1.4. теоретическая ковариация

1.4. теоретическая ковариация

Если х и у — случайные величины, то теоретическая ковариация определяется как математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их средних значений:

pop.cov(x,j/) = aA;); = Е{(х ix)(y іу)}, (1.11)

где іхИ[іу — теоретические средние значения х и у соответственно.

. Как вы и ожидаете, если теоретическая ковариация неизвестна, то для ее

оценки может быть использована выборочная ковариация, вычисленная по ряду

наблюдений. К сожалению, оценка будет иметь отрицательное смещение, так

как

£{Cov(x, у)} — pop. cov (х,у). (1.12)

Причина заключается в том, что выборочные отклонения измеряются по отношению к выборочным средним значениям величин хкук имеют тенденцию к занижению отклонений от истинных средних значений. Очевидно, мы можем рассчитать несмещенную оценку путем умножения выборочной оценки на n/{n — 1). Доказательство соотношения (1.12) здесь не представлено, но вы можете сами провести его, используя в качестве руководства приложение О.З (предварительно ознакомьтесь с содержанием раздела 1.5). Правила для теоретической ковариации точно такие же, как и для выборочной ковариации, но их доказательства мы опускаем, поскольку для этого требуется интегральное исчисление.

Если х и у независимы, то их теоретическая ковариация равна нулю, поскольку

E{(x-Lx)(y-Ly)} = E(x-)ix)(y-)Ly) = 0x0, (1.13)

благодаря свойству независимости, отмеченному в обзоре, и факту, что Е(х) и Е(у) равняются соответственно lx и уу.