4.6 определение платежей аннуитета

4.6 определение платежей аннуитета

Основное уравнение аннуитета (1) определяет взаимоотношения между величинами S , R , n и i. Подобным образом, равенство (3) определяет зависимость между A , R , n и i . В каждом из этих случаев если мы знаем три из этих величин, четвертая может быть определена Когда известны S , n и i , периодические платежи аннуитета находятся из уравнения (1)

R =

S

= S

1

ni

(13)

Для быстрого определения R при отсутствии вычислительных средств составлены таблицы величины (1/ s ) для обычно используемых

значений параметров n и i.

Когда даны A , n и i, формула для R получается из равенства (3)

А

1

R =

a

n|i

= A

a

n|i

(14)

Для быстрого определения (1/

специальную таблицу, так как по выражается через табулированную

добавлением известного параметра i .

тождеству (12) величину (1/ s

эта величина ) простым

n|i

Следует заметить, что формулы (13) и (14) справедливы только для обыкновенных аннуитетов. Когда определяются платежи полагающихся или отсроченных аннуитетов, не следует использовать эти формулы. В таких случаях нужно возвращаться к общей процедуре определения составляющих аннуитета, выписывая уравнение эквивалентности.

ПРИМЕР 1 Сберегательный банк начисляет проценты по норме j4 = 3\% . Какой величины вклады необходимо делать в конце каждого квартала, чтобы накопить за 5 лет 1 млн рб ?

РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме 0 1 2 3 4 ... 18 19 20

I I I I I I I I

R R R R ... R R R

1 млн

Выпишем уравнение эквивалентности для даты сравнения в конце двадцатого периода начисления. Это дает

1 млн рб = R S 2у|0,0 0 7 5 .

Разрешая его относительно R , получим

R = 1/ s 2¥|0 0 0 7 5 = 1 х 0,04653063 = 46530,63 рб.

ПРИМЕР 2 Стиральная машина стоит 500 тыс рб наличными. Она может быть приобретена также в рассрочку путем начального платежа 200 тыс рб и одинаковыми ежемесячными взносами в течение двух лет. Найти величину ежемесячного платежа, если деньги стоят j12 = 3,5\% .

РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме

0 1 2 3 ... 22 23 24

I I I I I I I

200 R R R ... R R R 500

Месячная норма процента равна (7/24)\% . Уравнение эквивалентности с датой покупки в качестве даты сравнения имеет вид

2 4 |7 / 2 4

Разрешая его относительно R , получим

R = 300 х (1/а ЇТІ7/24 ) •

Из тождества (12) находим

(1/а _, ) = (1/s_, ) + 0,07/24 = = 0,04028606 + 0,00291667 = 0,04320273 .

Поэтому R = 300 х 0,04320273 = 12,96 тыс рб .

ПРИМЕР 3 Студент занимает 2 млн рб, чтобы заплатить за обучение в течение года. Он обещает возместить долг с процентами при j2 = 4,5\% десятью полугодовыми взносами. Первая выплата будет сделана через три года после получения займа. Какими должны быть эти взносы ?

РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме

0 1 2 ... 5 6 7 ... 14 15

I I I I I I I I

R R ... R R

2 млн

Способ 1. Запишем уравнение эквивалентности, используя конец пятого полугодия в качестве даты сравнения

R а пг|2,25о\% = 2 х (1,0225) 5 млн рб .

Умножение этого равенства на (1/ а —12 2 5 \% ) дает

R = 2 х (1,0225) 5 х (1/ а , 25 \% ) млн рб = = 2 х 1,11767769 х 0,11278768 млн рб = 252,11 тыс рб .

Способ 2. Добавим дополнительные платежи в концах первых пяти периодов в обе строки платежей. Тогда диаграмма преобразуется к следующему виду

0 1 2 ... 5 6 7 ... 14 15

I I I I I I I I

(R) (R) ... (R) R R ... R R 2 млн (R) (R) ... (R)

Уравнение эквивалентности для дня получения долга в качестве даты сравнения имеет вид

R а—, = 2000000 + Rа-, .

15 12 , 2 5 \% 5|2 , 2 5 \%

Разрешая его относительно R , получим

R = 2000000/( a —, a ) =

^ 15 12 , 2 5 \% 5|2 , 2 5 \% '

= 2000000/(12,61216551 4,67945253) = 252,11 тыс рб .