13.2. модель мультипликатора-акселератора с учетом временных лагов
13.2. модель мультипликатора-акселератора с учетом временных лагов
В этом варианте модели мультипликатора—акселератора учитываются лаги в реализации потребительских и инвестиционных решений. Пусть потребительские расходы в экономике определяются доходом предыдущего периода
С, = а0 + ах ■ Г,_,, а0>0' 0<а,<1. Индуцированные инвестиции зависят теперь от изменения дохода в предыдущий момент времени
/,= Ь0 + Г,_2), Ь0, А, > 0.
Тогда условие равновесия на рынке товаров и услуг описывается как
Y, = а0 + Ь0 + с0 + (я, + Л, • Yt_2. (13.6)
Отсюда видно, что доход текущего периода положительно зависит от дохода предыдущего периода и отрицательно от дохода периода t— 2.
В долгосрочном стационарном состоянии, когда Yl=Yl_l =
= Yf_2 = Y, равновесный доход составит Y = °° + ^° + С° . Проанализируем динамику отклонения текущего дохода от его равновесного значения. Для этого представим, как и ранее, текущий доход
Y,=AYt+Y.
Тогда (13.6) преобразуется в
Y+AY, =a0 + b0 + c0 + (al+bl)(Y+AYt_l)-bl(V + AY,_2). (13.7)
После приведения подобных получим
AY, =(al+b])AYt_l-blAYl_2. (13.8)
Условие (13.8) является однородным конечно-разностным уравнением 2-го порядка.
Для нахождения и исследования динамических свойств решения однородного разностного уравнения 2-го порядка (13.8) используются корни Хх и Х2 так называемого характеристического уравнения [2,12]
X2 (а, + ЬХ)Х + А, = 0. (13.9) Корни характеристического уравнения (13.9)
(13.10)
В зависимости от дискриминанта характеристического уравнения эти корни могут быть:
действительными и не равными друг другу, если дискриминант больше нуля, т. е. (ах + Ьх)2 > 4ЬХ,
действительными кратными при (ах + bx)2 = 4ЬХ;
мнимыми, если дискриминант меньше нуля, т. е. (ах + bx)2 < 4bx.
Тогда решение исходного разностного уравнения (13.8) в случае неравных друг другу корней (действительных или мнимых) может быть представлено в виде
AY, = кхХ+к2Х2, (13.11) а зависимость дохода от времени
Yt = Y +кхХ +к2Х , (13.11')
где кх, к2 — коэффициенты, определяемые начальными условиями экономики.
В случае же кратных действительных корней Х] = Х2 X = уЛ, j решение (13.8) записывается следующим образом
ЬУ,=к$ + k2tX'. (13.12)
Тогда траектория дохода
Y^Y+kft+kjtX'. (13.12')
Если корни характеристического уравнения мнимые, то выражение (13.10) можно представить в виде
Л,, 2 =Л±V/,
где я — ;
2
Тогда решением (13.11) будет выражение
ДК, =klX + к2Х'2 =/t,(A + v/)' +k2(h-vi)', (13.13)
откуда трудно в явной форме выявить особенности динамики поведения ДК,. Поэтому удобно комплексные числа представить в тригонометрической форме
(h±vi)' = R'(cos wt± і sin wt), (13.14)
где R = V/г2 + v2 = Jbx;
w — радианная мера угла в интервале [0, 2л], для которого v
tgw = -. А
Тогда решение (13.13) можно записать в виде i_
А К, = b (A", cos и* + А2 sin w/),
где Kh К2 —действительные числа, определяемые в зависимости от начальных условий.
Траектория движения дохода в этом случае
К, = К +b2(Kxcoswt + K2sinwt). (13.15)
Исследуем теперь равновесие на устойчивость. Оно будет устойчивым, если
НтДУ, =0. (13.16)
Очевидно, что условие (13.16) выполняется тогда и только тогда, когда < 1 и Х2 < 1. Если учесть, что по теореме Виета акселератор Ьх = Х{к2, а суммарная чувствительность потребления и инвестиций к доходу ах + Ьх = Хх + Х2, то из положительности ах и Ьх следует, что корни характеристического уравнения всегда неотрицательны:
0 < А., <1 и 0< Aj< 1. (13.17)
Из (13.10) следует, что (13.17) выполняется, если ах + Ьх< 2. С учетом теоремы Виета в случае (13.17) b{ < 1. Поскольку 0 < а, < 1, то равновесное состояние является устойчивым, если Ьх < 1 и экономика, выведенная из состояния равновесия внешними возмущениями, всегда возвращается в него.
Если же bx > 1, то процесс имеет расходящийся характер и нарушенное равновесие никогда не восстанавливается.
Проанализируем теперь траекторию изменения дохода во времени, определяемую (13.11) или (13.12). Если характеристические корни действительные и различные, т. е. справедливо (13.11), то доход изменяется монотонно — либо увеличивается, либо уменьшается в зависимости от того, превышают ли корни единицу.
