1.2. несколько основных правил расчета ковариации
1.2. несколько основных правил расчета ковариации
Есть несколько важных правил, которые вытекают непосредственно из определения ковариации. Поскольку они будут многократно использоваться в последующих главах, имеет смысл сформулировать их сейчас:
Правило 1
Если у = v + w, то Cov (х, у) = Cov (х, у) + Cov (х, w). Правило 2
Если у = az, где a — константа, то Cov (х, у) a Cov (х, z)-Правило З
Если у = я, где а — константа, то Cov (х, у) = 0.
Сначала эти правила будут проиллюстрированы на примерах, и мы проверим их выполнение, после чего будут приведены доказательства. В большей части данной книги важнее понимать, что означают эти правила и как ими пользоваться, чем уметь доказывать их, но на самом деле доказательства нетрудны.
Демонстрация и доказательство правила 1
Допустим, что у нас есть данные по шести семьям (домохозяйствам), приведенные в табл. 1.3: общий годовой доход (х); расходы на питание и одежду (у)
Легко показать, что именно так и должно быть. Рассмотрим і'-ю семью. (хі-х)(уі-у) — это ее вклад в величину Со(х,у). Поскольку = vy + wy. и у = у + w, то
(х7x)(yt -у) = (х7x)(v7. + wg v w) = (х7x)(v7v) + (x7. x)(w7. w), (1.2)
и, таким образом, мы показали, что вклад семьи / в Cov(x, у) является суммой ее вкладов в Cov(x, v) и Cov(x, w). То же самое справедливо для всех семей и, соответственно, для ковариации в целом.
Демонстрация и доказательство правила 2
В табл. 1.3 последняя колонка (z) дает расходы на питание и одежду для второго множества из 6 семей. Каждое наблюдение z фактически представляет собой удвоенное значение^. Предполагается, что значения величины* для второго набора семей являются такими же, как и ранее. Для вычисления Cov(x, z)
Из табл. 1.5 можно видеть, что Cov(x, z) равна 532 500, что в точности равно удвоенной Cov(x, у). Таким образом мы проверили, что Cov(x, 2у) совпадает с 2Cov(x,.y).
И снова легко видеть, почему так получается. Рассмотрим первую семью. Поскольку z{ = 2y{ и z = 2y, а (х, -x)(zj z) равно (Х{ -х)(2у{ -2у) и, следовательно, равно 2(х{ -х)(ух у), то вклад первой семьи в величину Cov(x, z) в точности равен двойной величине ее вклада в Cov(x, у). То же самое справедливо для всех других семей. Средняя величина (x-x)(z-z) поэтому равна удвоенной средней величине (х-х)(у-у) и, таким образом, Cov(x, z) ~ 2Cov(x, у). Обобщая, получим, что если z = ay (и отсюда z-ay), то
Cov(x, z) = 2Cov(x, У) = ~1Ї (*/ *)(*/ ~ІЇ = (*/ *)(аУі ~ аУ) =
= ^K*/ x)(y§ -y) = aCov(x,y). (1.3)
Демонстрация и доказательство правила З
Это совсем просто. Допустим, что каждая семья в выборке имеет по два взрослых человека, и предположим, что по недоразумению вы решили вычислить ковариацию между общим доходом (х) и числом взрослых в семье (д). Естественно, что а{ = а2 =... = а6 = 2. Таким образом, а = 2. Отсюда для каждой семьи
(а а) = 0 и, следовательно, (х х)(а -я) = 0. Поэтому Cov(x, а) = 0.
Дальнейшие выводы
Пользуясь этими основными правилами, вы можете упрощать значительно более сложные выражения с ковариациями. Например, если какая-то переменная равна сумме трех переменных и, v и w, то, пользуясь правилом 1 и разбив у на две части (ии v + и>), получим:
Cov(x, у) = Cov(x, u + v + w) = Cov(x, u) + Cov(x, v + w) (1.4)
и, снова воспользовавшись правилом 1, имеем:
Cov(x, у) = Cov(x, и) + Cov(x, v) + Cov(x, w). (1.5)
Другой пример: если y = a+bz, где а и Ь — константы, a z — переменная величина, то, пользуясь последовательно правилами /, 3 и 2, получим:
Cov(x, у) = Cov(x, а) + Cov(x, = 0 + Cov(x, = £Cov(x, z). (1.6)
При наличии небольшой практики выполнить эти преобразования не составит труда.
Обсуждение Введение в эконометрику
Комментарии, рецензии и отзывы