12.5. альтруистические связи между поколениями

12.5. альтруистические связи между поколениями: Макроэкономика, Елена Алексеевна Туманова, 2004 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Учебник предназначен для изучения курса «Макроэкономика» магистерского уровня. В нем излагаются макроэкономические проблемы, актуальные для российской экономики, содержатся примеры использования макроэкономических моделей для анализа конкретных ситуаций,

12.5. альтруистические связи между поколениями

Рассмотрим, как изменятся выводы модели, если допустить существование альтруистических связей между поколениями. В этом случае пожилые не обязательно тратят до конца во втором периоде свои сбережения, а допускается возможность трансферта их части последующим поколениям, например, в виде наследства. Таким образом, горизонт модели пересекающихся поколений расширяется и становится бесконечным в том смысле, что индивиды при принятии решений принимают в расчет интересы последующих поколений.

Одним из способов введения альтруистических связей в модель является введение в функцию полезности учета будущей полезности своих потомков (см., например: [6]). Пусть функция полезности имеет вид

1-е _ ■ , 1-0 _ ■ ,

U,=^ !■ + -!-■f*±l—!■ + 1 + я // (12.23)

' 1-е 1+р 1-е (1+р)(1 + у) 1+1

Последнее слагаемое в правой части (12.23) учитывает полезность каждого прямого потомка U/+l. Она, в свою очередь, зависит от потребления в молодости и в старости и от полезности следующего поколения Ul+2 и т.д. Суммарная полезность прямых потомков (1 + n)Ul+l дисконтируется, во-первых, в соответствии с нормой межвременного предпочтения р, поскольку речь идет о следующем периоде времени, и, во-вторых, с коэффициентом у, отражающим предпочтения населения по поводу заботы о потомках.

Если подставить в (12.23) вместо Ul+] его выражение через и,+2 и т.д., то получим функцию полезности в виде

i = 0

1 +п

(i+p)(i + y)

cl,+i 1 1 c2l++i

i-e 1+р 1-е

(12.24)

Предполагается, что (1 + п) < (1 + р)(1 + у).

Пусть каждый представитель молодого поколения в /-м периоде получает от предыдущего поколения наследство в объеме Ь„ а затем, становясь старым, оставляет после своей смерти наследство в объеме bl+l. Тогда бюджетные ограничения принимают вид:

с„ +s, = w, +Ь, (12.25)

cll+]+( + n)bl+i=( + rM)st. (12.26)

Предполагается, что трансферты осуществляются только от родителей к детям, т.е. для любого / bt+i>0 (эта предпосылка ослабляется в [19] и [31]).

Выразим на основании (12.25) и (12.26)

cil+l:= wl+l,+bt+i:~sl+i; / = 0,1,2,... (12.27)

С2/+1+/ = 0 + '}+і+/)*/+,--(і + я)*/+і+і; '=0, 1. 2, ... (12.28)

Подставим (12.27) и (12.28) в (12.24) и выпишем необходимые условия максимизации относительно s, и bt+l. Получим:

дії, і , ч-е ^L = -(Wl+bl+l-Sl) +

+ТТ;[(1 + /,'+і)5'-(1 + л)*'+і]"в(1 + /,^)в0: (12-29)

^ = -Т7^[(1 + г-і)5'-(1 + І,)^]"в(1 + я) +

а°і+ 1 + р

1+И 1 L \"9 П

+ i w r(,і + b , — s. ,) =0.

(l + p)(l + y)V ,+1 ,+1 1+11

Из (12.29), (12.30) следует, что:

_1+и/ ч-в 1 + П J -e_rv

"їТр"^'+^ + (і+р)(1 + у)^

Отсюда

-2/+1

/+1

f + r,

1 + Р

-2Г+1

(12.31)

На основании (12.31)

г+1

1 + г.

10 + p)0+y).

