12.5. альтруистические связи между поколениями
12.5. альтруистические связи между поколениями
Рассмотрим, как изменятся выводы модели, если допустить существование альтруистических связей между поколениями. В этом случае пожилые не обязательно тратят до конца во втором периоде свои сбережения, а допускается возможность трансферта их части последующим поколениям, например, в виде наследства. Таким образом, горизонт модели пересекающихся поколений расширяется и становится бесконечным в том смысле, что индивиды при принятии решений принимают в расчет интересы последующих поколений.
Одним из способов введения альтруистических связей в модель является введение в функцию полезности учета будущей полезности своих потомков (см., например: [6]). Пусть функция полезности имеет вид
1-е _ ■ , 1-0 _ ■ ,
U,=^ !■ + -!-■f*±l—!■ + 1 + я // (12.23)
' 1-е 1+р 1-е (1+р)(1 + у) 1+1
Последнее слагаемое в правой части (12.23) учитывает полезность каждого прямого потомка U/+l. Она, в свою очередь, зависит от потребления в молодости и в старости и от полезности следующего поколения Ul+2 и т.д. Суммарная полезность прямых потомков (1 + n)Ul+l дисконтируется, во-первых, в соответствии с нормой межвременного предпочтения р, поскольку речь идет о следующем периоде времени, и, во-вторых, с коэффициентом у, отражающим предпочтения населения по поводу заботы о потомках.
Если подставить в (12.23) вместо Ul+] его выражение через и,+2 и т.д., то получим функцию полезности в виде
i = 0
1 +п
(i+p)(i + y)
cl,+i 1 1 c2l++i
i-e 1+р 1-е
(12.24)
Предполагается, что (1 + п) < (1 + р)(1 + у).
Пусть каждый представитель молодого поколения в /-м периоде получает от предыдущего поколения наследство в объеме Ь„ а затем, становясь старым, оставляет после своей смерти наследство в объеме bl+l. Тогда бюджетные ограничения принимают вид:
с„ +s, = w, +Ь, (12.25)
cll+]+( + n)bl+i=( + rM)st. (12.26)
Предполагается, что трансферты осуществляются только от родителей к детям, т.е. для любого / bt+i>0 (эта предпосылка ослабляется в [19] и [31]).
Выразим на основании (12.25) и (12.26)
cil+l:= wl+l,+bt+i:~sl+i; / = 0,1,2,... (12.27)
С2/+1+/ = 0 + '}+і+/)*/+,--(і + я)*/+і+і; '=0, 1. 2, ... (12.28)
Подставим (12.27) и (12.28) в (12.24) и выпишем необходимые условия максимизации относительно s, и bt+l. Получим:
дії, і , ч-е ^L = -(Wl+bl+l-Sl) +
+ТТ;[(1 + /,'+і)5'-(1 + л)*'+і]"в(1 + /,^)в0: (12-29)
^ = -Т7^[(1 + г-і)5'-(1 + І,)^]"в(1 + я) +
а°і+ 1 + р
1+И 1 L \"9 П
+ i w r(,і + b , — s. ,) =0.
(l + p)(l + y)V ,+1 ,+1 1+11
Из (12.29), (12.30) следует, что:
_1+и/ ч-в 1 + П J -e_rv
"їТр"^'+^ + (і+р)(1 + у)^
Отсюда
-2/+1
/+1
f + r,
1 + Р
-2Г+1
(12.31)
На основании (12.31)
г+1
1 + г.
10 + p)0+y).
Если проделать аналогичные выкладки для £/,_,, то получим
L = (l+y)e(*)
и, следовательно,
/+1
(1 + р)(1 + у)
Потребление на душу населения в период t составляет
с, = с„ +
С2Г
1 +я'
поэтому с учетом (*)
'1+1
"2/+1
Г+1
U1+p)(|+y)
(12.32)
Уравнение (12.32) является дискретным аналогом одной из стандартных постановок модели Рамсея для случая, когда р = О, т. е. коэффициент дисконтирования отражает только предпочтения по поводу перераспределения потребления родителей в пользу своих детей и не отражает предпочтения насчет перераспределения во времени потребления одного поколения. Поскольку задача фирмы в модели Рамсея и модели пересекающихся поколений различается только в смысле дискретной и непрерывной постановки, равновесные траектории и устойчивые состояния также не будут отличаться. В этом случае динамическая неэффективность становится невозможной, и последствия бюджетно-налоговой политики отвечают равенству Барро—Рикардо. Таким образом, введение в модель пересекающихся поколений предпосылки об альтруистических связях между поколениями фактически делает ее дискретным аналогом модели Рамсея. Однако именно отсутствие этой предпосылки в более реалистичной, чем модель Рамсея, модели с двумя типами одновременно живущих и представляющих различные образцы сберегательного поведения экономических агентов, демонстрирует одну из возможных причин несовершенства рынка и необходимости государственного вмешательства.
Пусть выпуск в экономике описывается производственной функцией вида Y = К1/3(ЬЕ)2/3. Полезность экономических агентов описывается логарифмической функцией. Коэффициент межвременого дисконтирования полезности равен 1.
а) Найдите устойчивый уровень капиталовооруженности в зависимости от темпов роста населения и научно-технологического
прогресса.
б) Пусть в экономике отсутствуют рост населения и научнотехнологический прогресс. Найдите уровень капиталовооруженности и выпуска (оба показателя в расчете на единицу эффективного
труда) в устойчивом состоянии.
в) Пусть научно-технологический прогресс отсутствует, а каждое
последующее поколение вдвое больше предыдущего. Найдите
в этом случае новый уровень капиталовооруженности и выпуска
в устойчивом состоянии.
г) На сколько сокращается разница между текущим и устойчивым уровнями капиталовооруженности за один период?
Пусть экономика описывается условиями задания 1 пункта «в». Капитал не снашивается. Покажите, что в этом случае она динамически эффективна.
Пусть в экономике отсутствует рост населения и научно-технологический прогресс. Покажите, что если зависимость производительности труда от капиталовооруженности в такой экономике описывается функцией j> = ln(l + к), то она имеет единственный тривиальный устойчивый уровень капиталовооруженности.
Пусть выпуск в экономике описывается производственной функцией вида Y = аЬК^ +(1 -ь)1?Ъ. Полезность экономических агентов описывается логарифмической функцией. Коэффициент межвременного дисконтирования полезности равен 1. Покажите, что при В = 0 в такой экономике существует единственное положительное устойчивое состояние.
Докажите, что если в предыдущей задаче В < 0, то существует хотя бы одно положительное устойчивое состояние.
Покажите, что в условиях задания 4, если В > 0, средняя и предельная производительности капитала ограничены, то при больших значениях параметра А будут наблюдаться не меньше двух стационарных состояний, причем одно из них устойчивое.
Покажите, что в условиях задания 4, если В > 0, средняя и предельная производительности капитала ограничены, то при достаточно малых значениях параметра А возможно существование единственного тривиального устойчивого состояния.
Опишите последствия временного увеличения государственных расходов в модели с производственной функцией Кобба— Дугласа и логарифмической функцией полезности.
Обсуждение Макроэкономика
Комментарии, рецензии и отзывы