10 моделирование динамических процессов

10 моделирование динамических процессов

Многие экономические процессы имеют долговременный характер, поэтому в эконометрическом моделировании необходимо учитывать временное измерение. В данной главе рассматриваются некоторые принятые подходы к решению этой проблемы. В ней также показано, как регрессионные модели могут использоваться для построения прогнозов и как могут быть оценены их прогнозные свойства.

10.1. Введение

В разделе 6.7 нами был сделан первый шаг к анализу динамического аспекта эконометрической модели, когда мы ввели понятие лаговой переменной и рассматривали вероятность, например, того, что объем затрат на некоторый товар определяется не текущим доходом и ценой этого товара, а доходом и ценой в предыдущий период времени или доходом и ценой за два прошедших периода. Что касается расходов на жилье, то результаты построения регрессионной зависимости этих расходов от текущих доходов и цены, от доходов и цены в прошедшем периоде и от значений этих переменных за два прошедших периода оказались следующими:

l<Sgy,=-l,60 + 1,18 logх,-0,34 logр- Л2 = 0,992; (10.1)

(со.) (1,75) (0,05) (0,31)

l<Sgу, =0,42 +1,10 log jc,_i ~ °>66 log />,_,; R2 = 0,995; (10.2)

(со.) (1,75) (0,05) (0,31)

log у, = 0,95 + 1,08 log x,_2 0,72 log p^2; R2 = 0,995. (10.3)

(со.) (1,77) (0,05) (0,31)

Продолжая начатое исследование, можно выдвинуть предположение, что расходы на жилье частично зависят от текущих значений дохода и цены, а частично — от их значений в прошлом году, и построить уравнение регрессионной зависимости log yt от log xt и log а также от log pt и log /?,_,:

l<Sg у, =0,27 + 0,22 log л:, + 0,90 log*,., + (со.) (1,55) (0,29) (0,30)

+ 0,98 logp,1,51 log/>,H; R1 = 0,995.

(0,36) (0,39)

(Ю.4)

Для полной уверенности можно учесть также log xf_2 и log pf_2:

16g у, = 1,00 + 0,28 logx,+ 0,53 log*,., + 0,27 logx,_2 + (c.o.)(l,88) (0,29) (0,47) (0,34)

+ 0,24 logp,-0,01 logpM-0,98 logp,_2; Л2 = 0,997. (10.5)

(0,56) (0,97) (0,57)

Анализируя полученные результаты, можно заметить два обстоятельства, вызывающих беспокойство. Во-первых, между уравнениями (10.1), (10.2) и (10.3) нет особого выбора. Значения эластичности затрат по доходу почти одинаковы в каждом случае, значения эластичности затрат по цене выше в лаговых уравнениях и значимо отличаются от нуля при 5-процентном уровне значимости при односторонней проверке; стандартные отклонения и коэффициенты R2 почти одинаковы во всех трех уравнениях. За исключением более легко интерпретируемых значений эластичности затрат по цене в лаговых уравнениях, у нас нет никаких оснований предпочесть какое-либо одно уравнение двум другим.

Во-вторых, уравнения (10.4) и (10.5) уступают всем трем предыдущим. Коэффициенты в этих уравнениях нестабильны в том смысле, что их значения существенно различаются при изменении спецификации, и их стандартные отклонения значительно выше, чем в предыдущих уравнениях. Полученные результаты иллюстрируют проблему мультиколлинеарности. Очевидно, значения log хп log xt_x и log х,_2 тесно коррелированы, поскольку они представляют один и тот же набор наблюдений с лагом в один или два периода (см. табл. 6.9). Значения log pt, log pr_l и log р^2 также тесно коррелированы. Если вы используете текущие и лаговые значения в качестве объясняющих переменных, то неудивительно, что коэффициенты при них выглядят несколько странно.

Для оценки лаговой структуры зависимостей было разработано несколько подходов, позволяющих ограничить число объясняющих переменных в уравнении регрессии с целью избежать появления проблемы мультиколлинеарности или по крайней мере минимизировать ее эффект. Мы рассмотрим два широко известных подхода: распределение Койка и лаги Алмон.

Упражнение

10.1. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов при log xr, log Vi и 1°8 xt-i в уравнении (10.5).

10.2. Распределение Койка

В распределении Койка (Коуск, 1954) делается простое предположение, что коэффициенты (известные также как «веса») при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии. Если имеется единственная объясняющая переменная, то модель принимает вид:

у, = ос + рх, + р8х,_, + р82х,_2 + Р5Ч-з +•••+ "n (Ю.6)

где значение 5 находится в границах от -1 до 1. Во многих приложениях предполагается, что оно лежит между 0 и 1.

