1.3. альтернативное выражение для выборочной ковариации

1.3. альтернативное выражение для выборочной ковариации

Выборочная ковариация между jc и у определяется как

1 п _ _

Cov(x,.y) = '-х)(Уі -У)(1.7)

Другим эквивалентным выражением является

Cov(x,y) =

1 v

(1.8)

Иными словами, ковариацию вы можете получить, вычисляя ххух+х2у2 + +... + х„>>/7, деля результат на /7 и вычитая затем из полученного значения величину ху. Это может оказаться более удобным, если вам придется рассчитывать ковариацию вручную. Но, конечно, на практике вы обычно будете делать это при помощи компьютерных программ.

Далее, для тех, кого это интересует, приводится доказательство эквивалентности указанных выражений. В случае возникновения затруднений его можно пропустить.

Cov(x,у) = £(х,х)(Уі ~у) = -^(ХіУі хуі ~х;уху) =

= --ху{-х{у + ху + х2у2 -ху2-х2у + ху + ... + хпуп -хуп-хпу + ху). (1.9) п

В результате сложения по столбцам, а также воспользовавшись тем, что Хх,. = пх и = пу, получим:

Cov(x, у) = ^ [Х хм х£ у і -уЩ */ + nxy} = ~[L хіУі -пху-пху + пху}, (1.10) откуда и следует (1.8).

Упражнение

1.1. В некоторой бюрократической стране годовой доход каждого индивида j> определяется по формуле:

у = 10000 + 500^ + 200/,

где s — число лет обучения индивида; t — трудовой стаж (в годах); х — возраст индивида. Рассчитайте Cov(x, у), Cov(x, s) и Cov(x, t) для выборки из пяти индивидов, описанной ниже, и проверьте, что

Cov(x, у) = 500 Cov(x, s) + 200 Cov(x,/).

Объясните аналитически, почему так происходит.