Косвенный метод наименьших квадратов

Косвенный метод наименьших квадратов

Тот же самый результат мы получим с помощью КМНК. Предположим, что мы применили МНК для оценивания параметров приведенной формы уравнений и имеем:

Р = а' + Ь'х; (11.29) y = d' + ex. (11.30) Предположим, что получены следующие оценки:

^ = 2,0 + 0,02х; (11.31) у = 8,0 + 0,06х. (11.32)

Используя (11.27), выведем следующие соотношения между оценками параметров уравнений в приведенной форме и оценками параметров уравнений в структурной форме:

, a-d ,, с ae-bd се /чч ...

а = —-; * = —г; rf= г-; « =—г(П.зз)

e-b е-b e-b е b

В численном примере для расчета структурных коэффициентов мы располагаем следующими уравнениями:

^ = 2,0; -^ = 0,02; ^^ = 8,0; ^= 0,06. (Ц.34)

e-b e-b e-b e-b v 7

Настораживает то, что имеется пять неизвестных, а уравнений — всего лишь четыре. Однако мы можем достичь некоторых результатов.

Во-первых, мы можем получить оценку е из второго и четвертого соотношений (11.34):

се

е е-Ъ _с

Ь'~ _^ (11.35) е-Ь

Следовательно, в нашем численном примере е = 0,06/0,02 = 3.

Во-вторых, хотя это и менее очевидно, первое и третье соотношения (11.33), а также оценка е дают возможность получить оценку d:

,, , ае bd ае de de-bd , /л л

d-ea = — = — = d. (11.36)

e-b e-b e-b v

Следовательно, в нашем численном примере d = 8,0 — (3 х 2,0) = 2,0. Это позволяет получить следующую оценку уравнения предложения:

у5 = 2,0 + 3,0р. (11.37)

Однако получить однозначные оценки a, b и с оказывается невозможным. У нас осталось два уравнения и три неизвестных. Можно, например, задать произвольное значение с, а затем найти значения а и А, но полученное решение будет, очевидно, непригодным. Проблема заключается в том, что связь между параметрами уравнений в структурной и приведенной формах слишком гибка.

Через оценки параметров уравнений в приведенной форме мы можем получить однозначные решения для d и е, но не для a, b или с. Это позволяет сделать вывод, что уравнение предложения определено, а уравнение спроса — недооп-ределено.

Что будет в случае, если спрос не зависит значимо от дохода? Это означает пренебрежимо малую величину параметра у в уравнении (11.21) и как следствие параметров р'и є'в (11.25) и (11.26) [см. определение b (11.27)]. Поэтому в уравнении (11.35) при расчете е мы будем делить оценку 0 на другую оценку 0, и полученный результат окажется бессмысленным. Следовательно, и оценка d, полученная из (11.36), будет бессмысленной. В итоге ни одно из уравнений не определено.

Упражнения

11.6. Предположим, что в долгосрочном периоде компании финансируют инвестиции / преимущественно из прибыли П, а объем получаемой прибыли зависит от инвестиций. На этой основе исследователь построил следующую модель корпоративного сектора экономики:

/, = а + рп, + и,;

П, = 5 + є/, + XI^ + v„

где индекс t обозначает текущий год, (t— 1) — предыдущий год, a ut и v, — случайные члены, не подверженные автокорреляции.

1) Определено ли какое-либо из уравнений? Объясните ваш ответ.

2) Что вы можете сказать о коэффициентах при переменных на основе приведенных ниже значений ковариации и дисперсии, рассчитанных на базе данных о промышленном секторе экономики за 25-летний период?

Соу(П„ /,) = 57,0; Уаг(П,) = 113,0;

Cov</„ /,_,) = 20,0; Var(//) = 30,0;

Cov (П„ 1^) 45,0; Var (/,_,) = 29,0.

(Величины П,, It и измерены в миллиардах долларов в ценах 1985 г.)

