5.3. множественная регрессия в нелинейных моделях

5.3. множественная регрессия в нелинейных моделях

В главе 4 было показано, что линейные модели регрессии могут быть описаны как линейные в двух отношениях: как линейные по переменным и как линейные по параметрам. Для линейного регрессионного анализа требуется линейность только по параметрам, поскольку нелинейность по переменным может быть устранена с помощью изменения определений. В качестве иллюстрации покажем, что зависимость

y = a+p{xf +р2л/^ + ... (4.5) может быть переписана в форме, которая будет линейной по переменным:

у = а + р,г, +Р2г2 + ..., (4.6)

путем простого определения z = х[, zi = 7*7 и тДЕсли случайный член (не

показанный явно в уравнении) удовлетворял условиям Гаусса—Маркова в начальном уравнении, то он будет им удовлетворять и в переписанном уравнении. Следовательно, в качестве примера мы могли бы оценить квадратичную зависимость:

y = a + p,x + p2x2 + w, (5.23)

записав z =х2 и оценив регрессию между у, xnzВключая более высокие степени для х, мы в принципе могли бы оценить коэффициенты многочлена любого нужного нам вида.

Нелинейность по параметрам является более серьезной проблемой. Если, однако, правая часть модели состоит из членов вида jc^ или еР*9 умноженных друг на друга, а случайный член является мультипликативным, то модель может быть линеаризована посредством логарифмирования ее обеих частей. Следовательно, например, функция спроса

у = oufipyv, (5.24)

где у — расходы на товар, х — доход, р — относительная цена, a v — случайный член, может быть преобразована в форму, которая является линейной по параметрам:

log у = log а + р log х + у log р + log v. (5.25)

Если вы оцениваете регрессию между данными для log у, log х и log р, то коэффициент при log х будет непосредственной оценкой р — эластичности спроса по доходу, а коэффициент при log р будет оценкой у — эластичности спроса по цене.

Пример 1. Функция спроса

Логарифмическая регрессия между расходами на питание и располагаемым личным доходом для США была оценена на основе тех же данных, которые использовались для уравнения (5.3), и был получен следующий результат (в скобках указаны стандартные ошибки):

log у = 2,82 + 0,64 log х 0,48 log р R2 = 0,99; (5.26)

(0,42) (0,03) (0,12) F= 820,1.

Уравнение регрессии показывает, что эластичность спроса по доходу составляет 0,64, а эластичность спроса по цене — 0,48, и оба коэффициента значимо отличаются от нуля при однопроцентном уровне значимости.

Пример 2. Производственная функция Кобба—Дугласа

В 1927 г. Пол Дуглас, экономист по образованию, обнаружил, что если нанести на одну и ту же диаграмму графики логарифмов показателей реального объема выпуска (Y), капитальных затрат (К) и затрат труда (L), то расстояния от точек графика показателей выпускало точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к математику Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую функцию:

Y = AKaLl~a. (5.27)

Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филипом Уик-стидом (Wicksteed), как было указано Ч. Коббом и П. Дугласом в их классической работе (Cobb, Douglas, 1929), но они были первыми, кто использовал для ее построения эмпирические данные, представленные в табл. 5.1. Авторы не описывают, каким образом они на самом деле подобрали функцию, но предположительно они использовали начальную форму регрессионного анализа, так как они ссылались на «теорию наименьших квадратов». По их оценке, а = У4Если повторить их вычисления, используя регрессионный анализ, то нельзя сразу провести линеаризацию путем логарифмирования обеих частей уравнения, поскольку тогда мы получим две различные оценки а. Коэффициент при log К даст нам одну оценку, а коэффициент при log L, который является оценкой (1-а), позволит нам вычислить другую оценку. Вместо этого мы разделим обе стороны уравнения на величину L и перепишем функцию следующим образом:

Y/L = A(K/L)«v (5.28)

(включая случайный член v). В этой форме функция может быть интерпретирована как соотношение выпуска на одного работника к капитальным затратам на одного работника, и теперь мы проведем ее линеаризацию, взяв логарифмы:

log (Y/L) = log А + a log (K/L) + log v. (5.29)

log Y/L = 0,02 + 0,25 log K/L R2 = 0,63; (0,02) (0,04) f=38,0.

(5.30)

что подтверждает вычисления Ч. Кобба. Формула Кобба—Дугласа, конечно, является частным случаем более общей формулы:

Y=AK«Lh, (5.31)

где показатели эластичности выпуска по затратам капитала и труда не связаны между собой. Оценив его с использованием тех же самых данных, мы получим (стандартные ошибки указаны в скобках):

log У= -0,18 + 0,23 log К+ 0,81 log L; R2 = 0,96; (5.32)

(0,43) (0,06) (0,15) F= 236,1.

Это указывает на то, что эластичность выпуска продукции по затратам капитала составляет 0,23, что очень близко к предыдущей оценке, а эластичность по затратам труда составляет 0,81, что несколько выше предыдущей оценки, равной 0,75.

Упражнения

Оценка логарифмической регрессии между расходами на жилищные услуги, располагаемым личным доходом и относительной ценой этих услуг с использованием данных, приведенных в упражнении 5.2, дает следующий результат:

log у = -1,60 + 1,18 log х 0,34 log p.

Дайте интерпретацию этого уравнения. Сравните ее с интерпретацией, данной для упражнения 5.2. В каком смысле она лучше?

Оцените аналогичную логарифмическую регрессию между расходами на товар, выбранный вами в упражнении 2.4, располагаемым личным доходом и относительной ценой товара. Дайте интерпретацию результата.

Свойства производственнойфункфиЖоб^^Д^лас^

В рассКштрениц эластичности выпуска про^іф^щ эффекта ох масштаба производства и прогнозируемых долей 1^изводственных факторов мы будей использовать более общую фдрщ'функции и пренебрегать сл^^йымр[еном, ;

Эластичность выпуска продукции

Эластичность выпуска продукции по капиталу и.труду равна соответственно а и р, так как

ЪУ/ЬК A(a[K°~l])& Г/ К AKa-W

и аналогичным образом легко показать, что (ЭY/dL)/(¥/L) равно р; Следовательно, увеличение затрат капитала на 1\% приведет к росту выпуска продукции на а процентов, а увеличение затрат труда на 1\%: приведет к росту выпуска на р процентов. Можно предположить, что обе величины а и р находятся между нулем и единицей. Они должны . быть положительными, так как увеличение затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска. В то же время, вероятно, они будут меньше единицы, так как разумно предположить, что уменьшение эффекта от масштаба производства приводит к более медленному росту выпуска продукций, чем затрат производственных факторов, если другие факторы остаются постоянными/