Другими словами, независимо от начальных условий при достаточно больших t имеет место монотонное развитие — сходящееся к равновесному состоянию или удаляющееся от него (рис. 13.2).
Если же характеристические корни являются мнимыми и решение записывается в виде (13.15), то динамика отклонения дохода от равновесного имеет колебательный характер. Колебания затухают, и процесс сходится к равновесию, если bx < 1; если же b > 1, то амплитуда колебаний возрастает (рис. 13.3).
Итоговые результаты исследования устойчивости и динамики развития дохода приведены на рис.13.4 и в табл. 13.1.
Можно ли объяснить наблюдаемые деловые циклы с помощью модели. Скорее всего, нет, так как:
циклы, порождаемые детерминистскими моделями, носят регулярный характер, что противоречит эмпирическим наблюдениям;
циклы носят затухающий, взрывной и перманентный характер. Первый и второй противоречат бесконечной повторяемости циклов. Единственный случай повторяющихся циклов — это третий, но он требует слишком редкого сочетания ряда экономических параметров.
VII | ||
I | ^ IV | |
II / | III ^4 |
V^ 1 b
Рис. 13.4. Характер динамики дохода в зависимости от параметров модели мультипликатора—акселератора
Альтернативный подход — стохастические циклы. В них предполагается, что экономика подвержена случайным, но повторяющимся толчкам (шокам), влияющим на спрос или на предложение.
Пусть в экономике предельная склонность к потреблению по доходу прошлого периода составляет 0,75, а чувствительность инвестиций к изменению дохода в прошлом периоде равна 0,3. Предположим, что первоначально экономика находится в неравновесном состоянии. Будет ли экономика приближаться к равновесному состоянию? Опишите траекторию развития экономики в процессе приспособления.
Пусть в экономике предельная склонность к потреблению по доходу прошлого периода составляет 0,75, а чувствительность инвестиций к изменению дохода в прошлом периоде равна 1,5. Предположим, что первоначально экономика находится в неравновесном состоянии. Будет ли экономика приближаться к равновесному состоянию? Опишите траекторию развития экономики в процессе приспособления.
Пусть в экономике предельная склонность к потреблению по доходу прошлого периода составляет 0,75, а чувствительность инвестиций к изменению дохода в прошлом периоде равна 0,1. Предположим, что первоначально экономика находится в неравновесном состоянии. Будет ли экономика приближаться к равновесному состоянию? Опишите траекторию развития экономики в процессе приспособления.
Пусть в экономике предельная склонность к потреблению по доходу текущего периода составляет 0,5, а чувствительность инвестиций к изменению дохода в текущем периоде равна 0,25. Предположим, что первоначально экономика находится в неравновесном состоянии. Будет ли экономика приближаться к равновесному состоянию? Опишите траекторию развития экономики в процессе приспособления.
Пусть в экономике предельная склонность к потреблению по доходу прошлого периода составляет 0,625, а чувствительность инвестиций к изменению дохода в прошлом периоде равна 0,125. Автономное потребление и автономные инвестиции составляют соответственно 120 и 80. Государственные расходы равны 250, чистый экспорт — 150.
а) Определите равновесное значение выпуска в устойчивом
состоянии.
б) Найдите фактическую траекторию развития экономики,
если первоначально (в нулевой момент времени) выпуск равнялся 1300, а в период 1 — 1400. Выпишите в явном виде зависимость фактического выпуска от времени. Определите значение
выпуска во периоде 2.
в) Дайте графическую иллюстрацию траектории развития
экономики. Будет ли экономика приближаться к устойчивому
состоянию?
г) Можно ли с помощью использованной модели объяснить
обычно наблюдаемые в реальности экономические колебания?
Пусть предельная склонность потребления по доходу прошлого периода равна а (0 < а< 1), а инвестиции в запасы пропорциональны изменению потребления по сравнению с прошлым периодом с коэффициентом В (В > 0). Автономное потребление и инвестиции отсутствуют. При наличии государства и внешней торговли определите для этой экономики:
а) равновесное значение дохода;
б) выведите формальное решение, определяющее динамику
дохода во времени;
в) проанализируйте возможные траектории развития экономики в зависимости от значений структурных параметров;
г) дайте графическую иллюстрацию, обобщающую пункт «в».
Рассмотрите модифицированную версию циклов Мецлера, в которой производители стремятся поддерживать постоянное соотношение запасов и объема продаж, а ожидаемое значение объема продаж устанавливается на уровне потребления предыдущего периода. Фактический объем запасов таким образом равен К, = кС,_х — (С, — С,_,). Автономные инвестиции отсутствуют. Определите:
а) функцию инвестиций;
б) равновесное значение дохода;
в) выведите формальное решение, определяющее динамику
дохода во времени;
г) проанализируйте возможные траектории развития экономики в зависимости от значений исходных параметров;
д) дайте графическую иллюстрацию, обобщающую пункт «г».
Обсуждение Макроэкономика
Комментарии, рецензии и отзывы