1.6. правила расчета дисперсии

1.6. правила расчета дисперсии

Существует несколько простых и очень полезных правил для расчета дисперсии, являющихся аналогами правил для ковариации, рассмотренных в разделе 1.2. Эти правила в равной степени можно использовать как для выборочной, так и для теоретической дисперсии.

Правило дисперсии 1

Если у = v + и>, то Var (у) = Var (v) + Var (w) + 2Cov (v,w). Правило дисперсии 2

Если y = az, где a является постоянной, то Var (у) = tf2Var(z). Правило дисперсии 3

Если у = а, где а является постоянной, то Var (у) = 0. Правило дисперсии 4

Если y = v + a, где а является постоянной, то Var (у) = Var (v).

Во-первых, заметим, что дисперсия переменной х может рассматриваться как ковариация между двумя величинами х:

| л _ | л _ _

Var(x) = X(*/ -*)=-£(*/ *)(*/ -х) = Cov(x,х). (Л5)

n i= n i=

Учитывая это равенство, мы можем воспользоваться правилами расчета выборочной ковариации, чтобы вывести правила расчета дисперсии. Кроме того, мы можем получить другую формулу для представления Var (х), используя соотношение (1.8) для выборочной ковариации:

Var(x) =

/=1

X .

(1.16)

Доказательство правила 1

Если у = v + w, то

Var (у) = Cov (у, у) = Cov (y,[v + w]) =

= Cov ([v + w],v) + Cov ([v + по правилу ковариации 7, = Cov (v, v) + Cov (и>, v) + Cov (v, w) + Cov (w, w),

по правилу ковариации 7, = Var (v) + Var (w) + 2 Cov (v, w). (1.17)

Доказательство правила 2

Если y = az, где a является постоянной, то, дважды используя правило ковариации 2, получим:

Var (у) = Cov {у, у) = Cov (у, az) = a Cov (у, z) =

= a Cov (ед г) = a2 Cov (г, г) = a2 Var (г). (1.18)

Доказательство правила З

Если j> =д, где я является постоянной, то по правилу ковариации 3 имеем:

Var (у) = Cov (я, a) = 0. (1.19)

Действительно, если у — постоянная, то ее среднее значение является той же самой постоянной и (у-у) равняется нулю для всех наблюдений. Следовательно, Var (у) равна нулю.

Доказательство правила 4

Если у = v + а, где а — постоянная, то по правилу ковариации 7, используя затем правила / и J для дисперсии и правило J для ковариации, получаем:

Var (у) = Var (v + а) = Var (v) + Var (a) + 2 Cov (v, a) = Var (v). (1.20)

Теоретическая дисперсия подчиняется тем же самым правилам, но доказательства здесь вновь опускаются, поскольку они требуют применения интегрального исчисления.

Упражнение

1.2. Используя данные из упражнения 1.1, вычислите Var (у), Var (5) и Var (/) и проверьте, что

Var (у) = 250000 Var (s) + 40000 Var (г) + 200000 Cov (s, t),

при этом результат объясните аналитически.