11.7. Предположим, что в модели спроса и предложения товара как кривая

спроса, так и кривая предложения сдвигаются со временем: первая — из-за изменения вкусов покупателей, вторая — из-за технического прогресса, делающего производство более дешевым. В этом случае структурные уравнения можно переписать в следующем виде:

Уф = а + РЛ + У + udv у„ = 5 + ер, + Xt + u5t

У* = У5г

Предположим, что уравнения в приведенной форме имеют вид:

р,= 1,2 + 0,04/;

у, = 7,6 0,38/.

Покажите, что уравнениям в приведенной форме соответствуют обе следующие модели:

(А) Уф= 10 2/>, 0,3/; уя = 4 + Зр, 0,5/;

И

(Б) ^=8,8-^-0,34/; уя = 5,2 + 2Рг 0,46/.

Комментарий: Только ли эти две модели в структурной форме соответствуют уравнениям в приведенной форме?

11.6. Сверхидентифицированность

Рассмотрим теперь модель, в которой спрос имеет временной тренд, скажем, потому что привычки медленно меняются со временем. Предположим, что спрос зависит также от дохода, и мы имеем:

^, = a + p/>, + YX, + p/ + w,,; (11.38)

Ъ = 8 +(11.39)

где /— переменная времени; р — коэффициент при ней. Исследуем, как и прежде, эффективность метода ИП и КМНК.

Метод инструментальных переменных

В модели две экзогенные переменные — х, и г. Однако обе эти переменные присутствуют в уравнении спроса, и мы не можем использовать их как инструментальные для рг Как следствие уравнение спроса оказывается недоопреде-ленным.

Однако в случае уравнения предложения у нас имеется широкое поле выбора. Модель, в которой экзогенных переменных, которые могут использоваться как инструментальные, больше, чем необходимо, называют переопределенной. Можно использовать как хп так и / в качестве инструментальных переменных для рг Полученные таким способом оценки 5 и є будут различаться, однако в обоих случаях они окажутся состоятельными. Какие из них использовать? Очевидно, те, которые более надежны, и поэтому на первом шаге можно рассчитать корреляцию переменных ср и выбрать ту из них, для которой корреляция выше. Однако можно сделать даже больше. Как мы покажем в следующем разделе, наилучшим решением в данном случае является применение так называемого двухшагового метода наименьших квадратов (ДМНК) и построение инструментальной переменной, которая является комбинацией хп t.

Косвенный метод наименьших квадратов Приведенная форма уравнений имеет вид:

_ ae-рб те pe tudl-Vusl

Переписав соответствующие уравнения регрессии как

р,= a'+ b'x,+ с'г, (П.42) y,= d'+e'Xl+n (11.43)

мы увидим, что ие'/b', и f'/c'дают оценку є. И хотя эти величины могут случайно совпасть, не существует выражения для е, которое одновременно удовлетворяло бы всем соотношениям между коэффициентами уравнений в приведенной и структурной формах. Так же нет удовлетворяющего всем соотношениям выражения для d. Уравнение предложения является переопределенным. В то же время уравнение спроса остается, как и прежде, недоопределенным.

Как следствие применение КМНК к рассматриваемой модели порождает сразу две проблемы: для уравнения предложения, поскольку связь между приведенной и структурной формами оказывается слишком тесной, и для уравнения спроса, поскольку эта связь становится слишком свободной. Однако, как и в случае применения метода ИП, эти проблемы асимметричны. В случае недо-определенности не хватает информации для фиксирования оценок параметров. Мы в принципе можем получить бесконечное число решений уравнений, не представляя, какое из них соответствует реальным значениям параметров. В случае переопределенности число решений больше одного, и, хотя эти решения различаются на малых выборках, все они состоятельны: разница между ними будет исчезать с ростом объема выборки. В разбираемом примере как е'/Ь так и f'/c 'являются состоятельными оценками е. Проблема заключается в выборе между ними, если нужно делать такой выбор. Однако в случае применения ДМНК проблемы такого выбора не возникает.