1.2. основные математические предпосылки эконометрического моделирования

1.2. основные математические предпосылки эконометрического моделирования

Пусть имеется р объясняющих переменных Х,...9 Хр и зависимая переменная У. Переменная У является случайной величиной, имеющей при заданных значениях факторов некоторое распределение. Если случайная величина У непрерывна, то можно считать, что ее распределение при каждом допустимом наборе значений факторов (jq, *2,..., хр) имеет условную плотность

fx{ ,х2,...,хр 00 •

Обычно делается некоторое предположение относительно распределения У Чаще всего предполагается, что условные распределения У при каждом допустимом значении факторов — нормальные. Подобное предположение позволяет получить значительно более «продвинутые» результаты. Впрочем, заметим здесь же, что порой предположение о нормальности условных распределений У приходится отвергнуть.

Объясняющие переменные Xj(J = 1,..., р) могут считаться как случайными, так и детерминированными, т. е. принимающими определенные значения. Проиллюстрируем этот тезис на уже рассмотренном примере продажи автомобилей. Мы можем заранее определить для себя параметры автомобиля и искать объявления о продаже автомобиля с такими параметрами. В этом случае неуправляемой, случайной величиной остается только зависимая переменная — цена. Но мы можем также случайным образом выбирать объявления о продаже, в этом случае параметры автомобиля — объясняющие переменные — также оказываются случайными величинами.

Классическая эконометрическая модель рассматривает объясняющие переменные Xj как детерминированные, однако, как мы увидим в дальнейшем, основные результаты статистического исследования модели остаются в значительной степени теми же, что и в случае, если считать Xj случайными переменными.

Объясненная часть — обозначим ее Ye —в любом случае представляет собой функцию от значений факторов — объясняющих переменных:

£=/(*„..., Хр).

Таким образом, эконометрическая модель имеет вид

Y = /№,..., Хр) + г.

Наиболее естественным выбором объясненной части случайной величины Y является ее среднее значение — условное математическое ожидание MXlX2tXp(Y), полученное при данном

наборе значений объясняющих переменных (хь *2>—> хр). (В дальнейшем математическое ожидание будем обозначать MX(Y).) В самом деле, по своему смыслу объясненная часть — это ожидаемое значение зависимой переменной при заданных значениях объясняющих.

Уравнение MX(Y) = /(xb..., хр) называется уравнением регрессии.

При таком естественном выборе объясненной части эконометрическая модель имеет вид

У=Мх(1) + є, (1.2)

где е — случайная величина, называемая возмущением или ошибкой. В курсе математической статистики уравнение (1.2) называется уравнением регрессионной модели.

Сразу же отметим, что эконометрическая модель н е обязательно является регрессионной, т.е. объясненная часть не всегда представляет собой условное математическое ожидание зависимой переменной.

Рассмотрим, например, следующую задачу: определить зависимость затрат Y на какой-либо товар от дохода X. Допустим, имеются данные опроса ста человек и сто пар чисел (jti, у),..., (*Ю(Ъ Уоо)Анализируя эти данные, мы получаем (отложим пока вопрос — каким образом) зависимость Ye = f(X).

Однако может оказаться, что данные о доходе, полученные в результате опроса, на самом деле являются искаженными, — например, в среднем заниженными, т.е. объясняющие переменные измеряются с систематическими ошибками. В этом случае люди, действительно обладающие доходом X, будут на самом деле тратить на исследуемый товар в среднем величину, меньшую, чем /(А), т.е. в рассмотренном примере объясненная часть не есть условное математическое ожидание зависимой переменной.

Систематические ошибки измерения объясняющих переменных — одна из возможных причин того, что эконометрическая модель не является регрессионной. В экономических исследованиях подобная ситуация встречается достаточно часто. Одним из возможных путей устранения этого, как правило, довольно неприятного обстоятельства, является выбор других объясняющих переменных (эти вопросы рассматриваются в гл. 8 настоящего учебника).

С математической точки зрения регрессионные модели оказываются существенно более простым объектом, чем эконометрическая модель общего типа. Отметим здесь некоторые свойства регрессионной модели.

Рассмотрим равенство Y=Mx(Y) + z и возьмем от обеих частей математическое ожидание при заданном наборе значений объясняющих переменных X. В этом случае Мх (Y) есть числовая величина, равная своему математическому ожиданию, и мы получаем равенство

Л4(е) = 0 (1.3)

(а значит, и М(є) = 0), т.е. в регрессионной модели ожидаемое значение случайной ошибки равно нулю. Можно показать, что отсюда следует (если объясняющие переменные рассматриваются как случайные величины) некоррелированность случайных ошибок и объясняющих переменных X. Это обстоятельство оказывается наиболее существенным условием состоятельности получаемых количественных результатов анализа эконометрической модели.