В данной зависимости имеются всего три параметра: ос, р и 8. Для их оценки вам не нужно оценивать уравнение регрессионной зависимости yt от хп х,_,, х^2 и т. д. В этом случае, во-первых, наверняка возникла бы серьезная проблема муль-тиколлинеарности. Во-вторых, из полученных оценок не удалось бы вывести значения р и 8. Здесь можно получить одно значение р с помощью коэффициента при х, и другое, совершенно иное, возведя в квадрат коэффициент при х,_, и разделив его на коэффициент при х,_2 или возведя в квадрат коэффициент прих,_2 и разделив его на коэффициент прих,^. Точно так же существует много различных и противоречивых способов получения оценки 8.

Однако можно довольно легко избежать как этой проблемы, так и проблемы мультиколлинеарности. Один эффективный способ заключается в применении нелинейного метода наименьших квадратов. Вы начинаете с задания границ возможных значений 8 и рассматриваете все возможные значения внутри этих пределов с достаточно малым шагом. Например, пределы изменения могут быть от 0 до 1, и вы рассматриваете все значения 0,00, 0,01, 0,02 и т. д., увеличивая их каждый раз на 0,01. Чем меньше шаг, тем более точными будут полученные результаты, но тем больше времени займут расчеты. Теперь, когда компьютеры стали такими мощными и дешевыми, вы, как правило, сможете достичь любой желаемой точности. Для каждого значения 8 рассчитывается

г, = х, + 8х,_, + 82х,_2 + §Ч-з +•••+ О0-7)

с таким значениемр, при котором дальнейшие лаговые значениях не оказывают существенного воздействия на zЗатем оценивается уравнение регрессии

у, = сс + Рг, + и,. (10.8)

Вы проделываете эти расчеты для всех значений 8 и выбираете такое значение 8, которое обеспечивает наибольший коэффициент Л2 при оценке уравнения (10.8). В качестве оценок аир выбираются их оценки в этом уравнении. Уравнения (10.7) и (10.8) в совокупности, конечно же, эквивалентны уравнению (10.6).

Другой метод использует так называемое преобразование Койка. Если выражение (10.6) выполняется для периода /, то оно также выполняется для периода г —1:

*м = а + р*,., + р8х,_2 + P5V3 +...+ иы. (10.9)

Умножив обе части этого уравнения на 8 и вычтя их из уравнения (10.6), вы получите:

у, ЪУг_{ = а (1 5) + рх, + и, 8v„ (10.10) где уже отсутствуют лаговые значения х. Как следствие имеем:

у, = а (1 5) + Рх, + + и, 8^1- О0-10

Эта форма позволяет анализировать краткои долгосрочные динамические свойства модели. В краткосрочном аспекте (в текущем периоде) значение у^{ нужно рассматривать как фиксированное, и воздействие х на >> отражается ко

(10.12) (10.13)

эффициентом р. В долгосрочном периоде (не учитывая случайный член), если х, стремится к некоторому своему равновесному значению х, у, и >>,_, также

будут стремиться к равновесному уровню у, определяемому как

у = а(1 5) + Рх + Ъу,

из которого следует:

Итак, долгосрочное воздействие х на у отражается коэффициентом Р/(1 —5). Если 5 находится в границах от 0 до 1, то этот коэффициент превысит р, т. е. долгосрочное воздействие оказывается сильнее краткосрочного.

Модель с преобразованием Койка привлекательна с практической точки зрения, поскольку оценивание парной регрессии с помощью МНК позволяет получить оценки а, р и 6 (оценка а получается делением свободного члена на разность единицы и коэффициента при yt_x). Разумеется, это требует гораздо меньших усилий, чем описанный ранее поиск с помощью перебора, но здесь, к сожалению, возникает серьезная эконометрическая проблема, которая делает этот метод менее привлекательным, — нарушение четвертого условия Гаусса—Маркова. Одна из объясняющих переменных yt_x в уравнении (10.11) частично зависит от Поэтому она коррелирует с одной из составляющих случайного члена — Ьи^і в уравнении (10.11). В итоге оценки, полученные с помощью МНК, оказываются смещенными и несостоятельными. В таком случае не остается иного выбора, кроме использования первого из подходов — нелинейного метода на базе уравнения (10.7) и (10.8). Теперь мы рассмотрим две хорошо известные динамические модели, обе относящиеся к семейству моделей Койка, хотя на первый взгляд это может показаться неочевидным.