11.1. задача потребительского выбора

11.1. задача потребительского выбора: Макроэкономика, Елена Алексеевна Туманова, 2004 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Учебник предназначен для изучения курса «Макроэкономика» магистерского уровня. В нем излагаются макроэкономические проблемы, актуальные для российской экономики, содержатся примеры использования макроэкономических моделей для анализа конкретных ситуаций,

11.1. задача потребительского выбора

Рассматривается задача оптимизации деятельности репрезентативного домашнего хозяйства. При принятии решений оно учитывает благосостояние и ресурсы своих настоящих и будущих членов, т. е. считается, что каждая семья живет бесконечно долго и между ее поколениями существуют альтруистические связи. Таким образом, можно условно считать, что ее решения аналогичны решениям бесконечно живущего индивида. Задача оптимизации потребительского поведения репрезентативного домашнего хозяйства с L работающими членами аналогична задаче оптимизации совокупного потребления в экономике с численностью населения L. Пусть население растет с постоянным темпом п и численность населения в нулевой момент времени равна 1, т. е. L, = е"'. Функция полезности индивида (домашнего хозяйства, представляющего все население) имеет вид:

U = u(c,)e-?ldt, (11.1) о

где с, — потребление на душу населения в момент времени /;

р (р > 0) — коэффициент дисконтирования, отражающий межвременные предпочтения индивида.

Таким образом, функция полезности представляет собой взвешенную сумму всех будущих значений полезности, причем веса определяются с помощью индивидуальных коэффициентов дисконтирования. Функция полезности является сепарабельной, т. е. полезность в каждый момент времени зависит только от потребления в этот момент.

и'(с)>0; и"(с)<0 и выполняются условия Инада:

\т и'(с) = °°; limw'(c) = 0. с->0 с->~

Коэффициент дисконтирования для индивида и всего поколения один и тот же. Рассматривается закрытая экономика с реальными переменными, т. е. все переменные измерены в единицах товаров и услуг. Экономика работает в условиях совершенной конкуренции.

Доходы индивида складываются из заработной платы и доходов, полученных за принадлежащие ему активы. Свои доходы он тратит на потребление и сбережения в форме накопления дополнительных активов. Активы — это капитал либо заемные средства. Заемные средства могут быть и отрицательными, в этом случае их величина представляет собой долг. Домашнее хозяйство может как давать в долг, так и занимать средства у других домашних хозяйств, но, в конце концов, долги должны быть возвращены. Капитал и заемные средства являются совершенными заменителями, поэтому в каждый момент времени t приносят одинаковый доход в виде реального процента г,.

Пусть в момент t чистые реальные активы (капитал и заемные средства за вычетом возврата долга), приходящиеся на каждого индивида, — а,, реальная ставка заработной платы — w,, тогда его доходы составят (w, + г, at). Вследствие роста населения активы в каждый момент времени уменьшаются на величину па,, поэтому бюджетное ограничение индивида имеет вид:

a = w + ra-c-na. (11.2)

Рынок заемных средств накладывает ограничение на займы — нельзя бесконечно выплачивать взятые кредиты за счет новых долгов (условие отсутствия игры Понци). Так как чистый долг в расчете на члена семьи растет с темпом г — п, то это ограничение имеет вид:

-J[r(v)-« dv

\та,е 0 >0. (11.3)

Таким образом, задача оптимизации поведения потребителя сводится к максимизации функции (11.1) при ограничениях (11.2) и (11.3). Эту задачу динамической оптимизации можно решить с помощью принципа максимума Понтрягина.

Для этого строится функция Гамильтона

Н = u(c)e~pl + X(w + ra-c-na). Необходимые условия для ее максимизации имеют вид

^ = и'{с)е-Р' К, откуда и'(ф-Р' = Я.; (11.4) ас

— = (г-п)Х = -, откуда І = -(г-п)Х. (11.5) да

Условие трансверсальности:

limVr =°(11-6)

Здесь X представляет собой приведенную теневую цену активов.