Если проделать аналогичные выкладки для £/,_,, то получим

Подпись: ^2

L = (l+y)e(*)

и, следовательно,

/+1

(1 + р)(1 + у)

Потребление на душу населения в период t составляет

с, = с„ +

С2Г

1 +я'

поэтому с учетом (*)

'1+1

"2/+1

Г+1

U1+p)(|+y)

(12.32)

Уравнение (12.32) является дискретным аналогом одной из стандартных постановок модели Рамсея для случая, когда р = О, т. е. коэффициент дисконтирования отражает только предпочтения по поводу перераспределения потребления родителей в пользу своих детей и не отражает предпочтения насчет перераспределения во времени потребления одного поколения. Поскольку задача фирмы в модели Рамсея и модели пересекающихся поколений различается только в смысле дискретной и непрерывной постановки, равновесные траектории и устойчивые состояния также не будут отличаться. В этом случае динамическая неэффективность становится невозможной, и последствия бюджетно-налоговой политики отвечают равенству Барро—Рикардо. Таким образом, введение в модель пересекающихся поколений предпосылки об альтруистических связях между поколениями фактически делает ее дискретным аналогом модели Рамсея. Однако именно отсутствие этой предпосылки в более реалистичной, чем модель Рамсея, модели с двумя типами одновременно живущих и представляющих различные образцы сберегательного поведения экономических агентов, демонстрирует одну из возможных причин несовершенства рынка и необходимости государственного вмешательства.

Пусть выпуск в экономике описывается производственной функцией вида Y = К1/3(ЬЕ)2/3. Полезность экономических агентов описывается логарифмической функцией. Коэффициент межвременого дисконтирования полезности равен 1.

а) Найдите устойчивый уровень капиталовооруженности в зависимости от темпов роста населения и научно-технологического

прогресса.

б) Пусть в экономике отсутствуют рост населения и научнотехнологический прогресс. Найдите уровень капиталовооруженности и выпуска (оба показателя в расчете на единицу эффективного

труда) в устойчивом состоянии.

в) Пусть научно-технологический прогресс отсутствует, а каждое

последующее поколение вдвое больше предыдущего. Найдите

в этом случае новый уровень капиталовооруженности и выпуска

в устойчивом состоянии.

г) На сколько сокращается разница между текущим и устойчивым уровнями капиталовооруженности за один период?

Пусть экономика описывается условиями задания 1 пункта «в». Капитал не снашивается. Покажите, что в этом случае она динамически эффективна.

Пусть в экономике отсутствует рост населения и научно-технологический прогресс. Покажите, что если зависимость производительности труда от капиталовооруженности в такой экономике описывается функцией j> = ln(l + к), то она имеет единственный тривиальный устойчивый уровень капиталовооруженности.

Пусть выпуск в экономике описывается производственной функцией вида Y = аЬК^ +(1 -ь)1?Ъ. Полезность экономических агентов описывается логарифмической функцией. Коэффициент межвременного дисконтирования полезности равен 1. Покажите, что при В = 0 в такой экономике существует единственное положительное устойчивое состояние.

Докажите, что если в предыдущей задаче В < 0, то существует хотя бы одно положительное устойчивое состояние.

Покажите, что в условиях задания 4, если В > 0, средняя и предельная производительности капитала ограничены, то при больших значениях параметра А будут наблюдаться не меньше двух стационарных состояний, причем одно из них устойчивое.

Покажите, что в условиях задания 4, если В > 0, средняя и предельная производительности капитала ограничены, то при достаточно малых значениях параметра А возможно существование единственного тривиального устойчивого состояния.

Опишите последствия временного увеличения государственных расходов в модели с производственной функцией Кобба— Дугласа и логарифмической функцией полезности.

Макроэкономика

Макроэкономика

Обсуждение Макроэкономика

Комментарии, рецензии и отзывы

12.5. альтруистические связи между поколениями: Макроэкономика, Елена Алексеевна Туманова, 2004 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Учебник предназначен для изучения курса «Макроэкономика» магистерского уровня. В нем излагаются макроэкономические проблемы, актуальные для российской экономики, содержатся примеры использования макроэкономических моделей для анализа конкретных ситуаций,