовательность значений функции будетх2, х2;... ее предел равен xQ2, так как

lim х2 = lim (*„■*„) = lim хнlim xn =xQ-x0 = x2.

2*. Основные положения о пределе функции

Эти положения аналогичны соответствующим положениям о пределе последовательности.

Функция fix) в точке х0 может иметь только один предел.

Доказательство. Пусть Hm /(хя) = а и одновременно

lim /(*„) = b, где а* Ь.

Тогда для любой последовательности {хя}, сходящейся к х0 (где все хп * х0), мы должны иметь

1іт/(дг„) = аи Vunf(xn) = b,

л-»оо n-*<JO

что невозможно, так как последовательность {/(*„)} может иметь только один предел.

Если функция fix) имеет предел в точке х^ то в некоторой окрестности этой точки функция ограничена, т.е. существует такая (проколотая) окрестность точки х0 и такое число А > О, что fix) | < А для всех х из этой окрестности.

Доказательство проведем от противного. Пусть в любой окрестности точки Хд функция fix) не ограничена. Возьмем какую-либо окрестность (х0є; х0 + є); ввиду неограниченности fix) в этой окрестности должна найтись точка х{(х{* х0), такая, что fix}) | > 1. Уменьшим вдвое эту окрестность, т.е. рассмот( £ А

рим окрестность |^х0 -—; х0 + —J; в ней снова должна найтись точка х2(х2 # х0), такая что fix2) | > 2. Продолжив это рассуждение,

получим последовательность х,, х2,сходящуюся, очевидно, к точке х0. Соответствующая последовательность fixt), fix2),...

должна сходиться к числу а = lim /(х). Но эта последовательного

ность не является ограниченной (ибо | fixn) | > п при любом и), поэтому сходиться не может (§1.2, п. 2). Получили противоречие.

3 Если для всех точек х некоторой (проколотой) окрестности точки xQ выполняется неравенство fix) > b, то и lim f(x) > b, если только указанный предел существует.

*-»*о

Доказательство проведите самостоятельно. Воспользуйтесь соответствующим свойством предела числовой последовательности.

Если в некоторой (проколотой) окрестности точки х0 имеем fix) > g(x), то и lim f(x) > lim g{x),e^u только укаХ-»ДС() х-*хй

занные пределы существуют.

Доказательство также проведите самостоятельно.

Если в некоторой (проколотой) окрестности точки х0 имеем

fix)>g(x)> Ых),

причем пределы fix) и h(x) при х > х^ существуют и равны между собой:

lim f{x) = lim Л(х) = а,то и lim g(x) = а

x-»*0

И в этом случае рекомендуем провести доказательство самостоятельно, воспользовавшись соответствующим свойством предела числовой последовательности.

3*. Общие правила нахождения пределов функций

Пусть существуют пределы

lim /(х) = а и lim g(x) = Ь.

X-*Xq х-*х0

Тогда:

1. im(f(x) + g{x)) = a + b;

х->х0

2. lim(f(x)g(x)) = ab;

х-*х0

MI» g{x) b если g(x) ^0 в окрестности Xq, а также 6*0

х-*х0 g(x) Ь

если g(x) * 0 в окрестности точки х0, а также Ь * 0 •

Каждое из этих правил вытекает из соответствующего правила для пределов числовых последовательностей (§ 1.2, п. 3°). Предоставим читателю провести необходимые рассуждения самостоятельно.

Пример 1.6. Найти предел функции

х + х-5

в какой-нибудь точке xQ, где знаменатель отличен от нуля.

На основании правил 1 и 2, а также учитывая, что предел постоянной функции равен ей самой, имеем:

lim(x3 2) = lim х03 lim 2 = х03 2, lim (x2 + x 5) = lim x2 + lim x lim 5 =

*-»*0 / x-tx0 x-*x0 x->x0

= xQ + x0 — 5, после чего согласно правилу 4

Ит /(*) = 2*°3"2 = /(*„). *-«o x0+x0-5

Мы видим, что в данном примере оказалось

lim Дх) = /(х0).

X->XQ

Это важное свойство функции fix), называемое непрерывностью (в точке х0), будет обсуждаться в §1.8. Пока лишь заметим, забегая вперед, что им обладают все элементарные функции.

4*. Более общий подход к понятию

предела функции

Пусть Х-некоторое множество точек на числовой прямой.

Определение. Точка х0 называется предельной для множества X, если существует последовательность точек хх, х2,... из множества X, отличных от х0, и сходящихся к х0.

24

При этом сама точка х„ может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X.

Пример 1.7. Для множестваX = (0; 1) (интервала), точки 0 и 1 являются предельными, хотя сами не принадлежат X.

Определение. Пусть функция у =fix) определена на множестве X и пусть xQ предельная точка для X. Число а называется пределом функции /(х) в точке х0 (или при х-> xQ), если для любой последовательности х,, х2, ... точек из X, отличных от х0 и сходящихся к х0, соответствующая последовательность значений функции fixx), f{x2), ... сходится к числу а.

Если функция fix) определена справа от х^ точнее, в интервале вида (х^ х0+Л), где h > 0, то предел fix) при х -» х0 (если он существует) называют правосторонним пределом fix) в точке

хп и обозначают lim /(х), а также lim /(х) или даже еще

и Jt->x0 спрааа x-tXQ+0

короче fixQ+0).

Аналогично определяется левосторонний предел. Если в точке х0 существуют как предел fix) справа, так и предел слева, причем оба пределы равны, то существует и просто предел fix) при х -» х0, совпадающий с обоими односторонними пределами.

И обратно, если существует lim /(х) = а, то существуют и оба

односторонних предела, которые совпадают с а (докажите самостоятельно).

Пример Л А Для функции

+ 1 при х > 0, /(x) = sgnx = -0 прих = 0, 1 при х < 0

имеем lim /(х)=1, lim /(х) = -1.

х_>0+0 v ' х-»0-0 v '

5*. Предел при х + оо ил ИХ -» ао.

Бесконечный предел

Данное нами ранее определение предела функции придает смысл равенству lim fix) = а. При этом предполагается, что х0

и а обычные (т.е. конечные) числа. Между тем часто приходит25

ся рассматривать случаи, когда xQ есть + оо или оо , а также когда а есть + оо или оо . Для таких случаев мы сохраняем данное выше определение предела функции. А именно, равенство

lim f(x) = а во всех случаях означает следующее: для любой

последовательности {х }, сходящейся к дг0, соответствующая последовательность {/(*„)} сходится к а. В частности, например, равенство

lim f(x) = -оо

х-»+«о

означает, что для любой последовательности {*„}, такой что lim хп = +оо, должно выполняться равенство lim f(x„) = -оо.

л-froo л-*оо

1 х 1

Пр им ер 1.9. Покажите, что lim — = +оо, lim = 1.

*-»Одс X + 1