§1.5. два замечательных предела

§1.5. два замечательных предела

1) Докажем равенство

(,5)

Этот предел обычно называют первым замечательным пределом.

Доказательство. Так как функция четная,

1^1

-OA МК <-ОАAM <-ОА AT или sin х < х < tg х.

2 2

Деля на sin х, получим

1<-^-< 1

sinx cosjc или

, sin л:

1 > > cosjc.

х

При х —> 0 (справа), очевидно, имеем lim cos х = 1. Значит, пределы обеих функций 1 и cos х при х —> 0 (справа) равны 1. Отсюда по одному из положений о пределе функции (§1.4, п.2°, положение 5) получим требуемое равенство (1.5).

2) В дополнение к установленному ранее пределу

limfl + -l =е (1.6)

установим еще два равенства:

lim Г1 + — J =е, limfl + —) = е. (1.7)

Очевидно, что равенство (1.6) есть как бы частный случай первого из равенств (1.7), когда х стремится к + оо , принимая только целые значения.

Доказательство. Сначала докажем первое из равенств (1.7). Пусть х любое число. Найдем такое целое число п, чтобы выполнялись неравенства

п<х<п + \; (1.8)

число п называют обычно целой частью числа х и обозначают Е{х). Будем считать х > 1, тогда, очевидно, п > 0. Из (1.8) следует

1 + !>1 + 1>1 + _1 (19)

п X и+1 v '

Поскольку п + 1 > х > п, то из (1.9) следует

,л+1

или

где

/М>(і-Д)х >*(*),

Итак, после года хранения вклад станет А. + А0= 2 А0, т.е. удвоится. Можно однако, добиться большего эффекта, если по истечении 0,5 года закрыть счет и тут же открыть его снова на очередные полгода. В этом случае к концу первого полугодия вклад

1 . . (. Г

станет равным А> + ~ - + ~J> а к концу года будет рав-

и + 1

При х —> -ню, очевидно, и также стремится к + оо , поэтому j[x) и g(x) будут иметь общий предел е. Согласно одному из свойств

предела функции (§ 1.4, п.2°, положение 5), предел функции ^ 1 + —j

при х —» +со также будет равен е, что требовалось получить. Докажем второе равенство (1.7). Пусть х = -1, где t > 0. Имеем

Теперь ясно, что при х —> -оо, т.е. когда ґ —» +оо, выражение в правой части будет иметь предел, равный

limfl + J-1 ■ limfl + -Q = e-l = e,

,->-КхЛ t-) ,->-kx>V t-V

что завершает доказательство второго равенства (1.7).

Любую из формул (1.7) называют вторым замечательным пределом.

ным

А0^ + —j = 2,25aq. Если операцию по закрытию и открытию счета производить чаще, то получим еще больший эффект: например, если эту операцию проводить в конце каждого месяца,

( iV2

то к концу года будем иметь + ~ 2»613Л„, а если открывать и закрывать счет каждый день, то конечная сумма со( і V65

ставит + "jgjj = 2,715^ руб. Если представить себе (что,

конечно, является абстракцией), что операция открытия-закрытия производится непрерывно, то в итоге к концу года вклад составит

4)limfl + -l = Ао-е = 2,718. .Ад руб.

п-»« П/

Таким образом, при номинальной ставке 100\% эффективная ставка может составить 171,... \%, что существенно лучше.

1 +

л—>оо

Аналогичное рассуждение можно провести для случая, когда номинальная ставка банка будет р\% (вместо 100\%). Тогда (теоретически) возможная конечная сумма вклада будет

ЮОи