Дифференциальное уравнение (11.5) — это уравнение Эйлера, описывающее необходимое условие, которому должна удовлетворять каждая оптимальная траектория. На основании этого уравнения сформулировано правило Кейнса—Рамсея. Оно было выведено

Рамсеем и проинтерпретировано Кейнсом. Смысл этого правила можно проиллюстрировать следующим образом.

Возьмем логарифм от обеих частей (11.4) и продифференцируем полученное уравнение по времени.

1пА = 1п«'(с)-рґ; ^ = І^с-р. (11.7) А и (с)

X

Из (11.5) —-п-г, откуда с учетом (11.7) получаем X

и'{с)

Подпись: -. (11.8)
с
г — п = р

Поскольку выражение в квадратных скобках в правой части

(11.8) отрицательно, динамика потребления во времени І I завине,

сит от соотношения дохода на капитал г за вычетом темпа роста населения п и коэффициента межвременного предпочтения р. Потребление будет расти во времени ^— >oj, если доход

на капитал в расчете на каждого члена семьи выше нормы дисконтирования, падать в противном случае и оставаться постоянным, если эти коэффициенты совпадают. Другими словами, домашние хозяйства готовы отказаться от части сегодняшнего потребления ради увеличения его в будущем, если этот отказ будет компенсирован доходом, превышающим норму межвременного предпочтения. Размер этой компенсации определяется выражением, стоящим в квадратных скобках (11.8). Оно представляет собой эластичность предельной полезности по потреблению. Это выражение показывает, насколько (г — п) должно превышать р для каж-с

дой величины —. Чем выше эластичность, тем больше должен с

быть разрыв между (г — п) и р для заданной величины -. Эласс

тичность предельной полезности по потреблению является величиной, обратной к эластичности межвременного замещения. Для того чтобы существовало стационарное состояние (г — const,

— const), эта эластичность должна асимптотически стремиться с

к постоянной величине. Поэтому в качестве функции полезности с0-е) _,

обычно используют функцию и(с) =—j—-— с постоянной эластичностью замещения, равной 1/0. При подстановке этого выражения в (11.8) получаем

£ = 1(г-й-р). (11.8') с 6

Условие трансверсальности (11.6) означает, что стоимость активов домашних хозяйств, представляющая собой произведение их теневой цены X на количество а, должна со временем стремиться к 0. Если бы речь шла о конечном временном горизонте, то это означало бы, что к концу все накопления должны быть истрачены. При бесконечном временном горизонте это условие выполняется в предельном смысле.

Если решить дифференциальное уравнение (11.5), то можно получить траекторию изменения теневой цены во времени:

-j[r(v)-n lv

X, = Х0е 0

Из (11.4) следует, что Х0 = н'(с0)>0, т. е. Х0 — положительная константа. Таким образом, если подставить полученное решение в условие трансверсальности, то оно примет вид

-j[r(v)-ndv

imate 0 =0. (П.6')

Отсюда следует, что активы не могут расти с темпом г—п и выше, такое решение будет неоптимальным, поскольку полезность в случае увеличения потребления за счет отказа от части накоплений будет возрастать. В случае постоянных займов (а,< 0) желание расплачиваться за долги путем новых заимствований, т. е. желание накапливать долг с темпом г — п и выше, сдерживается отсутствием кредиторов, готовых накапливать активы с темпом г—п и выше. Отсюда становится понятной необходимость введения в задачу потребительского выбора условия отсутствия игры Понци (см. условие (11.3)).

Макроэкономика

Макроэкономика

Обсуждение Макроэкономика

Комментарии, рецензии и отзывы

11.1. задача потребительского выбора: Макроэкономика, Елена Алексеевна Туманова, 2004 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Учебник предназначен для изучения курса «Макроэкономика» магистерского уровня. В нем излагаются макроэкономические проблемы, актуальные для российской экономики, содержатся примеры использования макроэкономических моделей для анализа конкретных ситуаций,